Vektor je dôležitý geometrický objekt, s pomocou jeho vlastností je vhodné riešiť množstvo problémov v rovine aj v priestore. V tomto článku ho zadefinujeme, zvážime jeho hlavné charakteristiky a tiež ukážeme, ako sa dá vektor v priestore použiť na definovanie rovín.
Čo je vektor: dvojrozmerný prípad
V prvom rade je potrebné jasne pochopiť, o akom predmete hovoríme. V geometrii sa smerovaný segment nazýva vektor. Ako každý segment sa vyznačuje dvoma hlavnými prvkami: počiatočným a koncovým bodom. Súradnice týchto bodov jednoznačne určujú všetky charakteristiky vektora.
Uvažujme príklad vektora v rovine. Za týmto účelom nakreslíme dve navzájom kolmé osi x a y. Označme ľubovoľný bod P(x, y). Ak tento bod spojíme s počiatkom (bod O) a potom určíme smer k P, dostaneme vektor OP¯ (neskôr v článku pruh nad symbolom naznačuje, že uvažujeme o vektore). Vektorová kresba v lietadle je zobrazená nižšie.
Tu je zobrazený aj ďalší vektor AB¯ a môžete vidieť, že jeho charakteristiky sú úplne rovnaké ako OP¯, ale nachádza sa v inej časti súradnicového systému. Paralelným prekladom OP¯ môžete získať nekonečné množstvo vektorov s rovnakými vlastnosťami.
Vektor v priestore
Všetky skutočné predmety, ktoré nás obklopujú, sú v trojrozmernom priestore. Štúdium geometrických vlastností trojrozmerných útvarov sa zaoberá stereometriou, ktorá operuje s pojmom trojrozmerné vektory. Od dvojrozmerných sa líšia iba tým, že ich popis vyžaduje dodatočnú súradnicu, ktorá sa meria pozdĺž tretej kolmej osi x a y z.
Na obrázku nižšie je znázornený vektor v priestore. Súradnice jeho konca pozdĺž každej osi sú označené farebnými segmentmi. Začiatok vektora sa nachádza v priesečníku všetkých troch súradnicových osí, to znamená, že má súradnice (0; 0; 0).
Keďže vektor v rovine je špeciálnym prípadom priestorovo orientovaného segmentu, budeme v článku uvažovať iba o trojrozmernom vektore.
Súradnice vektora založené na známych súradniciach jeho začiatku a konca
Predpokladajme, že existujú dva body P(x1; y1; z1) a Q(x2; y2; z2). Ako určiť súradnice vektora PQ¯. Najprv je potrebné dohodnúť, ktorý z bodov bude začiatkom a ktorý koncom vektora. V matematike je zvykom písať predmetný objekt pozdĺž jeho smeru, to znamená, že P je začiatok, Q- koniec. Po druhé, súradnice vektora PQ¯ sa vypočítajú ako rozdiel medzi zodpovedajúcimi súradnicami konca a začiatku, to znamená:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Všimnite si, že zmenou smeru vektora sa jeho súradnice zmenia na znamienko takto:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
To znamená PQ¯=-QP¯.
Je dôležité pochopiť ešte jednu vec. Vyššie bolo povedané, že v rovine je nekonečný počet vektorov rovných danému. Táto skutočnosť platí aj pre priestorový prípad. V skutočnosti, keď sme vypočítali súradnice PQ¯ vo vyššie uvedenom príklade, vykonali sme operáciu paralelnej translácie tohto vektora takým spôsobom, že jeho počiatok sa zhodoval s počiatkom. Vektor PQ¯ je možné nakresliť ako riadený segment z počiatku do bodu M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vlastnosti vektora
Ako každý geometrický objekt, aj vektor má určité vlastné charakteristiky, ktoré možno použiť na riešenie problémov. Poďme si ich v krátkosti vymenovať.
Vektorový modul je dĺžka nasmerovaného segmentu. Keď poznáte súradnice, je ľahké to vypočítať. Pre vektor PQ¯ v príklade vyššie je modul:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektorový modul je zapnutýrovina sa vypočíta podľa podobného vzorca, len bez účasti tretej súradnice.
Súčet a rozdiel vektorov sa vykonáva podľa trojuholníkového pravidla. Obrázok nižšie ukazuje, ako tieto objekty pridať a odčítať.
Ak chcete získať vektor súčtu, pridajte začiatok druhého na koniec prvého vektora. Požadovaný vektor začne na začiatku prvého a skončí na konci druhého vektora.
Rozdiel sa vykoná s prihliadnutím na skutočnosť, že odčítaný vektor sa nahradí opačným vektorom a potom sa vykoná operácia sčítania opísaná vyššie.
Okrem sčítania a odčítania je dôležité vedieť vynásobiť vektor číslom. Ak sa číslo rovná k, potom sa získa vektor, ktorého modul je k-krát odlišný od pôvodného a smer je buď rovnaký (k>0) alebo opačný ako pôvodný (k<0).
Operácia násobenia vektorov medzi sebou je tiež definovaná. V článku tomu vyčleníme samostatný odsek.
Skalárne a vektorové násobenie
Predpokladajme, že existujú dva vektory u¯(x1; y1; z1) a v¯(x2; y2; z2). Vektor po vektore je možné násobiť dvoma rôznymi spôsobmi:
- Skalar. V tomto prípade je výsledkom číslo.
