Jedna z axióm geometrie hovorí, že cez ľubovoľné dva body je možné nakresliť jednu priamku. Táto axióma svedčí o tom, že existuje jedinečný číselný výraz, ktorý jednoznačne popisuje špecifikovaný jednorozmerný geometrický objekt. Zvážte v článku otázku, ako napísať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body.
Čo je to bod a čiara?
Pred zvážením otázky konštrukcie v priestore a v rovine rovnej čiary rovnice prechádzajúcej cez dvojicu rôznych bodov by sme mali definovať špecifikované geometrické objekty.
Bod je jednoznačne určený množinou súradníc v danom systéme súradnicových osí. Okrem nich už k pointe nie sú žiadne charakteristiky. Je to objekt s nulovou dimenziou.
Keď hovoríme o rovnej čiare, každý si predstaví čiaru zobrazenú na bielom hárku papiera. Zároveň je možné poskytnúť presnú geometrickú definíciutento objekt. Priama čiara je taký súbor bodov, pre ktorý spojenie každého z nich so všetkými ostatnými poskytne množinu paralelných vektorov.
Táto definícia sa používa pri nastavovaní vektorovej rovnice priamky, o ktorej sa bude diskutovať nižšie.
Keďže každá čiara môže byť označená segmentom ľubovoľnej dĺžky, hovorí sa, že ide o jednorozmerný geometrický objekt.
Vektorová funkcia čísla
Rovnica cez dva body prechádzajúcej priamky môže byť napísaná v rôznych formách. V trojrozmerných a dvojrozmerných priestoroch je hlavným a intuitívne zrozumiteľným číselným výrazom vektor.
Predpokladajme, že existuje nejaký smerovaný segment u¯(a; b; c). V 3D priestore môže vektor u začať v akomkoľvek bode, takže jeho súradnice definujú nekonečnú množinu paralelných vektorov. Ak však vyberieme konkrétny bod P(x0; y0; z0) a dáme ak je to začiatok vektora u¯, potom vynásobením tohto vektora ľubovoľným reálnym číslom λ môžeme získať všetky body jednej priamky v priestore. To znamená, že vektorová rovnica bude napísaná ako:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Je zrejmé, že pre prípad v rovine má číselná funkcia tvar:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Výhoda tohto typu rovnice v porovnaní s ostatnými (v segmentoch, kanonických,všeobecná forma) spočíva v tom, že výslovne obsahuje súradnice smerového vektora. Ten sa často používa na určenie, či sú čiary rovnobežné alebo kolmé.
Všeobecné v segmentoch a kanonickej funkcii pre priamku v dvojrozmernom priestore
Pri riešení úloh niekedy potrebujete napísať rovnicu priamky prechádzajúcej cez dva body v určitom, špecifickom tvare. Preto by mali byť uvedené iné spôsoby špecifikácie tohto geometrického objektu v dvojrozmernom priestore (pre jednoduchosť uvažujeme prípad v rovine).
Začnime všeobecnou rovnicou. Má tvar:
Ax + By + C=0
V rovine sa rovnica priamky píše spravidla v tomto tvare, iba y je explicitne definované prostredníctvom x.
Teraz transformujte výraz vyššie takto:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Tento výraz sa nazýva rovnica v segmentoch, pretože menovateľ pre každú premennú ukazuje, ako dlho sa úsečka odreže na zodpovedajúcej súradnicovej osi vzhľadom na počiatočný bod (0; 0).
Zostáva uviesť príklad kanonickej rovnice. Aby sme to dosiahli, vektorovú rovnosť napíšeme explicitne:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Vyjadrime parameter λ odtiaľto a prirovnajme výsledné rovnosti:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Posledná rovnosť sa nazýva rovnica v kanonickom alebo symetrickom tvare.
Každý z nich je možné previesť na vektor a naopak.
Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: technika kompilácie
Späť k otázke k článku. Predpokladajme, že v priestore sú dva body:
M(x1; y1; z1) a N(x 2; y2; z2)
Prechádza nimi jediná priamka, ktorej rovnica sa vo vektorovej forme veľmi ľahko skladá. Na tento účel vypočítame súradnice smerovaného segmentu MN¯, máme:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nie je ťažké uhádnuť, že tento vektor bude vodítkom pre priamku, ktorej rovnicu je potrebné získať. S vedomím, že prechádza aj cez M a N, môžete použiť súradnice ktorejkoľvek z nich pre vektorový výraz. Potom získa požadovaná rovnica tvar:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Pre prípad v dvojrozmernom priestore získame podobnú rovnosť bez účasti premennej z.
Akonáhle je vektorová rovnosť pre riadok napísaná, môže byť preložená do akejkoľvek inej formy, ktorú si otázka problému vyžaduje.
Úloha:napíšte všeobecnú rovnicu
Je známe, že priamka prechádza bodmi so súradnicami (-1; 4) a (3; 2). Je potrebné zostaviť rovnicu priamky, ktorá cez ne prechádza, vo všeobecnom tvare vyjadrujúcom y pomocou x.
Na vyriešenie problému najskôr napíšeme rovnicu vo vektorovej forme. Vektorové (vodiace) súradnice sú:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Vektorový tvar rovnice priamky je nasledujúci:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Ostáva to napísať vo všeobecnom tvare v tvare y(x). Túto rovnosť explicitne prepíšeme, vyjadríme parameter λ a vylúčime ho z rovnice:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Z výslednej kanonickej rovnice vyjadríme y a dostaneme sa k odpovedi na otázku problému:
y=-0,5x + 3,5
Platnosť tejto rovnosti možno skontrolovať dosadením súradníc bodov špecifikovaných vo vyhlásení o probléme.
Problém: rovná čiara prechádzajúca stredom segmentu
Teraz poďme vyriešiť jeden zaujímavý problém. Predpokladajme, že sú dané dva body M(2; 1) a N(5; 0). Je známe, že stredom segmentu, ktorý spája body a je naň kolmá, prechádza priamka. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej stredom segmentu vo vektorovom tvare.
Požadovaný číselný výraz možno vytvoriť výpočtom súradnice tohto stredu a určením smerového vektora, ktorýsegment zviera uhol 90o.
Stred segmentu je:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Poďme teraz vypočítať súradnice vektora MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Keďže smerový vektor pre požadovanú čiaru je kolmý na MN¯, ich skalárny súčin sa rovná nule. To vám umožňuje vypočítať neznáme súradnice (a; b) vektora riadenia:
a3 – b=0=>
b=3a
Teraz napíšte vektorovú rovnicu:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Tu sme nahradili produkt aλ novým parametrom β.
Vytvorili sme teda rovnicu priamky prechádzajúcej stredom segmentu.
