Keď musíte riešiť problémy vo fyzike o pohybe predmetov, často sa ukáže ako užitočné použiť zákon zachovania hybnosti. Aká je hybnosť pre lineárny a kruhový pohyb telesa a čo je podstatou zákona zachovania tejto hodnoty, rozoberáme v článku.
Koncept lineárnej hybnosti
Historické údaje ukazujú, že o tejto hodnote prvýkrát vo svojich vedeckých prácach uvažoval Galileo Galilei na začiatku 17. storočia. Následne Isaac Newton dokázal harmonicky integrovať koncept hybnosti (správnejší názov pre hybnosť) do klasickej teórie pohybu objektov v priestore.
Označte hybnosť ako p¯, potom vzorec na jej výpočet zapíšeme takto:
p¯=mv¯.
Tu m je hmotnosť, v¯ je rýchlosť (vektorová hodnota) pohybu. Táto rovnosť ukazuje, že množstvo pohybu je charakteristikou rýchlosti objektu, pričom hmotnosť zohráva úlohu multiplikačného faktora. Počet pohybovje vektorová veličina smerujúca rovnakým smerom ako rýchlosť.
Intuitívne, čím väčšia je rýchlosť pohybu a hmotnosť telesa, tým ťažšie je zastaviť ho, teda čím väčšiu kinetickú energiu má.
Množstvo pohybu a jeho zmena
Môžete hádať, že ak chcete zmeniť hodnotu p¯ tela, musíte použiť určitú silu. Nech sila F¯ pôsobí počas časového intervalu Δt, potom nám Newtonov zákon umožňuje zapísať rovnosť:
F¯Δt=ma¯Δt; preto F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
Hodnota rovnajúca sa súčinu časového intervalu Δt a sily F¯ sa nazýva impulz tejto sily. Keďže sa ukazuje, že sa rovná zmene hybnosti, táto sa často nazýva jednoducho hybnosť, čo naznačuje, že ju vytvorila nejaká vonkajšia sila F¯.
Príčinou zmeny hybnosti je teda hybnosť vonkajšej sily. Hodnota Δp¯ môže viesť k zvýšeniu hodnoty p¯, ak je uhol medzi F¯ a p¯ ostrý, ako aj k zníženiu modulu p¯, ak je tento uhol tupý. Najjednoduchšie prípady sú zrýchlenie telesa (uhol medzi F¯ a p¯ je nulový) a jeho spomalenie (uhol medzi vektormi F¯ a p¯ je 180o).
Keď sa hybnosť zachováva: zákon
Ak systém tela nie jepôsobia vonkajšie sily a všetky procesy v ňom sú obmedzené len mechanickou interakciou jeho zložiek, potom zostáva každá zložka hybnosti ľubovoľne dlho nezmenená. Ide o zákon zachovania hybnosti telies, ktorý je matematicky napísaný takto:
p¯=∑ipi¯=const or
∑ipix=const; ∑ipiy=const; ∑ipiz=const.
Spodný index i je celé číslo, ktoré vymenúva objekt systému a indexy x, y, z popisujú zložky hybnosti pre každú zo súradnicových osí v karteziánskom pravouhlom systéme.
V praxi je často potrebné riešiť jednorozmerné problémy pre zrážku telies, keď sú známe počiatočné podmienky a je potrebné zistiť stav systému po náraze. V tomto prípade je hybnosť vždy zachovaná, čo sa nedá povedať o kinetickej energii. Ten pred a po náraze bude nezmenený iba v jedinom prípade: keď dôjde k absolútne elastickej interakcii. Pre tento prípad zrážky dvoch telies pohybujúcich sa rýchlosťami v1 a v2,vzorec zachovania hybnosti bude mať tvar:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Rýchlosti u1 a u2 tu charakterizujú pohyb telies po náraze. Všimnite si, že v tejto forme zákona o zachovaní je potrebné vziať do úvahy znamenie rýchlostí: ak sú nasmerované k sebe, potom by sa malo vziaťpozitívny a druhý negatívny.
Pre dokonale nepružnú zrážku (dve telesá sa po náraze zlepia k sebe) má zákon zachovania hybnosti tvar:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Riešenie problému so zákonom zachovania p¯
Vyriešme nasledujúci problém: dve loptičky sa kotúľajú k sebe. Hmotnosti loptičiek sú rovnaké a ich rýchlosti sú 5 m/s a 3 m/s. Za predpokladu, že dôjde k absolútne elastickej zrážke, je potrebné nájsť rýchlosti loptičiek po nej.
Pomocou zákona zachovania hybnosti pre jednorozmerný prípad a berúc do úvahy, že kinetická energia sa po náraze zachová, píšeme:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Tu sme okamžite znížili hmotnosti loptičiek z dôvodu ich rovnosti a zohľadnili aj skutočnosť, že sa telá pohybujú k sebe.
Pokračovať v riešení systému je jednoduchšie, ak nahradíte známe údaje. Získame:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Nahradením u1 do druhej rovnice dostaneme:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; teda,u22- 2u2 - 15=0.
Máme klasickú kvadratickú rovnicu. Riešime to cez diskriminant, dostaneme:
D=4 – 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Máme dve riešenia. Ak ich dosadíme do prvého výrazu a definujeme u1, dostaneme nasledujúcu hodnotu: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. Druhá dvojica čísel je uvedená v stave problému, takže nezodpovedá reálnemu rozloženiu rýchlostí po dopade.
Zostáva teda len jedno riešenie: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Tento zvláštny výsledok znamená, že pri centrálnej elastickej zrážke si dve gule rovnakej hmotnosti jednoducho vymenia svoju rýchlosť.
Moment hybnosti
Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa vzťahuje na lineárny typ pohybu. Ukazuje sa však, že podobné veličiny je možné zaviesť aj v prípade kruhového posunu telies okolo určitej osi. Moment hybnosti, ktorý sa nazýva aj moment hybnosti, sa vypočíta ako súčin vektora spájajúceho hmotný bod s osou rotácie a hybnosti tohto bodu. To znamená, že vzorec platí:
L¯=r¯p¯, kde p¯=mv¯.
Momentum, podobne ako p¯, je vektor, ktorý je nasmerovaný kolmo na rovinu postavenú na vektoroch r¯ a p¯.
Hodnota L¯ je dôležitou charakteristikou rotačného systému, pretože určuje energiu, ktorá je v ňom uložená.
Moment hybnosti a zákon zachovania
Moment hybnosti je zachovaný, ak na systém nepôsobia žiadne vonkajšie sily (zvyčajne hovoria, že neexistuje žiadny moment síl). Výraz v predchádzajúcom odseku možno jednoduchými transformáciami napísať vo forme vhodnejšej na precvičenie:
L¯=Iω¯, kde I=mr2 je moment zotrvačnosti hmotného bodu, ω¯ je uhlová rýchlosť.
Moment zotrvačnosti I, ktorý sa objavil vo výraze, má pre rotáciu presne rovnaký význam ako obvyklá hmotnosť pre lineárny pohyb.
Ak dôjde k nejakému vnútornému preskupeniu systému, v ktorom sa zmení I, potom ω¯ tiež nezostane konštantné. Navyše k zmene oboch fyzikálnych veličín dochádza tak, že platí rovnosť nižšie:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Toto je zákon zachovania momentu hybnosti L¯. Jeho prejav pozoroval každý, kto sa aspoň raz zúčastnil baletu alebo krasokorčuľovania, kde športovci predvádzajú piruety s rotáciou.
