Učitelia matematiky zoznamujú svojich žiakov s pojmom „kombinatorický problém“už v piatom ročníku. Je to potrebné na to, aby mohli v budúcnosti pracovať so zložitejšími úlohami. Kombinatorickú povahu problému možno chápať ako možnosť jeho riešenia vymenovaním prvkov konečnej množiny.
Hlavným znakom úloh tohto poriadku je otázka na ne, ktorá znie ako „Koľko možností?“alebo "Koľkými spôsobmi?" Riešenie kombinatorických úloh priamo závisí od toho, či riešiteľ pochopil význam, či dokázal správne znázorniť akciu alebo proces, ktorý bol opísaný v úlohe.
Ako vyriešiť kombinatorický problém?
Je dôležité správne určiť typ všetkých spojení v uvažovanom probléme, ale je potrebné skontrolovať, či sa v ňom prvky neopakujú, či sa prvky samotné menia, či ich poradie zohráva veľkú úlohu a tiež s ohľadom na niektoré ďalšiefaktory.
Kombinatorický problém môže mať množstvo obmedzení, ktoré môžu byť kladené na pripojenia. V tomto prípade budete musieť plne vypočítať jeho riešenie a skontrolovať, či tieto obmedzenia majú nejaký vplyv na pripojenie všetkých prvkov. Ak skutočne existuje vplyv, je potrebné skontrolovať, ktorý z nich.
Kde začať?
Najprv sa musíte naučiť riešiť najjednoduchšie kombinatorické problémy. Zvládnutie jednoduchého materiálu vám umožní naučiť sa porozumieť zložitejším úlohám. Odporúča sa, aby ste najskôr začali riešiť problémy s obmedzeniami, ktoré sa neberú do úvahy pri zvažovaní jednoduchšej možnosti.
Odporúča sa tiež pokúsiť sa najskôr vyriešiť tie problémy, pri ktorých je potrebné zvážiť menší počet spoločných prvkov. Týmto spôsobom budete môcť pochopiť princíp vytvárania vzoriek a naučiť sa, ako ich v budúcnosti vytvárať sami. Ak problém, na ktorý potrebujete použiť kombinatoriku, pozostáva z kombinácie niekoľkých jednoduchších, odporúča sa ho riešiť po častiach.
Riešenie kombinatorických problémov
Tieto problémy sa môžu zdať ľahko vyriešiteľné, ale zvládnutie kombinatoriky je dosť ťažké, niektoré z nich neboli vyriešené za posledné stovky rokov. Jedným z najznámejších problémov je určiť počet magických štvorcov špeciálneho rádu, keď číslo n je väčšie ako 4.
Kombinatorický problém úzko súvisí s teóriou pravdepodobnosti, ktorá sa objavila v stredoveku. Pravdepodobnosťpôvod udalosti je možné vypočítať iba pomocou kombinatoriky, v tomto prípade bude potrebné striedať všetky faktory na miestach, aby sa dosiahlo optimálne riešenie.
Riešenie problémov
Kombinatorické úlohy s riešením slúžia na to, aby sa žiaci a študenti naučili pracovať s týmto materiálom. Vo všeobecnosti by mali v človeku vzbudiť záujem a túžbu nájsť spoločné riešenie. Okrem matematických výpočtov je potrebné aplikovať duševný stres a používať dohady.
V procese riešenia zadaných úloh bude dieťa schopné rozvíjať svoju matematickú predstavivosť a kombinačné schopnosti, čo sa mu môže v budúcnosti veľmi hodiť. Postupne treba zvyšovať úroveň zložitosti úloh, ktoré sa majú riešiť, aby sa nezabúdalo na doterajšie poznatky a pridávali sa k nim nové.
Metóda 1. Bust
Metódy na riešenie kombinatorických úloh sa navzájom veľmi líšia, ale všetky z nich môže študent použiť na získanie odpovede. Jednou z najjednoduchších, no zároveň najdlhších ciest je hrubá sila. S ním stačí prejsť všetkými možnými riešeniami bez zostavovania akýchkoľvek schém a tabuliek.
Otázka v takejto úlohe spravidla súvisí s možnými variantmi pôvodu udalosti, napríklad: aké čísla možno vytvoriť pomocou čísel 2, 4, 8, 9? Prehľadávaním všetkých možností sa zostaví odpoveď pozostávajúca z možných kombinácií. Táto metóda je skvelá, ak je počet možných možnostírelatívne malý.
