V praxi často vznikajú úlohy, ktoré vyžadujú schopnosť zostaviť rezy z geometrických tvarov rôznych tvarov a nájsť plochu rezov. V tomto článku sa pozrieme na to, ako sú postavené dôležité časti hranola, pyramídy, kužeľa a valca a ako vypočítať ich plochy.
3D figúrky
Zo stereometrie je známe, že trojrozmerná postava akéhokoľvek typu je obmedzená množstvom plôch. Napríklad pre také mnohosteny, ako je hranol a pyramída, sú tieto plochy polygonálne strany. Pre valec a kužeľ hovoríme o rotačných plochách valcových a kužeľových útvarov.
Ak vezmeme rovinu a ľubovoľne pretíname povrch trojrozmerného útvaru, dostaneme rez. Jeho plocha sa rovná ploche časti roviny, ktorá bude vo vnútri objemu postavy. Minimálna hodnota tejto plochy je nula, čo sa realizuje, keď sa rovina dotkne postavy. Napríklad úsek, ktorý je tvorený jedným bodom, sa získa, ak rovina prechádza cez vrchol pyramídy alebo kužeľa. Maximálna hodnota plochy prierezu závisí odrelatívnu polohu postavy a roviny, ako aj tvar a veľkosť postavy.
Nižšie zvážime, ako vypočítať plochu vytvorených sekcií pre dve postavy otáčania (valec a kužeľ) a dva mnohosteny (pyramídu a hranol).
Valec
Kruhový valec je tvar otáčania obdĺžnika okolo ktorejkoľvek z jeho strán. Valec je charakterizovaný dvoma lineárnymi parametrami: polomer základne r a výška h. Diagram nižšie ukazuje, ako vyzerá kruhový rovný valec.
Tento obrázok má tri dôležité typy sekcií:
- round;
- rectangular;
- eliptické.
Eliptický tvar vzniká ako výsledok roviny pretínajúcej bočný povrch obrazca pod určitým uhlom k jeho základni. Okrúhle je výsledkom priesečníka roviny rezu bočnej plochy rovnobežnej so základňou valca. Nakoniec sa získa pravouhlý, ak je rovina rezu rovnobežná s osou valca.
Kruhová plocha sa vypočíta podľa vzorca:
S1=pir2
Oblasť axiálneho rezu, t.j. obdĺžnikového, ktorý prechádza osou valca, je definovaná takto:
S2=2rh
Kužeľové sekcie
Kužeľ je tvar otáčania pravouhlého trojuholníka okolo jednej z nôh. Kužeľ má jednu hornú časť a okrúhlu základňu. Jeho parametre sú tiež polomer r a výška h. Príklad papierového kužeľa je uvedený nižšie.
Existuje niekoľko typov kužeľosečiek. Poďme si ich vymenovať:
- round;
- eliptical;
- parabolic;
- hyperbolic;
- trojuholníkový.
Navzájom sa nahradia, ak zväčšíte uhol sklonu sečnej roviny vzhľadom na okrúhlu základňu. Najjednoduchším spôsobom je zapísať si vzorce pre prierezovú plochu kruhu a trojuholníka.
Kruhový rez je vytvorený ako výsledok priesečníka kužeľovej plochy s rovinou, ktorá je rovnobežná so základňou. Pre jeho oblasť platí nasledujúci vzorec:
S1=pir2z2/h 2
Tu z je vzdialenosť od hornej časti obrázku k vytvorenej časti. Je vidieť, že ak z=0, potom rovina prechádza iba vrcholom, takže plocha S1 bude rovná nule. Od z < h bude plocha skúmaného úseku vždy menšia ako jeho hodnota pre základňu.
Trojuholník sa získa, keď rovina pretína obrazec pozdĺž jeho osi rotácie. Tvar výsledného rezu bude rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú priemerom základne a dvoch generátorov kužeľa. Ako nájsť plochu prierezu trojuholníka? Odpoveď na túto otázku bude nasledujúci vzorec:
S2=rh
Táto rovnosť sa získa aplikáciou vzorca pre obsah ľubovoľného trojuholníka cez dĺžku jeho základne a výšku.
Prizmatické sekcie
Hranol je veľká trieda figúrok, ktoré sa vyznačujú prítomnosťou dvoch identických polygonálnych podstav, ktoré sú navzájom rovnobežné,spojené rovnobežníkmi. Akýkoľvek úsek hranola je mnohouholník. Vzhľadom na rôznorodosť uvažovaných obrazcov (šikmé, rovné, n-gonálne, pravidelné, konkávne hranoly) je rozmanitosť ich rezov tiež veľká. Nižšie uvažujeme len o niektorých špeciálnych prípadoch.
Ak je rovina rezu rovnobežná so základňou, potom sa plocha prierezu hranola bude rovnať ploche tejto základne.
Ak rovina prechádza cez geometrické stredy dvoch základní, to znamená, že je rovnobežná s bočnými okrajmi obrazca, potom sa v reze vytvorí rovnobežník. V prípade priamych a pravidelných hranolov bude uvažovaným rezom obdĺžnik.
Pyramída
Pyramída je ďalší mnohosten, ktorý pozostáva z n-uholníka a n trojuholníkov. Príklad trojuholníkovej pyramídy je zobrazený nižšie.
Ak je rez nakreslený rovinou rovnobežnou s n-uholníkovou základňou, potom bude jeho tvar presne rovnaký ako tvar základne. Plocha takéhoto úseku sa vypočíta podľa vzorca:
S1=So(h-z)2/h 2
Kde z je vzdialenosť od základne k rovine rezu, So je plocha základne.
Ak rovina rezu obsahuje vrchol pyramídy a pretína jej základňu, dostaneme trojuholníkový rez. Ak chcete vypočítať jeho plochu, musíte použiť príslušný vzorec pre trojuholník.