- Vektor. Výsledkom je nový vektor.
Skalárny súčin vektorov u¯ a v¯ sa vypočíta takto:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Kde α je uhol medzi danými vektormi.
Je možné ukázať, že ak poznáme súradnice u¯ a v¯, ich bodový súčin možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalárny súčin je vhodné použiť pri rozklade vektora na dva na seba kolmé segmenty. Používa sa tiež na výpočet rovnobežnosti alebo ortogonality vektorov a na výpočet uhla medzi nimi.
Krížový súčin u¯ a v¯ dáva nový vektor, ktorý je kolmý na pôvodné a má modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Smer nadol alebo nahor nového vektora je určený pravidlom pravej ruky (štyri prsty pravej ruky smerujú od konca prvého vektora po koniec druhého a palec je nahor označuje smer nového vektora). Obrázok nižšie zobrazuje výsledok krížového súčinu pre ľubovoľné a¯ a b¯.
Krížový súčin sa používa na výpočet plôch obrázkov, ako aj na určenie súradníc vektora kolmého na danú rovinu.
Vektory a ich vlastnosti je vhodné použiť pri definovaní rovnice roviny.
Normálna a všeobecná rovnica roviny
Existuje niekoľko spôsobov, ako definovať rovinu. Jednou z nich je odvodenie všeobecnej rovnice roviny, ktorá vyplýva priamo zo znalosti vektora na ňu kolmého a nejakého známeho bodu, ktorý rovine patrí.
Predpokladajme, že existuje vektor n¯ (A; B; C) a bod P (x0; y0; z 0). Aká podmienka bude spĺňať všetky body Q(x; y; z) roviny? Táto podmienka spočíva v kolmosti ľubovoľného vektora PQ¯ na normálu n¯. Pre dva kolmé vektory sa bodový súčin stane nulou (cos(90o)=0), napíšte toto:
(n¯PQ¯)=0 alebo
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Otvorením zátvoriek dostaneme:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 alebo
Ax + By + Cz +D=0, kde D=-Ax0-By0-Cz0.
Táto rovnica sa nazýva všeobecná pre rovinu. Vidíme, že koeficienty pred x, y a z sú súradnice kolmého vektora n¯. Nazýva sa to sprievodca lietadlom.
Vektorová parametrická rovnica roviny
Druhý spôsob, ako definovať rovinu, je použiť dva vektory, ktoré v nej ležia.
Predpokladajme, že existujú vektory u¯(x1; y1; z1) a v¯(x2; y2; z2). Ako už bolo povedané, každý z nich v priestore môže byť reprezentovaný nekonečným počtom identických smerovaných segmentov, preto je na jednoznačné určenie roviny potrebný ešte jeden bod. Nech je tento bod P(x0;y0; z0). Akýkoľvek bod Q(x; y; z) bude ležať v požadovanej rovine, ak vektor PQ¯ môže byť reprezentovaný ako kombinácia u¯ a v¯. To znamená, že máme:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Kde α a β sú nejaké reálne čísla. Z tejto rovnosti vyplýva výraz:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Nazýva sa to parametrická vektorová rovnica roviny vzhľadom na 2 vektory u¯ a v¯. Nahradením ľubovoľných parametrov α a β je možné nájsť všetky body (x; y; z) patriace do tejto roviny.
Z tejto rovnice je ľahké získať všeobecný výraz pre rovinu. Na to stačí nájsť smerový vektor n¯, ktorý bude kolmý na oba vektory u¯ aj v¯, to znamená, že by sa mal použiť ich vektorový súčin.
Problém určenia všeobecnej rovnice roviny
Poďme si ukázať, ako použiť vyššie uvedené vzorce na riešenie geometrických problémov. Predpokladajme, že smerový vektor roviny je n¯(5; -3; 1). Mali by ste nájsť rovnicu roviny s vedomím, že bod P(2; 0; 0) k nej patrí.
Všeobecná rovnica je napísaná takto:
Ax + By + Cz +D=0.
Keďže je známy vektor kolmý na rovinu, rovnica bude mať tvar:
5x – 3y + z +D=0.
Zostáva nájsť voľný výraz D. Vypočítame ho zo znalosti súradníc P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 – 10=-10.
Požadovaná rovnica roviny má teda tvar:
5x - 3y + z -10=0.
Obrázok nižšie ukazuje, ako vyzerá výsledná rovina.
Uvedené súradnice bodov zodpovedajú priesečníkom roviny s osami x, yaz.
Problém určenia roviny cez dva vektory a bod
Teraz predpokladajme, že predchádzajúca rovina je definovaná inak. Známe sú dva vektory u¯(-2; 0; 10) a v¯(-2; -10/3; 0), ako aj bod P(2; 0; 0). Ako napísať rovinnú rovnicu vo vektorovom parametrickom tvare? Pomocou uvažovaného zodpovedajúceho vzorca dostaneme:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Všimnite si, že definície tejto rovnice roviny, vektorov u¯ a v¯ môžu byť úplne akékoľvek, ale s jednou podmienkou: nesmú byť rovnobežné. V opačnom prípade sa rovina nedá jednoznačne určiť, dá sa však nájsť rovnica pre nosník alebo množinu rovín.
