Stereometria je časť geometrie, ktorá študuje útvary, ktoré neležia v rovnakej rovine. Jedným z predmetov štúdia stereometrie sú hranoly. V článku uvedieme definíciu hranolu z geometrického hľadiska a stručne uvedieme aj vlastnosti, ktoré sú preň charakteristické.
Geometrický obrazec
Definícia hranola v geometrii je nasledovná: je to priestorový útvar pozostávajúci z dvoch rovnakých n-uholníkov umiestnených v rovnobežných rovinách, navzájom spojených svojimi vrcholmi.
Získať hranol je jednoduché. Predstavte si, že existujú dva rovnaké n-uholníky, kde n je počet strán alebo vrcholov. Umiestnime ich tak, aby boli navzájom rovnobežné. Potom by mali byť vrcholy jedného mnohouholníka spojené so zodpovedajúcimi vrcholmi druhého. Vytvorený obrazec bude pozostávať z dvoch n-uholníkových strán, ktoré sa nazývajú základne, a n štvoruholníkových strán, ktoré sú vo všeobecnom prípade rovnobežníky. Sada rovnobežníkov tvorí bočnú plochu obrázku.
Je ešte jeden spôsob, ako geometricky získať príslušný útvar. Ak teda vezmeme n-uholník a prenesieme ho do inej roviny pomocou rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky, potom v novej rovine dostaneme pôvodný mnohouholník. Polygóny a všetky paralelné segmenty nakreslené z ich vrcholov tvoria hranol.
Vyššie uvedený obrázok zobrazuje trojuholníkový hranol. Nazýva sa tak, pretože jeho základňami sú trojuholníky.
Prvky, ktoré tvoria postavu
Definícia hranola bola uvedená vyššie, z ktorej je zrejmé, že hlavnými prvkami postavy sú jej tváre alebo strany, ktoré ohraničujú všetky vnútorné body hranola z vonkajšieho priestoru. Akákoľvek tvár uvažovanej postavy patrí do jedného z dvoch typov:
- side;
- grounds.
Existuje n bočných dielikov a sú to rovnobežníky alebo ich konkrétne typy (obdĺžniky, štvorce). Vo všeobecnosti sa bočné strany navzájom líšia. Základňa má iba dve strany, sú to n-uholníky a sú si navzájom rovné. Každý hranol má teda n+2 strán.
Okrem strán je postava charakteristická svojimi vrcholmi. Sú to body, kde sa súčasne dotýkajú tri tváre. Okrem toho dve z troch plôch vždy patria k bočnému povrchu a jedna - k základni. V hranole teda nie je špeciálne vybraný jeden vrchol, pretože napríklad v pyramíde sú všetky rovnaké. Počet vrcholov obrázku je 2n (n kusov pre každýdôvod).
Napokon, tretím dôležitým prvkom hranola sú jeho okraje. Ide o segmenty určitej dĺžky, ktoré sa vytvárajú v dôsledku priesečníka strán obrázku. Rovnako ako tváre, aj hrany majú dva rôzne typy:
- alebo tvorené iba stranami;
- alebo sa objaví na spojnici rovnobežníka a strany n-gonálnej základne.
Počet hrán je teda 3n a 2n z nich sú druhého typu.
Typy hranolov
Existuje niekoľko spôsobov klasifikácie hranolov. Všetky sú však založené na dvoch črtách obrázku:
- na type n-uhoľnej bázy;
- na strane typu.
Najprv sa pozrime na druhý prvok a definujme priamy a šikmý hranol. Ak je aspoň jedna strana rovnobežník všeobecného typu, potom sa obrázok nazýva šikmý alebo šikmý. Ak sú všetky rovnobežníky obdĺžniky alebo štvorce, hranol bude rovný.
Definícia priameho hranola môže byť podaná aj trochu iným spôsobom: rovný obrazec je hranol, ktorého bočné hrany a plochy sú kolmé na jeho základne. Obrázok ukazuje dve štvoruholníkové postavy. Ľavá je rovná, pravá je šikmá.
Teraz prejdime ku klasifikácii podľa typu n-uholníka ležiaceho v základniach. Môže mať rovnaké strany a uhly alebo rôzne. V prvom prípade sa polygón nazýva pravidelný. Ak uvažovaný obrázok obsahuje mnohouholník s rovnýmstrany a uhly a je priamka, potom sa nazýva správna. Podľa tejto definície môže mať pravidelný hranol na svojej základni rovnostranný trojuholník, štvorec, pravidelný päťuholník alebo šesťuholník atď. Uvedené správne čísla sú zobrazené na obrázku.
Lineárne parametre hranolov
Nasledujúce parametre sa používajú na popis veľkostí uvažovaných figúrok:
- height;
- základné strany;
- dĺžky bočných rebier;
- 3D uhlopriečky;
- diagonálne strany a základne.
Pre bežné hranoly sú všetky menované veličiny navzájom prepojené. Napríklad dĺžky bočných rebier sú rovnaké a rovnajú sa výške. Pre konkrétny n-gonálny pravidelný útvar existujú vzorce, ktoré vám umožňujú určiť zvyšok ľubovoľnými dvoma lineárnymi parametrami.
Povrch tvaru
Ak sa odvoláme na vyššie uvedenú definíciu hranola, potom nebude ťažké pochopiť, čo predstavuje povrch obrazca. Povrch je plocha všetkých tvárí. Pre priamy hranol sa vypočíta podľa vzorca:
S=2So + Poh
kde So je plocha základne, Po je obvod n-uholníka základne, h je výška (vzdialenosť medzi základňami).
Objem postavy
Spolu s povrchom pre cvičenie je dôležité poznať aj objem hranola. Dá sa určiť podľa nasledujúceho vzorca:
V=Soh
Tototento výraz je pravdivý pre absolútne všetky druhy hranolov, vrátane tých, ktoré sú šikmé a tvorené nepravidelnými mnohouholníkmi.
Pri bežných hranoloch je objem funkciou dĺžky strany základne a výšky postavy. Pre zodpovedajúci n-gonálny hranol má vzorec pre V konkrétny tvar.
