Oblasť bočného povrchu pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy: vzorce a príklady problémov

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Typickými geometrickými problémami v rovine a v trojrozmernom priestore sú problémy určovania povrchových plôch rôznych tvarov. V tomto článku uvádzame vzorec pre plochu bočného povrchu pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy.

Čo je pyramída?

Uveďme prísnu geometrickú definíciu pyramídy. Predpokladajme, že existuje nejaký mnohouholník s n stranami a n rohmi. Zvolíme si ľubovoľný bod v priestore, ktorý nebude v rovine zadaného n-uholníka, a pripojíme ho ku každému vrcholu mnohouholníka. Dostaneme obrazec, ktorý má nejaký objem, ktorý sa nazýva n-gonálna pyramída. Ukážme si napríklad na obrázku nižšie, ako vyzerá päťuholníková pyramída.

Dva dôležité prvky každej pyramídy sú jej základňa (n-uholník) a vrchol. Tieto prvky sú navzájom spojené n trojuholníkmi, ktoré sa vo všeobecnosti navzájom nerovnajú. Kolmica klesla zzhora nadol sa nazýva výška postavy. Ak pretína základňu v geometrickom strede (zhoduje sa s ťažiskom mnohouholníka), potom sa takáto pyramída nazýva priamka. Ak je základňou okrem tejto podmienky pravidelný mnohouholník, potom sa celá pyramída nazýva pravidelná. Obrázok nižšie ukazuje, ako vyzerajú pravidelné pyramídy s trojuholníkovými, štvoruholníkovými, päťuholníkovými a šesťhrannými základňami.

Pyramídový povrch

Skôr než prejdeme k otázke plochy bočnej plochy pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy, mali by sme sa pozastaviť nad konceptom samotnej plochy.

Ako je uvedené vyššie a znázornené na obrázkoch, každá pyramída je tvorená sústavou plôch alebo strán. Jedna strana je základňa a n strán sú trojuholníky. Povrch celého obrázku je súčtom plôch každej z jeho strán.

Je vhodné študovať povrch na príklade rozloženia postavy. Skenovanie pravidelnej štvorhrannej pyramídy je znázornené na obrázkoch nižšie.

Vidíme, že jeho plocha sa rovná súčtu štyroch plôch identických rovnoramenných trojuholníkov a plochy štvorca.

Celková plocha všetkých trojuholníkov, ktoré tvoria strany obrázku, sa nazýva plocha bočného povrchu. Ďalej si ukážeme, ako to vypočítať pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu.

Oblasť bočného povrchu štvorhrannej pravidelnej pyramídy

Na výpočet plochy bočnej stranypovrchu zadaného obrázku sa opäť obrátime na vyššie uvedený sken. Predpokladajme, že poznáme stranu štvorcovej základne. Označme ho symbolom a. Je vidieť, že každý zo štyroch rovnakých trojuholníkov má základňu dĺžky a. Na výpočet ich celkovej plochy potrebujete poznať túto hodnotu pre jeden trojuholník. Z kurzu geometrie je známe, že plocha trojuholníka S_{t sa rovná súčinu základne a výšky, ktorá by mala byť rozdelená na polovicu. To je:}

S_t=1/2h_ba.

Kde h_b je výška rovnoramenného trojuholníka nakresleného na základňu a. Pre pyramídu je táto výška apotémou. Teraz zostáva vynásobiť výsledný výraz číslom 4, aby sme dostali plochu S_{b bočnej plochy pre príslušnú pyramídu:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Tento vzorec obsahuje dva parametre: apotém a stranu základne. Ak je vo väčšine podmienok problémov známy druhý, potom prvý sa musí vypočítať so znalosťou iných veličín. Tu sú vzorce na výpočet apotému h_{b pre dva prípady:}

• keď je známa dĺžka bočného rebra;
• keď je známa výška pyramídy.

Ak dĺžku bočnej hrany (stranu rovnoramenného trojuholníka) označíme symbolom L, potom apotéma h_{b je určená vzorcom:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Tento výraz je výsledkom aplikácie Pytagorovej vety pre trojuholník s bočnou plochou.

Ak je známyvýšku h pyramídy, potom apotému h_{b možno vypočítať takto:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Získanie tohto výrazu tiež nie je ťažké, ak vo vnútri pyramídy uvažujeme o pravouhlom trojuholníku, ktorý tvoria nohy h a a/2 a prepona h_b.

Poďme si ukázať, ako použiť tieto vzorce vyriešením dvoch zaujímavých problémov.

Problém so známou plochou

Je známe, že bočný povrch pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy je 108 cm². Je potrebné vypočítať hodnotu dĺžky jej apotémy h_{b, ak je výška pyramídy 7 cm.}

Napíšme vzorec pre plochu S_{b plochy steny cez výšku. Máme:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Tu sme len dosadili zodpovedajúci vzorec apotému do výrazu pre S_{b. Odmocnime obe strany rovnice:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Ak chcete nájsť hodnotu a, vykonajte zmenu premenných:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Teraz nahradíme známe hodnoty a vyriešime kvadratickú rovnicu:

t2+ 196t – 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Napísali sme iba kladný koreň tejto rovnice. Potom budú strany základne pyramídy:

a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.

Ak chcete získať dĺžku apotemy,stačí použiť vzorec:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 pozri}

Bočný povrch Cheopsovej pyramídy

Určite hodnotu bočného povrchu najväčšej egyptskej pyramídy. Je známe, že na jeho základni leží štvorec s dĺžkou strany 230,363 metra. Výška stavby bola pôvodne 146,5 metra. Dosaďte tieto čísla do zodpovedajúceho vzorca pre S_{b, dostaneme:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Nájdená hodnota je o niečo väčšia ako plocha 17 futbalových ihrísk.