Metódy na nastavenie rovníc priamok v rovine a v trojrozmernom priestore

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Priamka je hlavný geometrický objekt v rovine a v trojrozmernom priestore. Z priamych línií sú postavené mnohé postavy, napríklad: rovnobežník, trojuholník, hranol, pyramída atď. Zvážte v článku rôzne spôsoby nastavenia rovníc priamok.

Definícia priamky a typy rovníc na jej popis

Každý študent má dobrú predstavu o tom, o akom geometrickom objekte hovorí. Priamka môže byť reprezentovaná ako súbor bodov, a ak každý z nich spojíme postupne so všetkými ostatnými, dostaneme množinu paralelných vektorov. Inými slovami, ku každému bodu úsečky je možné sa dostať z jedného z jej pevných bodov a preniesť ho na nejaký jednotkový vektor vynásobený reálnym číslom. Táto definícia priamky sa používa na definovanie vektorovej rovnosti pre jej matematický popis v rovine aj v trojrozmernom priestore.

Priamku možno matematicky znázorniť nasledujúcimi typmi rovníc:

general;
vector;
parametric;
v segmentoch;
symetrický (kanonický).

Ďalej zvážime všetky menované typy a na príkladoch riešenia problémov ukážeme, ako s nimi pracovať.

Vektorový a parametrický popis priamky

Začnime definovaním priamky cez známy vektor. Predpokladajme, že v priestore M je pevný bod (x₀; y₀; z_{0). Je známe, že ním prechádza priamka a smeruje pozdĺž vektorového segmentu v¯(a; b; c). Ako nájsť ľubovoľný bod úsečky z týchto údajov? Odpoveď na túto otázku poskytne nasledujúcu rovnosť:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Kde λ je ľubovoľné číslo.

Podobný výraz možno napísať pre dvojrozmerný prípad, kde súradnice vektorov a bodov sú reprezentované množinou dvoch čísel:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

Napísané rovnice sa nazývajú vektorové rovnice a smerový segment v¯ sám o sebe je smerový vektor pre priamku.

Z napísaných výrazov sa príslušné parametrické rovnice získajú jednoducho, stačí ich explicitne prepísať. Napríklad pre prípad v priestore dostaneme nasledujúcu rovnicu:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Ak potrebujete analyzovať správanie, je vhodné pracovať s parametrickými rovnicamikaždá súradnica. Všimnite si, že hoci parameter λ môže nadobúdať ľubovoľné hodnoty, musí byť rovnaký vo všetkých troch rovnosti.

Všeobecná rovnica

Ďalším spôsobom, ako definovať priamku, ktorá sa často používa na prácu s uvažovaným geometrickým objektom, je použitie všeobecnej rovnice. Pre dvojrozmerný prípad to vyzerá takto:

Ax + By + C=0

Velké latinské písmená predstavujú špecifické číselné hodnoty. Pohodlie tejto rovnosti pri riešení úloh spočíva v tom, že explicitne obsahuje vektor, ktorý je kolmý na priamku. Ak to označíme n¯, potom môžeme napísať:

n¯=[A; B

Výraz je navyše vhodné použiť na určenie vzdialenosti od priamky k nejakému bodu P(x₁; y_{1). Vzorec pre vzdialenosť d je:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Je ľahké ukázať, že ak explicitne vyjadríme premennú y zo všeobecnej rovnice, dostaneme nasledujúcu známu formu písania priamky:

y=kx + b

Pričom k a b sú jednoznačne určené číslami A, B, C.

Rovnica v segmentoch a kanonické

Rovnicu v segmentoch je najjednoduchšie získať zo všeobecného pohľadu. Ukážeme vám, ako na to.

Predpokladajme, že máme nasledujúci riadok:

Ax + By + C=0

Presuňte voľný člen na pravú stranu rovnosti, potom ním vydeľte celú rovnicu, dostaneme:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, kde q=-C / A, p=-C / B

Dostali sme takzvanú rovnicu v segmentoch. Svoj názov dostal vďaka tomu, že menovateľ, ktorým je každá premenná rozdelená, ukazuje hodnotu súradnice priesečníka priamky s príslušnou osou. Túto skutočnosť je vhodné využiť na zobrazenie priamky v súradnicovom systéme, ako aj na analýzu jej relatívnej polohy vo vzťahu k iným geometrickým objektom (priamky, body).

Teraz prejdime k získaniu kanonickej rovnice. Je to jednoduchšie, ak vezmeme do úvahy parametrickú možnosť. Pre prípad v lietadle máme:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Parameter λ vyjadríme v každej rovnosti, potom ich srovnáme a dostaneme:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Toto je požadovaná rovnica napísaná v symetrickom tvare. Rovnako ako vektorový výraz explicitne obsahuje súradnice smerového vektora a súradnice jedného z bodov, ktoré patria k čiare.

Vidíme, že v tomto odseku sme uviedli rovnice pre dvojrozmerný prípad. Podobne môžete napísať rovnicu priamky v priestore. Tu treba poznamenať, že ak kanonická formazáznamy a výrazy v segmentoch budú mať rovnaký tvar, potom všeobecnú rovnicu v priestore pre priamku predstavuje systém dvoch rovníc pre pretínajúce sa roviny.

Problém zostrojenia rovnice priamky

Z geometrie každý študent vie, že cez dva body môžete nakresliť jednu čiaru. Predpokladajme, že v rovine súradníc sú uvedené nasledujúce body:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Je potrebné nájsť rovnicu priamky, ku ktorej patria oba body, v segmentoch, vo vektorovom, kanonickom a všeobecnom tvare.

Poďme najprv získať vektorovú rovnicu. Ak to chcete urobiť, definujte pre vektor priameho smeru M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Teraz môžete vytvoriť vektorovú rovnicu tým, že vezmete jeden z dvoch bodov špecifikovaných v probléme, napríklad M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

Na získanie kanonickej rovnice stačí zistenú rovnosť transformovať do parametrického tvaru a vylúčiť parameter λ. Máme:

x=-1 - 2λ, teda λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, potom dostaneme λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

Zostávajúce dve rovnice (všeobecné a v segmentoch) možno nájsť z kanonickej rovnice tak, že ju transformujeme takto:

x + 1=-2y + 6;

všeobecná rovnica: x + 2y - 5=0;

v segmentoch rovnica: x / 5 + y / 2, 5=1

Výsledné rovnice ukazujú, že vektor (1; 2) musí byť kolmý na čiaru. V skutočnosti, ak nájdete jeho skalárny súčin so smerovým vektorom, potom sa bude rovnať nule. Rovnica úsečky hovorí, že priamka pretína os x v bode (5; 0) a os y v bode (2, 5; 0).

Problém určenia priesečníka čiar

Dve rovné čiary sú dané v rovine nasledujúcimi rovnicami:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Je potrebné určiť súradnice bodu, kde sa tieto čiary pretínajú.

Existujú dva spôsoby, ako vyriešiť problém:

Preveďte vektorovú rovnicu do všeobecného tvaru a potom vyriešte systém dvoch lineárnych rovníc.
Nevykonávajte žiadne transformácie, ale jednoducho dosaďte súradnicu priesečníka vyjadrenú parametrom λ do prvej rovnice. Potom nájdite hodnotu parametra.

Urobme druhý spôsob. Máme: