V geometrii sa na štúdium obrazcov používajú dve dôležité charakteristiky: dĺžky strán a uhly medzi nimi. V prípade priestorových figúrok sa k týmto charakteristikám pridávajú dihedrálne uhly. Pozrime sa, čo to je, a tiež popíšme metódu určenia týchto uhlov na príklade pyramídy.
Koncept dihedrálneho uhla
Každý vie, že dve pretínajúce sa čiary zvierajú uhol s vrcholom v bode ich priesečníka. Tento uhol je možné merať pomocou uhlomeru, alebo môžete na jeho výpočet použiť trigonometrické funkcie. Uhol tvorený dvoma pravými uhlami sa nazýva lineárny.
Teraz si predstavte, že v trojrozmernom priestore existujú dve roviny, ktoré sa pretínajú v priamke. Sú zobrazené na obrázku.
Hydrický uhol je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami. Rovnako ako lineárne, meria sa v stupňoch alebo radiánoch. Ak k akémukoľvek bodu priamky, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, obnovte dve kolmice,ležiace v týchto rovinách, potom bude uhol medzi nimi požadovaný dihedral. Najjednoduchší spôsob, ako určiť tento uhol, je použiť všeobecné rovnice rovín.
Rovnica rovín a vzorec pre uhol medzi nimi
Rovnica akejkoľvek roviny v priestore vo všeobecnosti je napísaná takto:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Tu x, y, z sú súradnice bodov patriacich do roviny, koeficienty A, B, C, D sú niektoré známe čísla. Výhodou tejto rovnosti na výpočet dihedrálnych uhlov je, že explicitne obsahuje súradnice smerového vektora roviny. Označíme ho n¯. Potom:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ je kolmý na rovinu. Uhol medzi dvoma rovinami sa rovná uhlu medzi ich smerovými vektormi n1¯ a n2¯. Z matematiky je známe, že uhol tvorený dvoma vektormi je jednoznačne určený z ich skalárneho súčinu. To vám umožní napísať vzorec na výpočet dihedrálneho uhla medzi dvoma rovinami:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Ak dosadíme súradnice vektorov, vzorec bude napísaný explicitne:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Znamienko modulo v čitateli sa používa na definovanie iba ostrého uhla, pretože dihedrálny uhol je vždy menší alebo rovný 90o.
Pyramída a jej rohy
Pyramída je útvar tvorený jedným n-uholníkom a n trojuholníkmi. Tu n je celé číslo rovné počtu strán mnohouholníka, ktorý je základňou pyramídy. Tento priestorový obrazec je mnohosten alebo mnohosten, pretože pozostáva z plochých plôch (stran).
Dihedrálne uhly pyramídového mnohostenu môžu byť dvoch typov:
- medzi základňou a stranou (trojuholník);
- medzi dvoma stranami.
Ak je pyramída považovaná za pravidelnú, potom je ľahké určiť jej pomenované uhly. Aby ste to dosiahli, pomocou súradníc troch známych bodov by ste mali zostaviť rovnicu rovín a potom použiť vzorec uvedený v odseku vyššie pre uhol φ.
Nižšie uvádzame príklad, v ktorom ukážeme, ako nájsť dvojstenné uhly na základni štvorhrannej pravidelnej pyramídy.
Štvorhranná pravidelná pyramída a uhol na jej základni
Predpokladajme, že je daný pravidelný ihlan so štvorcovou základňou. Dĺžka strany štvorca je a, výška postavy je h. Nájdite uhol medzi základňou pyramídy a jej stranou.
Počiatok súradnicového systému umiestnime do stredu štvorca. Potom súradnice bodovA, B, C, D zobrazené na obrázku budú:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Zvážte roviny ACB a ADB. Je zrejmé, že smerový vektor n1¯ pre rovinu ACB bude:
1¯=(0; 0; 1).
Na určenie smerového vektora n2¯ roviny ADB postupujte takto: nájdite dva ľubovoľné vektory, ktoré k nej patria, napríklad AD¯ a AB¯, potom vypočítajte ich vektorovú prácu. Jeho výsledkom budú súradnice n2¯. Máme:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Keďže násobenie a delenie vektora číslom nemení jeho smer, výsledné n2¯ transformujeme tak, že jeho súradnice vydelíme -a, dostaneme:
2¯=(h; 0; a/2).
Definovali sme vektorové vodiace čiary n1¯ a n2¯ pre postranné roviny ACB a ADB. Zostáva použiť vzorec pre uhol φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Premeňte výsledný výraz a prepíšte ho takto:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Získali sme vzorec pre dihedrálny uhol v základni pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu. Keď poznáte výšku postavy a dĺžku jej strany, môžete vypočítať uhol φ. Napríklad pre Cheopsovu pyramídu, ktorej základná strana je 230,4 metra a počiatočná výška bola 146,5 metra, bude uhol φ 51,8o.
Pomocou geometrickej metódy je tiež možné určiť dihedrálny uhol pre štvoruholníkový pravidelný ihlan. Na to stačí zvážiť pravouhlý trojuholník tvorený výškou h, polovicou dĺžky základne a/2 a apotémou rovnoramenného trojuholníka.
