Valec: bočná plocha. Vzorec pre oblasť bočného povrchu valca

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Pri štúdiu stereometrie je jednou z hlavných tém „Valec“. Bočný povrch sa považuje, ak nie hlavný, za dôležitý vzorec pri riešení geometrických problémov. Je však dôležité zapamätať si definície, ktoré vám pomôžu orientovať sa v príkladoch a pri dokazovaní rôznych viet.

Koncepcia valca

Najprv musíme zvážiť niekoľko definícií. Až po ich preštudovaní možno začať uvažovať o otázke vzorca pre oblasť bočného povrchu valca. Na základe tohto záznamu je možné vypočítať ďalšie výrazy.

• Valcový povrch sa chápe ako rovina opísaná tvoriacou čiarou, ktorá sa pohybuje a zostáva rovnobežná s daným smerom, posúva sa pozdĺž existujúcej krivky.
• Existuje aj druhá definícia: valcová plocha je tvorená súborom rovnobežných čiar pretínajúcich danú krivku.
• Generatív sa bežne nazýva výška valca. Keď sa pohybuje okolo osi prechádzajúcej stredom základne,získa sa určené geometrické teleso.
• Pod osou je myslená priamka prechádzajúca oboma základňami obrázku.
• Valec je stereometrické teleso ohraničené pretínajúcou sa bočnou plochou a 2 rovnobežnými rovinami.

Existujú rôzne druhy tejto trojrozmernej postavy:

1. Kruhový je valec, ktorého vodidlom je kruh. Jeho hlavnými komponentmi sú polomer základne a tvoriaca čiara. Druhá sa rovná výške postavy.
2. Je tu rovný valec. Svoj názov dostal vďaka kolmosti tvoriacej čiary na základne obrazca.
3. Tretím druhom je skosený valec. V učebniciach preň nájdete aj iný názov – „kruhový valec so skosenou základňou“. Tento údaj definuje polomer základne, minimálnu a maximálnu výšku.
4. Rovnostranný valec sa chápe ako teleso s rovnakou výškou a priemerom ako kruhová rovina.

Symboly

Tradične sa hlavné „komponenty“valca nazývajú takto:

• Polomer základne je R (tiež nahrádza rovnakú hodnotu stereometrického útvaru).
• Generatívne – L.
• Výška – V.
• Oblasť základne - S_{základ(inými slovami, musíte nájsť zadaný parameter kruhu).}
• Výšky skoseného valca – h₁, h_{2(minimálne a maximálne).}
• Povrch strany - S_{side (ak ju rozšírite, získateakýsi obdĺžnik).}
• Objem stereometrického útvaru - V.
• Celková plocha – S.

„Komponenty“stereometrického obrazca

Pri štúdiu valca hrá laterálna plocha dôležitú úlohu. Je to spôsobené tým, že tento vzorec je zahrnutý v niekoľkých ďalších, zložitejších. Preto je potrebné dobre sa orientovať v teórii.

Hlavné súčasti obrázku sú:

1. Bočný povrch. Ako viete, získava sa vďaka pohybu tvoriacej čiary pozdĺž danej krivky.
2. Úplná plocha zahŕňa existujúce základne a bočnú rovinu.
3. Rez valca je spravidla obdĺžnik umiestnený rovnobežne s osou obrázku. Inak sa tomu hovorí rovina. Ukazuje sa, že dĺžka a šírka sú súčasťou iných postáv na čiastočný úväzok. Podmienečne sú teda dĺžky úseku generátory. Šírka - rovnobežné akordy stereometrického útvaru.
4. Axiálny rez znamená umiestnenie roviny cez stred tela.
5. A nakoniec posledná definícia. Dotyčnica je rovina prechádzajúca cez tvoriacu čiaru valca a kolmá na osový rez. V tomto prípade musí byť splnená jedna podmienka. Špecifikovaná tvoriaca čiara musí byť zahrnutá v rovine axiálneho rezu.

Základné vzorce pre prácu s valcom

Na zodpovedanie otázky, ako nájsť povrch valca, je potrebné preštudovať si hlavné „komponenty“stereometrického útvaru a vzorce na ich nájdenie.

