Hranol je jedna zo známych postáv študovaných v kurze objemovej geometrie na stredných školách. Aby ste mohli vypočítať rôzne charakteristiky pre postavy tejto triedy, musíte vedieť, aké typy hranolov existujú. Pozrime sa na tento problém bližšie.
Prizma v stereometrii
V prvom rade si definujme spomínanú triedu figúrok. Hranol je akýkoľvek mnohosten pozostávajúci z dvoch paralelných mnohouholníkových základní, ktoré sú vzájomne prepojené rovnobežníkmi.
Tento obrázok môžete získať nasledujúcim spôsobom: vyberte ľubovoľný mnohouholník na rovine a potom ho presuňte na dĺžku ľubovoľného vektora, ktorý nepatrí do pôvodnej roviny mnohouholníka. Pri takomto rovnobežnom pohybe budú strany mnohouholníka opisovať bočné plochy budúceho hranola a konečná poloha mnohouholníka sa stane druhou základňou obrazca. Opísaným spôsobom je možné získať ľubovoľný typ hranola. Obrázok nižšie zobrazuje trojuholníkový hranol.
Aké sú typy hranolov?
Ide o klasifikáciu tvarovpríslušnú triedu. Vo všeobecnom prípade sa táto klasifikácia vykonáva s prihliadnutím na vlastnosti polygonálnej základne a strán obrázku. Zvyčajne sa rozlišujú tieto tri typy hranolov:
- Priame a šikmé (šikmé).
- Správne a nesprávne.
- Konvexné a konkávne.
Hranol ktoréhokoľvek z vymenovaných typov klasifikácie môže mať štvoruholníkovú, päťuholníkovú, …, n-gonálnu základňu. Čo sa týka typov trojuholníkových hranolov, možno ich klasifikovať len podľa prvých dvoch uvedených bodov. Trojuholníkový hranol je vždy konvexný.
Nižšie sa bližšie pozrieme na každý z týchto typov klasifikácie a uvedieme niekoľko užitočných vzorcov na výpočet geometrických vlastností hranola (plocha povrchu, objem).
Priame a šikmé tvary
Na prvý pohľad je možné rozlíšiť priamy hranol od šikmého. Tu je zodpovedajúci obrázok.
Tu sú zobrazené dva hranoly (šesťuholníkové vľavo a päťuholníkové vpravo). Každý s istotou povie, že šesťuholník je rovný a päťuholník je šikmý. Aký geometrický znak odlišuje tieto hranoly? Samozrejme, typ bočnej tváre.
Priamy hranol, bez ohľadu na jeho základňu, všetky plochy sú obdĺžniky. Môžu sa navzájom rovnať, alebo sa môžu líšiť, dôležité je len to, že sú to obdĺžniky a ich uhly so základňami sú 90o.
Pokiaľ ide o šikmú postavu, treba povedať, že všetky alebo niektoré jej bočné strany súrovnobežníky, ktoré tvoria nepriame dvojstenné uhly so základňou.
Pri všetkých typoch rovných hranolov je výška dĺžka bočnej hrany, pri šikmých postavách je výška vždy menšia ako ich bočné hrany. Poznať výšku hranola je dôležité pri výpočte jeho povrchu a objemu. Vzorec pre objem je napríklad:
V=Soh
Kde h je výška, So je plocha jednej základne.
Správne a nesprávne hranoly
Akýkoľvek hranol je nesprávny, ak nie je rovný alebo jeho základňa nie je správna. Otázka priamych a naklonených hranolov bola diskutovaná vyššie. Tu uvažujeme, čo znamená výraz „pravidelná polygonálna základňa“.
Mnohouholník je pravidelný, ak sú všetky jeho strany rovnaké (ich dĺžku označme písmenom a) a všetky jeho uhly sú rovnaké. Príklady pravidelných mnohouholníkov sú rovnostranný trojuholník, štvorec, šesťuholník so šiestimi rohmi po 120o atď. Plocha akéhokoľvek pravidelného n-uholníka sa vypočíta pomocou tohto vzorca:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Nižšie je schematické znázornenie pravidelných hranolov s trojuholníkovými, štvorcovými, …, osemuholníkovými základňami.
Pomocou vyššie uvedeného vzorca pre V môžeme napísať zodpovedajúci výraz pre regulárne tvary:
V=n/4a2ctg(pi/n)h
Pokiaľ ide o celkovú plochu povrchu, pre pravidelné hranoly ju tvoria plochy dvochidentické základne a n identické obdĺžniky so stranami h a a. Tieto skutočnosti nám umožňujú napísať vzorec pre povrchovú plochu akéhokoľvek pravidelného hranola:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nah
Prvý člen tu zodpovedá ploche dvoch základní, druhý člen určuje iba plochu bočného povrchu.
Zo všetkých typov pravidelných hranolov majú svoje vlastné názvy iba štvoruholníkové hranoly. Pravidelný štvoruholníkový hranol, v ktorom a≠h, sa nazýva pravouhlý hranol. Ak má toto číslo a=h, potom hovoríme o kocke.
Konkávne tvary
Doteraz sme uvažovali iba o konvexných typoch hranolov. Práve im sa venuje hlavná pozornosť pri štúdiu uvažovanej triedy postáv. Existujú však aj konkávne hranoly. Od konvexných sa líšia tým, že ich základňami sú konkávne mnohouholníky začínajúce od štvoruholníka.
Na obrázku sú ako príklad znázornené dva konkávne hranoly, ktoré sú vyrobené z papiera. Ľavý v tvare päťcípej hviezdy je desiatkový hranol, pravý v podobe šesťcípej hviezdy sa nazýva dvanástnikový konkávny rovný hranol.
