Typickými lineárnymi parametrami každej pyramídy sú dĺžky strán jej základne, výška, bočné hrany a apotémy. Napriek tomu existuje ďalšia charakteristika, ktorá je spojená s uvedenými parametrami - toto je dihedrálny uhol. Zvážte v článku, čo to je a ako to nájsť.
Pyramída priestorových figúrok
Každý študent má dobrú predstavu o tom, čo je v stávke, keď počuje slovo „pyramída“. Môže byť skonštruovaný geometricky nasledovne: vyberte určitý mnohouholník, potom upevnite bod v priestore a pripojte ho ku každému rohu mnohouholníka. Výsledný trojrozmerný obrazec bude pyramída ľubovoľného typu. Mnohouholník, ktorý ho tvorí, sa nazýva základňa a bod, ku ktorému sú pripojené všetky jeho rohy, je vrcholom obrazca. Obrázok nižšie schematicky znázorňuje päťuholníkovú pyramídu.
Je vidieť, že jeho povrch tvorí nielen päťuholník, ale aj päť trojuholníkov. Vo všeobecnosti sa počet týchto trojuholníkov bude rovnať počtustrany polygonálnej základne.
Dihedrálne uhly obrázku
Keď uvažujeme geometrické problémy v rovine, akýkoľvek uhol je tvorený dvoma pretínajúcimi sa priamkami alebo segmentmi. V priestore sa k týmto lineárnym uhlom, ktoré tvoria priesečník dvoch rovín, pridávajú uhly dvojsteny.
Ak sa označená definícia uhla v priestore aplikuje na príslušný obrazec, potom môžeme povedať, že existujú dva typy dihedrálnych uhlov:
- Na základni pyramídy. Tvorí ho rovina základne a ľubovoľná bočná plocha (trojuholník). To znamená, že základné uhly pyramídy sú n, kde n je počet strán mnohouholníka.
- Medzi stranami (trojuholníky). Počet týchto dihedrálnych uhlov je tiež n kusov.
Všimnite si, že prvý typ uvažovaných uhlov je postavený na okrajoch základne, druhý typ - na bočných hranách.
Ako vypočítať uhly pyramídy?
Lineárny uhol dihedrálneho uhla je mierou druhého. Nie je ľahké to vypočítať, pretože strany pyramídy sa na rozdiel od stien hranola vo všeobecnom prípade nepretínajú v pravom uhle. Najspoľahlivejšie je vypočítať hodnoty dihedrálnych uhlov pomocou rovníc roviny vo všeobecnom tvare.
V trojrozmernom priestore je rovina daná nasledujúcim výrazom:
Ax + By + Cz + D=0
Kde A, B, C, D sú nejaké reálne čísla. Výhodou tejto rovnice je, že prvé tri označené čísla sú súradnicami vektora,ktorá je kolmá na danú rovinu, t.j.:
n¯=[A; B; C
Ak sú známe súradnice troch bodov patriacich do roviny, potom získaním vektorového súčinu dvoch vektorov postavených na týchto bodoch možno získať súradnice n¯. Vektor n¯ sa nazýva sprievodca pre rovinu.
Podľa definície sa dihedrálny uhol vytvorený priesečníkom dvoch rovín rovná lineárnemu uhlu medzi ich smerovými vektormi. Predpokladajme, že máme dve roviny, ktorých normálové vektory sú rovnaké:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Na výpočet uhla φ medzi nimi môžete použiť vlastnosť skalárneho súčinu, potom sa zodpovedajúci vzorec zmení na:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Alebo v súradnicovom tvare:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Ukážeme si, ako použiť vyššie uvedenú metódu na výpočet dihedrálnych uhlov pri riešení geometrických problémov.
Uhly pravidelnej štvorhrannej pyramídy
Predpokladajme, že existuje pravidelná pyramída, na základni ktorej je štvorec so stranou 10 cm. Výška postavy je12 cm. Je potrebné vypočítať, aké sú uhly vzpriamenia na základni pyramídy a na jej stranách.
Keďže údaj uvedený v podmienke úlohy je správny, to znamená, že má vysokú symetriu, potom sú všetky uhly v základni navzájom rovnaké. Rovnaké sú aj uhly, ktoré zvierajú bočné plochy. Na výpočet požadovaných dihedrálnych uhlov nájdeme smerové vektory pre základňu a dve bočné roviny. Označte dĺžku strany základne písmenom a a výšku h.
Na obrázku vyššie je štvoruholníková pravidelná pyramída. Vypíšme súradnice bodov A, B, C a D podľa zadaného súradnicového systému:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Teraz nájdeme smerové vektory pre základné roviny ABC a dve strany ABD a BCD v súlade s metódou opísanou v odseku vyššie:
Pre ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Pre ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Pre BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Teraz zostáva použiť vhodný vzorec pre uhol φ a nahradiť hodnoty strany a výšky z problému:
Uhol medzi ABC aABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2) + a2/4)))=arccos(a/(2√(h2 + a2) /4)))=67, 38o
Uhol medzi ABD a BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a) 2/4)))=81, 49o
Vypočítali sme hodnoty uhlov, ktoré bolo potrebné nájsť podľa stavu problému. Vzorce získané pri riešení úlohy môžu byť použité na určenie dihedrálnych uhlov štvoruholníkových pravidelných pyramíd s akýmikoľvek hodnotami a a h.
Uhly trojuholníkovej pravidelnej pyramídy
Na obrázku nižšie je pyramída, ktorej základňou je pravidelný trojuholník. Je známe, že dihedrálny uhol medzi stranami je správny. Je potrebné vypočítať plochu základne, ak je známe, že výška postavy je 15 cm.
Hedrálny uhol rovný 90o je na obrázku označený ako ABC. Problém môžete vyriešiť pomocou vyššie uvedenej metódy, ale v tomto prípade to urobíme jednoduchšie. Označme stranu trojuholníka a, výšku postavy - h, apotému - hb a stranurebro - b. Teraz môžete napísať nasledujúce vzorce:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Keďže dva bočné trojuholníky v pyramíde sú rovnaké, strany AB a CB sú rovnaké a sú nohami trojuholníka ABC. Označme ich dĺžku x, potom:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Vyrovnaním plôch postranných trojuholníkov a dosadením apotémy do zodpovedajúceho výrazu máme:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Obsah rovnostranného trojuholníka sa vypočíta takto:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Nahradením hodnoty výšky stavom problému dostaneme odpoveď: S=584, 567 cm2.