Tieto vzorce sa líšia v tom, že najprv sú uvedené výrazy pre skosený valec a potom pre rovný.

Dekonštruované príklady

Úloha 1.

Je potrebné poznať plochu bočného povrchu valca. Je daná uhlopriečka rezu AC=8 cm (navyše osová). Pri kontakte s tvoriacou čiarou sa ukáže _<ACD=30°

Rozhodnutie. Keďže sú známe hodnoty uhlopriečky a uhla, potom v tomto prípade:

CD=ACcos 30°

Komentár. Trojuholník ACD je v tomto konkrétnom príklade pravouhlý trojuholník. To znamená, že kvocient delenia CD a AC=kosínus daného uhla. Hodnotu goniometrických funkcií nájdete v špeciálnej tabuľke.

Podobne môžete nájsť hodnotu AD:

AD=ACsin 30°

Teraz musíte vypočítať požadovaný výsledok pomocou nasledujúcej formulácie: plocha bočného povrchu valca sa rovná dvojnásobku výsledku vynásobenia „pí“, polomeru postavy a jej výšky. Mal by sa použiť aj iný vzorec: plocha základne valca. Rovná sa výsledku vynásobenia „pí“druhou mocninou polomeru. A nakoniec posledný vzorec: celková plocha povrchu. Rovná sa súčtu predchádzajúcich dvoch oblastí.

Úloha 2.

Fľaše sú dané. Ich objem=128n cm³. Ktorý valec má najmenšícelý povrch?

Rozhodnutie. Najprv musíte použiť vzorce na zistenie objemu postavy a jej výšky.

Keďže celkový povrch valca je z teórie známy, musí sa použiť jeho vzorec.

Ak vezmeme do úvahy výsledný vzorec ako funkciu plochy valca, potom sa minimálny „ukazovateľ“dosiahne v extrémnom bode. Ak chcete získať poslednú hodnotu, musíte použiť diferenciáciu.

Vzorce si môžete pozrieť v špeciálnej tabuľke na hľadanie derivátov. V budúcnosti sa nájdený výsledok rovná nule a nájde sa riešenie rovnice.

Odpoveď: S_{min sa dosiahne pri v=1/32 cm, R=64 cm.}

Problém 3.

Vzhľadom na stereometrický obrazec - valec a rez. Ten sa vykonáva tak, že je umiestnený rovnobežne s osou stereometrického telesa. Valec má tieto parametre: VK=17 cm, v=15 cm, R=5 cm Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi rezom a osou.

Rozhodnutie.

Keďže prierezom valca sa rozumie VSCM, t.j. obdĺžnik, jeho strana VM=h. Je potrebné zvážiť WMC. Trojuholník je obdĺžnikový. Na základe tohto tvrdenia môžeme odvodiť správny predpoklad, že MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² – 15²

MK²=64

MK=8

Odtiaľto môžeme konštatovať, že MK=BC=8 cm.

Ďalším krokom je nakresliť rez základňou obrázku. Je potrebné zvážiť výslednú rovinu.

AD – priemer stereometrického útvaru. Je paralelná s časťou uvedenou vo vyhlásení o probléme.

BC je priamka umiestnená v rovine existujúceho obdĺžnika.

ABCD je lichobežník. V konkrétnom prípade sa považuje za rovnoramenný, pretože okolo neho je opísaný kruh.

Ak nájdete výšku výsledného lichobežníka, môžete dostať odpoveď uvedenú na začiatku úlohy. Konkrétne: nájdenie vzdialenosti medzi osou a nakresleným rezom.

Ak to chcete urobiť, musíte nájsť hodnoty AD a OS.

Odpoveď: časť sa nachádza 3 cm od osi.

Problémy pri konsolidácii materiálu

Príklad 1.

Volca je daný. V ďalšom riešení je použitá bočná plocha. Ďalšie možnosti sú známe. Plocha základne je Q, plocha axiálneho rezu je M. Je potrebné nájsť S. Inými slovami, celková plocha valca.

Príklad 2.

Volca je daný. Bočná plocha sa musí nájsť v jednom z krokov riešenia problému. Je známe, že výška=4 cm, polomer=2 cm. Je potrebné nájsť celkovú plochu stereometrického útvaru.