Priestorová geometria, ktorej kurz sa študuje v 10. až 11. ročníku školy, zohľadňuje vlastnosti trojrozmerných útvarov. Článok poskytuje geometrickú definíciu valca, poskytuje vzorec na výpočet jeho objemu a tiež rieši fyzikálny problém, kde je dôležité poznať tento objem.
Čo je to valec?
Z hľadiska stereometrie možno definíciu valca uviesť nasledovne: je to útvar vytvorený ako výsledok paralelného posunutia priameho segmentu pozdĺž určitej plochej uzavretej krivky. Pomenovaný segment nesmie patriť do rovnakej roviny ako krivka. Ak je krivka kruhová a segment je na ňu kolmý, potom sa valec vytvorený popísaným spôsobom nazýva rovný a okrúhly. Je to zobrazené na obrázku nižšie.
Nie je ťažké uhádnuť, že tento tvar možno získať otočením obdĺžnika okolo ktorejkoľvek z jeho strán.
Valec má dve rovnaké základne, ktorými sú kruhy, a jednu stranuvalcový povrch. Kruh podstavy sa nazýva smerová čiara a kolmá úsečka spájajúca kruhy rôznych podstav je generátorom obrazca.
Ako zistiť objem okrúhleho rovného valca?
Keď sme sa oboznámili s definíciou valca, poďme zvážiť, aké parametre potrebujete vedieť, aby ste matematicky popísali jeho charakteristiky.
Vzdialenosť medzi dvoma základňami je výška postavy. Je zrejmé, že sa rovná dĺžke generátorovej matrice. Výšku označíme latinským písmenom h. Polomer kruhu v základni sa označuje písmenom r. Nazýva sa aj polomer valca. Uvedené dva parametre postačujú na jednoznačný popis všetkých vlastností daného obrazca.
Vzhľadom na geometrickú definíciu valca možno jeho objem vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
V=Sh
Tu S je plocha základne. Všimnite si, že pre každý valec a pre akýkoľvek hranol platí napísaný vzorec. Pre okrúhly rovný valec je však celkom vhodné ho použiť, pretože výška je tvoriaca čiara a oblasť S základne sa dá určiť zapamätaním si vzorca pre oblasť kruhu:
S=pir2
Pracovný vzorec pre objem V príslušného útvaru bude teda napísaný ako:
V=pir2h
Vztlaková sila
Každý študent vie, že ak je predmet ponorený do vody, jeho hmotnosť sa zníži. Dôvod tejto skutočnostije vznik nadnášajúcej, čiže Archimedovej sily. Pôsobí na akékoľvek teleso, bez ohľadu na ich tvar a materiál, z ktorého sú vyrobené. Sila Archimeda sa dá určiť podľa vzorca:
FA=ρlgVl
Tu ρl a Vl sú hustota kvapaliny a jej objem vytlačený telesom. Je dôležité nezamieňať si tento objem s objemom tela. Zhodujú sa iba vtedy, ak je telo úplne ponorené do kvapaliny. Pre akékoľvek čiastočné ponorenie je Vl vždy menšie ako V tela.
Vztlaková sila FA sa nazýva preto, že smeruje zvislo nahor, to znamená, že je v opačnom smere ako gravitácia. Rôzne smery vektorov sily vedú k tomu, že hmotnosť telesa v akejkoľvek kvapaline je menšia ako vo vzduchu. Aby sme boli spravodliví, poznamenávame, že vo vzduchu sú všetky telá tiež ovplyvnené vztlakovou silou, ktorá je však zanedbateľná v porovnaní s Archimedovskou silou vo vode (800-krát menšou).
Rozdiel v hmotnosti telies v kvapaline a vo vzduchu sa používa na určenie hustôt pevných a kvapalných látok. Táto metóda sa nazýva hydrostatické váženie. Podľa legendy ju prvýkrát použil Archimedes na určenie hustoty kovu, z ktorého bola koruna vyrobená.
Použite uvedený vzorec na určenie vztlakovej sily pôsobiacej na mosadzný valec.
Problém výpočtu Archimedovej sily pôsobiacej na mosadzný valec
Je známe, že mosadzný valec má výšku 20 cm a priemer 10 cm. Aká bude Archimedova sila,ktorý na neho začne pôsobiť, ak valec hodíte do destilovanej vody.
Na určenie vztlakovej sily na mosadznom valci sa najskôr pozrite na hustotu mosadze v tabuľke. Rovná sa 8600 kg/m3 (toto je priemerná hodnota jeho hustoty). Keďže táto hodnota je väčšia ako hustota vody (1000 kg/m3), objekt sa potopí.
Na určenie Archimedovej sily stačí nájsť objem valca a potom použiť vyššie uvedený vzorec pre FA. Máme:
V=pir2h=3, 145220=1570 cm 3
Do vzorca sme dosadili hodnotu polomeru 5 cm, pretože je dvakrát menšia ako zadaná v podmienke priemeru.
Za vztlakovú silu dostaneme:
FA=ρlgV=10009, 81157010-6 =15, 4 H
Tu sme previedli objem V na m3.
Na mosadzný valec známych rozmerov, ponorený vo vode, bude teda pôsobiť sila smerom nahor 15,4 N.
