Otáčanie tiel je jedným z dôležitých typov mechanického pohybu v technológii a prírode. Na rozdiel od lineárneho pohybu je popísaný vlastným súborom kinematických charakteristík. Jedným z nich je uhlové zrýchlenie. Túto hodnotu charakterizujeme v článku.
Rotačný pohyb
Skôr ako hovoríme o uhlovom zrýchlení, popíšme typ pohybu, na ktorý sa vzťahuje. Hovoríme o rotácii, čo je pohyb telies po kruhových dráhach. Aby došlo k rotácii, musia byť splnené určité podmienky:
- prítomnosť osi alebo bodu otáčania;
- prítomnosť dostredivej sily, ktorá by udržala telo na kruhovej dráhe.
Príkladom tohto druhu pohybu sú rôzne atrakcie, ako napríklad kolotoč. V strojárstve sa rotácia prejavuje pohybom kolies a hriadeľov. V prírode je najvýraznejším príkladom tohto typu pohybu rotácia planét okolo vlastnej osi a okolo Slnka. Úlohu dostredivej sily v týchto príkladoch zohrávajú sily medziatómovej interakcie v pevných látkach a gravitačná sila.interakcia.
Kinematické charakteristiky rotácie
Tieto charakteristiky zahŕňajú tri veličiny: uhlové zrýchlenie, uhlovú rýchlosť a uhol natočenia. Budeme ich označovať gréckymi symbolmi α, ω a θ.
Keďže sa teleso pohybuje v kruhu, je vhodné vypočítať uhol θ, ktorý otočí za určitý čas. Tento uhol je vyjadrený v radiánoch (zriedka v stupňoch). Pretože kruh má 2 × pi radiány, môžeme napísať rovnicu týkajúcu sa θ k oblúkovej dĺžke L obratu:
L=θ × r
Kde r je polomer otáčania. Tento vzorec sa dá ľahko získať, ak si zapamätáte zodpovedajúci výraz pre obvod.
Uhlová rýchlosť ω, podobne ako jej lineárny náprotivok, opisuje rýchlosť otáčania okolo osi, to znamená, že je určená podľa nasledujúceho výrazu:
ω¯=d θ / d t
Veličina ω¯ je vektorová hodnota. Smeruje pozdĺž osi otáčania. Jeho jednotkou sú radiány za sekundu (rad/s).
Napokon, uhlové zrýchlenie je fyzikálna charakteristika, ktorá určuje rýchlosť zmeny hodnoty ω¯, ktorá je matematicky zapísaná takto:
α¯=d ω¯/ d t
Vektor α¯ smeruje k zmene vektora rýchlosti ω¯. Ďalej bude povedané, že uhlové zrýchlenie smeruje k vektoru momentu sily. Táto hodnota sa meria v radiánoch.štvorcová sekunda (rad/s2).
Moment sily a zrýchlenie
Ak si spomenieme na Newtonov zákon, ktorý spája silu a lineárne zrýchlenie do jedinej rovnosti, potom, keď tento zákon prenesieme na prípad rotácie, môžeme napísať nasledujúci výraz:
M¯=I × α¯
M¯ je tu moment sily, ktorý je súčinom sily, ktorá má tendenciu otáčať systém krát páka – vzdialenosť od bodu pôsobenia sily k osi. Hodnota I je analogická s hmotnosťou telesa a nazýva sa moment zotrvačnosti. Napísaný vzorec sa nazýva rovnica momentov. Z toho možno vypočítať uhlové zrýchlenie takto:
α¯=M¯/ I
Keďže I je skalárny, α¯ vždy smeruje k pôsobiacemu momentu sily M¯. Smer M¯ je určený pravidlom pravej ruky alebo gimletovým pravidlom. Vektory M¯ a α¯ sú kolmé na rovinu rotácie. Čím väčší je moment zotrvačnosti telesa, tým nižšia je hodnota uhlového zrýchlenia, ktoré pevný moment M¯ môže udeliť systému.
Kinematické rovnice
Aby sme pochopili dôležitú úlohu, ktorú hrá uhlové zrýchlenie pri popise pohybu rotácie, napíšme si vzorce spájajúce vyššie študované kinematické veličiny.
V prípade rovnomerne zrýchlenej rotácie platia nasledujúce matematické vzťahy:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Prvý vzorec ukazuje, že uhlovárýchlosť sa bude časom zvyšovať podľa lineárneho zákona. Druhý výraz umožňuje vypočítať uhol, o ktorý sa teleso otočí za známy čas t. Graf funkcie θ(t) je parabola. V oboch prípadoch je uhlové zrýchlenie konštantné.
Ak použijeme vzťahový vzorec medzi L a θ uvedený na začiatku článku, môžeme získať výraz pre α z hľadiska lineárneho zrýchlenia a:
α=a / r
Ak je α konštantné, potom ako sa vzdialenosť od osi rotácie r zväčšuje, lineárne zrýchlenie a sa bude úmerne zvyšovať. Preto sa na otáčanie používajú uhlové charakteristiky, ktoré sa na rozdiel od lineárnych nemenia s rastúcim alebo klesajúcim r.
Príklad problému
Kovový hriadeľ, ktorý sa otáča s frekvenciou 2 000 otáčok za sekundu, sa začal spomaľovať a úplne sa zastavil po 1 minúte. Je potrebné vypočítať, s akým uhlovým zrýchlením prebiehal proces spomalenia hriadeľa. Mali by ste tiež vypočítať počet otáčok, ktoré hriadeľ vykonal pred zastavením.
Proces spomalenia rotácie je opísaný nasledujúcim výrazom:
ω=ω0- α × t
Počiatočná uhlová rýchlosť ω0je určená z frekvencie otáčania f takto:
ω0=2 × pi × f
Keďže poznáme čas spomalenia, dostaneme hodnotu zrýchlenia α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Toto číslo treba brať so znamienkom mínus,pretože hovoríme o spomalení systému, nie o jeho zrýchlení.
Na určenie počtu otáčok, ktoré hriadeľ vykoná počas brzdenia, použite výraz:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
Získaná hodnota uhla natočenia θ v radiánoch sa jednoducho prevedie na počet otáčok vykonaných hriadeľom pred jeho úplným zastavením pomocou jednoduchého delenia 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 otáčok.
Získali sme teda všetky odpovede na otázky problému: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 otáčok.