Metóda 2. Strom možností
Niektoré kombinatorické problémy možno vyriešiť iba vytvorením grafov, ktoré obsahujú podrobné informácie o každom prvku. Zostavenie stromu možných možností je ďalším spôsobom, ako nájsť odpoveď. Je vhodný na riešenie problémov, ktoré nie sú príliš ťažké, pri ktorých existuje dodatočná podmienka.
Príklad takejto úlohy:
Aké päťciferné čísla možno vytvoriť z čísel 0, 1, 7, 8? Aby ste to vyriešili, musíte postaviť strom zo všetkých možných kombinácií a je tu ďalšia podmienka - číslo nemôže začínať od nuly. Odpoveď bude teda pozostávať zo všetkých čísel, ktoré začínajú 1, 7 alebo 8
Metóda 3. Tvorba tabuliek
Kombinatorické problémy možno vyriešiť aj pomocou tabuliek. Sú podobné stromu možných možností, keďže ponúkajú vizuálne riešenie situácie. Ak chcete nájsť správnu odpoveď, musíte vytvoriť tabuľku, ktorá sa zrkadlí: horizontálne a vertikálne podmienky budú rovnaké.
Možné odpovede získate na priesečníku stĺpcov a riadkov. V tomto prípade sa nezískajú odpovede na priesečníku stĺpca a riadku s rovnakými údajmi, tieto priesečníky musia byť špeciálne označené, aby nedošlo k zámene pri zostavovaní konečnej odpovede. Túto metódu študenti často nevyberajú, mnohí uprednostňujú strom s možnosťami.
Spôsob 4. Násobenie
Existuje aj iný spôsob riešenia kombinatorických problémov – pravidlo násobenia. Je v poriadkuje vhodný v prípade, keď podľa stavu nie je potrebné uvádzať všetky možné riešenia, stačí nájsť ich maximálny počet. Táto metóda je jediná svojho druhu, používa sa veľmi často, keď práve začínate riešiť kombinatorické úlohy.
Príklad takejto úlohy môže vyzerať takto:
6 ľudí čaká na skúšku na chodbe. Koľkými spôsobmi ich môžete usporiadať vo všeobecnom zozname? Aby ste dostali odpoveď, musíte si ujasniť, koľko z nich môže byť na prvom mieste, koľko na druhom, na treťom atď. Odpoveďou bude číslo 720
Kombinatorika a jej typy
Kombinatorická úloha nie je len školská látka, ale študujú ju aj vysokoškoláci. Vo vede existuje viacero druhov kombinatoriky a každá z nich má svoje poslanie. Enumeračná kombinatorika by mala zvážiť vymenovanie a vymenovanie možných konfigurácií s dodatočnými podmienkami.
Štrukturálna kombinatorika je súčasťou univerzitného programu, študuje teóriu matroidov a grafov. Extrémna kombinatorika súvisí aj s vysokoškolským materiálom a tu existujú individuálne obmedzenia. Ďalšou časťou je Ramseyho teória, ktorá sa zaoberá štúdiom štruktúr v náhodných variáciách prvkov. Existuje aj lingvistická kombinatorika, ktorá sa zaoberá otázkou vzájomnej kompatibility určitých prvkov.
Metóda výučby kombinatorických úloh
Podľa tutoriáluplánov, vek žiakov, ktorý je určený na primárne oboznámenie sa s týmto materiálom a na riešenie kombinatorických úloh, je ročník 5. Práve tam je táto téma prvýkrát ponúknutá na zváženie žiakom, oboznamujú sa s fenoménom kombinatoričnosti a snažia sa riešiť zadané úlohy. Zároveň je veľmi dôležité, aby sa pri stanovovaní kombinatorického problému použila metóda, keď deti samé hľadajú odpovede na otázky.
Okrem iného, po preštudovaní tejto témy bude oveľa jednoduchšie zaviesť pojem faktoriál a použiť ho pri riešení rovníc, úloh a pod. Kombinatoriálnosť teda zohráva dôležitú úlohu v ďalšom vzdelávaní.
Kombinatorické problémy: prečo sú potrebné?
Ak viete, čo sú kombinatorické problémy, nebudete mať s ich riešením žiadne ťažkosti. Technika ich riešenia môže byť užitočná, keď potrebujete vytvoriť plány, pracovné plány, ako aj zložité matematické výpočty, ktoré nie sú vhodné pre elektronické zariadenia.
