Apotéma pyramídy. Vzorce pre apotém pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

2025 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2025-01-23 12:33

Pyramída je priestorový mnohosten alebo mnohosten, ktorý sa vyskytuje v geometrických úlohách. Hlavnými vlastnosťami tohto obrázku sú jeho objem a povrch, ktoré sú vypočítané na základe znalosti akýchkoľvek dvoch jeho lineárnych charakteristík. Jednou z týchto charakteristík je apotém pyramídy. Bude to prediskutované v článku.

Pyramídový tvar

Skôr ako uvedieme definíciu apotému pyramídy, zoznámime sa so samotnou postavou. Pyramída je mnohosten, ktorý je tvorený jednou n-uholníkovou základňou a n trojuholníkmi, ktoré tvoria bočnú plochu obrazca.

Každá pyramída má vrchol – spojovací bod všetkých trojuholníkov. Kolmica vedená z tohto vrcholu k základni sa nazýva výška. Ak výška pretína základňu v geometrickom strede, potom sa obrazec nazýva priamka. Rovná pyramída s rovnostrannou základňou sa nazýva pravidelná pyramída. Na obrázku je znázornená pyramída so šesťhrannou základňou, ktorá je pri pohľade zo strany líca a okraja.

Apotém pravej pyramídy

Nazýva sa aj apotema. Rozumie sa to ako kolmica nakreslená z vrcholu pyramídy na stranu základne postavy. Podľa definície táto kolmica zodpovedá výške trojuholníka, ktorý tvorí bočnú stranu pyramídy.

Keďže uvažujeme o pravidelnej pyramíde s n-gonálnou základňou, potom všetkých n apotém pre ňu bude rovnakých, keďže také sú rovnoramenné trojuholníky bočnej plochy obrazca. Všimnite si, že rovnaké apotémy sú vlastnosťou pravidelnej pyramídy. Pre postavu všeobecného typu (šikmý s nepravidelným n-uholníkom) bude všetkých n apotém odlišných.

Ďalšou vlastnosťou pravidelnej pyramídovej apotémy je, že je súčasne výškou, mediánom a osou príslušného trojuholníka. To znamená, že ho rozdelí na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.

Trojuholníková pyramída a vzorce na určenie jej apotémy

V každej pravidelnej pyramíde sú dôležitými lineárnymi charakteristikami dĺžka strany jej základne, bočná hrana b, výška h a apotéma h_{b. Tieto množstvá sú vo vzájomnom vzťahu pomocou zodpovedajúcich vzorcov, ktoré možno získať nakreslením pyramídy a zvážením potrebných pravouhlých trojuholníkov.}

Pravidelná trojuholníková pyramída pozostáva zo 4 trojuholníkových plôch a jedna z nich (základňa) musí byť rovnostranná. Zvyšok je vo všeobecnom prípade rovnoramenný. apotématrojuholníkovú pyramídu možno určiť z hľadiska iných veličín pomocou nasledujúcich vzorcov:

h_b=√(b²- a^2/4);

h_b=√(a²/12 + h²⁾

Prvý z týchto výrazov platí pre pyramídu s akoukoľvek správnou základňou. Druhý výraz je charakteristický len pre trojuholníkovú pyramídu. Ukazuje, že apotém je vždy väčší ako výška postavy.

Nemýľte si apotém pyramídy s mnohostenom. V druhom prípade je apotém kolmý segment nakreslený na stranu mnohostenu z jeho stredu. Napríklad apotém rovnostranného trojuholníka je √3/6a.

Apothemská úloha

Nech je daná pravidelná pyramída s trojuholníkom na základni. Je potrebné vypočítať jej apotém, ak je známe, že plocha tohto trojuholníka je 34 cm2 a samotná pyramída pozostáva zo 4 rovnakých plôch.

V súlade s podmienkou problému sa zaoberáme štvorstenom pozostávajúcim z rovnostranných trojuholníkov. Vzorec pre oblasť jednej tváre je:

S=√3/4a2

Kde získame dĺžku strany a:

a=2√(S/√3)

Na určenie apotémy h_{bpoužijeme vzorec obsahujúci bočnú hranu b. V posudzovanom prípade sa jeho dĺžka rovná dĺžke základne, máme:}

h_b=√(b²- a^{2/4)=√3/2 a}

Nahradenie hodnoty a až S,dostaneme konečný vzorec:

h_{b=√3/22√(S/√3)=√(S√3)}

Dostali sme jednoduchý vzorec, v ktorom apotém pyramídy závisí iba od plochy jej základne. Ak z podmienky úlohy dosadíme hodnotu S, dostaneme odpoveď: h_{b≈ 7, 674 cm.}