Na školách s hĺbkovým štúdiom matematiky a informatiky sa navyše študujú kombinatorické úlohy, na to sa zostavujú špeciálne kurzy, učebné pomôcky a úlohy. Do Jednotnej štátnej skúšky z matematiky môže byť spravidla zahrnutých niekoľko problémov tohto typu, zvyčajne sú „skryté“v časti C.
Ako rýchlo vyriešiť kombinatorický problém?
Je veľmi dôležité vedieť vidieť kombinatorický problémrýchlo, keďže môže mať zastreté znenie, je to dôležité najmä pri absolvovaní skúšky, kde sa počíta každá minúta. Zapíšte si oddelene informácie, ktoré vidíte v texte problému, na kúsok papiera a potom sa pokúste ich analyzovať štyrmi spôsobmi, ktoré poznáte.
Ak viete vložiť informácie do tabuľky alebo inej formácie, skúste to vyriešiť. Ak to neviete zaradiť, v tomto prípade je najlepšie to na chvíľu nechať a prejsť na inú úlohu, aby ste nestrácali drahocenný čas. Tejto situácii sa dá predísť vyriešením určitého počtu úloh tohto typu vopred.
Kde nájdem príklady?
Jediná vec, ktorá vám pomôže naučiť sa riešiť kombinatorické problémy, sú príklady. Nájdete ich v špeciálnych matematických zbierkach, ktoré sa predávajú v obchodoch s náučnou literatúrou. Tam však nájdete informácie len pre vysokoškolákov, školáci budú musieť úlohy hľadať dodatočne, úlohy pre nich spravidla vymýšľajú iní učitelia.
Učitelia vysokých škôl sa domnievajú, že študenti sa musia vzdelávať a neustále im ponúkať ďalšiu vzdelávaciu literatúru. Jednou z najlepších zbierok je „Metódy diskrétnej analýzy pri riešení kombinatorických problémov“, napísaná v roku 1977 a opakovane publikovaná poprednými vydavateľstvami v krajine. Práve tam môžete nájsť úlohy, ktoré boli relevantné v tom čase a zostávajú aktuálne aj dnes.
Čo ak potrebujete urobiť kombinatorický problém?
Najčastejšie je potrebné zostaviť kombinatorické problémyučitelia, ktorí sú povinní učiť žiakov myslieť mimo rámca. Tu bude všetko závisieť od tvorivého potenciálu kompilátora. Odporúča sa venovať pozornosť existujúcim zbierkam a pokúsiť sa poskladať problém tak, aby kombinoval viacero spôsobov riešenia naraz a mal odlišné údaje od knihy.
Učitelia na vysokých školách sú v tomto smere oveľa slobodnejší ako učitelia v školách, často dávajú svojim študentom úlohu, aby sami vymýšľali kombinatorické úlohy s podrobnými metódami riešenia a vysvetleniami. Ak nie ste ani jedno, ani druhé, môžete požiadať o pomoc tých, ktorí problematike naozaj rozumejú, ako aj najať súkromného lektora. Jedna akademická hodina stačí na vytvorenie niekoľkých podobných problémov.
Kombinatorika – veda budúcnosti?
Mnohí odborníci v oblasti matematiky a fyziky sa domnievajú, že práve kombinatorický problém sa môže stať impulzom pre rozvoj všetkých technických vied. Stačí neštandardne pristupovať k riešeniu určitých problémov a potom bude možné odpovedať na otázky, ktoré vedcov prenasledujú už niekoľko storočí. Niektorí z nich vážne tvrdia, že kombinatorika je pomocou pre všetky moderné vedy, najmä pre kozmonautiku. Bude oveľa jednoduchšie vypočítať dráhy letu lodí pomocou kombinatorických úloh a tiež vám umožnia určiť presnú polohu určitých nebeských telies.
Zavádzanie neštandardného prístupu sa už dávno začalo v ázijských krajinách, kde dokonca študentinásobenie, odčítanie, sčítanie a delenie sa riešia pomocou kombinatorických metód. Na prekvapenie mnohých európskych vedcov táto technika naozaj funguje. Školy v Európe sa zatiaľ len začali učiť zo skúseností svojich kolegov. Kedy presne sa kombinatorika stane jedným z hlavných odvetví matematiky, je ťažké odhadnúť. Vedu teraz študujú poprední svetoví vedci, ktorí sa ju snažia popularizovať.
