Planimetria je odvetvie geometrie, ktoré študuje vlastnosti rovinných útvarov. Patria sem nielen známe trojuholníky, štvorce, obdĺžniky, ale aj priamky a uhly. V planimetrii existujú aj také pojmy ako uhly v kruhu: centrálne a vpísané. Ale čo znamenajú?
Aký je stredový uhol?
Ak chcete pochopiť, čo je stredový uhol, musíte definovať kruh. Kruh je súbor všetkých bodov rovnako vzdialených od daného bodu (stredu kruhu).
Je veľmi dôležité odlíšiť ho od kruhu. Je potrebné si uvedomiť, že kruh je uzavretá čiara a kruh je časť roviny, ktorá je ňou ohraničená. Do kruhu možno vpísať mnohouholník alebo uhol.
Stredový uhol je uhol, ktorého vrchol sa zhoduje so stredom kruhu a ktorého strany pretínajú kruh v dvoch bodoch. Oblúk, ktorý uhol ohraničuje priesečníkmi, sa nazýva oblúk, na ktorom spočíva daný uhol.
Zvážte príklad 1.
Na obrázku je uhol AOB stredový, pretože vrchol uhla a stred kružnice sú jedným bodom O. Opiera sa o oblúk AB, ktorý neobsahuje bod C.
Ako sa líši vpísaný uhol od stredného?
Okrem centrálnych sú tu však aj vpísané uhly. Aký je ich rozdiel? Rovnako ako stredový, aj uhol vpísaný do kruhu spočíva na určitom oblúku. Jeho vrchol sa však nezhoduje so stredom kruhu, ale leží na ňom.
Vezmime si nasledujúci príklad.
Uhol ACB sa nazýva uhol vpísaný do kruhu so stredom v bode O. Bod C patrí kružnici, to znamená, že na nej leží. Uhol spočíva na oblúku AB.
Aký je stredový uhol
Na úspešné zvládnutie problémov v geometrii nestačí vedieť rozlišovať medzi vpísanými a stredovými uhlami. Na ich vyriešenie musíte spravidla presne vedieť, ako nájsť stredový uhol v kruhu, a vedieť vypočítať jeho hodnotu v stupňoch.
Stredový uhol sa teda rovná stupňom oblúka, na ktorom spočíva.
Na obrázku leží uhol AOB na oblúku AB rovný 66°. Takže uhol AOB je tiež rovný 66°.
Stredové uhly založené na rovnakých oblúkoch sú teda rovnaké.
Na obrázku sa oblúk DC rovná oblúku AB. Takže uhol AOB sa rovná uhlu DOC.
Ako nájsť vpísaný uhol
Môže sa zdať, že uhol vpísaný do kruhu sa rovná stredovému uhlu,ktorý sa opiera o rovnaký oblúk. To je však hrubá chyba. V skutočnosti, aj keď sa pozriete na výkres a porovnáte tieto uhly medzi sebou, môžete vidieť, že ich miery budú mať rôzne hodnoty. Aký je teda uhol vpísaný do kruhu?
Miera stupňov vpísaného uhla je jedna polovica oblúka, na ktorom spočíva, alebo polovica centrálneho uhla, ak sa spoliehajú na rovnaký oblúk.
Uvažujme o príklade. Uhol ACB je založený na oblúku rovnajúcom sa 66°.
Takže uhol DIA=66°: 2=33°
Uvažujme o niektorých dôsledkoch tejto vety.
- Vpísané uhly, ak sú založené na rovnakom oblúku, tetive alebo rovnakých oblúkoch, sú rovnaké.
- Ak sú vpísané uhly založené na tej istej tetive, ale ich vrcholy ležia na jej opačných stranách, súčet mier týchto uhlov je 180°, keďže v tomto prípade sú oba uhly založené na oblúkoch, celková miera stupňov je 360° (celý kruh), 360°: 2=180°
- Ak je vpísaný uhol založený na priemere danej kružnice, jej miera stupňov je 90°, keďže priemer pretína oblúk rovný 180°, 180°: 2=90°
- Ak stredový a vpísaný uhol v kruhu vychádzajú z rovnakého oblúka alebo tetivy, potom sa vpísaný uhol rovná polovici stredového uhla.
Kde možno nájsť problémy s touto témou? Ich typy a riešenia
Vzhľadom na to, že kruh a jeho vlastnosti sú jednou z najdôležitejších častí geometrie, najmä planimetrie, vpísané a stredové uhly v kruhu sú široko a podrobne rozsiahlou témouštudoval v školských osnovách. Úlohy venované ich vlastnostiam sa nachádzajú v hlavnej štátnej skúške (OGE) a jednotnej štátnej skúške (USE). Na vyriešenie týchto problémov by ste spravidla mali nájsť uhly na kruhu v stupňoch.
Uhly založené na rovnakom oblúku
Tento typ problému je možno jedným z najjednoduchších, pretože na jeho vyriešenie potrebujete poznať iba dve jednoduché vlastnosti: ak sú oba uhly vpísané a opierajú sa o rovnakú tetivu, sú rovnaké, ak je jeden z nich stred, potom sa zodpovedajúci vpísaný uhol rovná jeho polovici. Pri ich riešení však treba byť mimoriadne opatrný: niekedy je ťažké si túto vlastnosť všimnúť a študenti sa pri riešení takýchto jednoduchých úloh dostávajú do slepej uličky. Zvážte príklad.
Problém 1
Vzhľadom na kruh so stredom v bode O. Uhol AOB je 54°. Nájdite mieru uhla DIA.
Táto úloha je vyriešená v jednom kroku. Jediná vec, ktorú potrebujete, aby ste na ňu rýchlo našli odpoveď, je všimnúť si, že oblúk, na ktorom spočívajú oba rohy, je spoločný. Keď to uvidíte, môžete použiť už známu vlastnosť. Uhol ACB je polovica uhla AOB. Takže
1) AOB=54°: 2=27°.
Odpoveď: 54°.
Uhly založené na rôznych oblúkoch toho istého kruhu
Niekedy nie je veľkosť oblúka, na ktorom spočíva požadovaný uhol, priamo špecifikovaná v podmienkach problému. Aby ste to mohli vypočítať, musíte analyzovať veľkosť týchto uhlov a porovnať ich so známymi vlastnosťami kruhu.
Problém 2
V kruhu so stredom na O uhol AOCje 120° a uhol AOB je 30°. Nájdite roh VY.
Na začiatok stojí za to povedať, že je možné vyriešiť tento problém pomocou vlastností rovnoramenných trojuholníkov, ale bude to vyžadovať viac matematických operácií. Preto tu budeme analyzovať riešenie pomocou vlastností stredových a vpísaných uhlov v kruhu.
Uhol AOC teda spočíva na oblúku AC a je centrálny, čo znamená, že oblúk AC sa rovná uhlu AOC.
AC=120°
Rovnakým spôsobom uhol AOB spočíva na oblúku AB.
AB=30°.
S vedomím tohto a miery celej kružnice (360°) môžete ľahko nájsť veľkosť oblúka pred naším letopočtom.
BC=360° – AC – AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Vrchol uhla CAB, bod A, leží na kružnici. Preto je uhol CAB vpísaný a rovný polovici oblúka CB.
Uhol CAB=210°: 2=110°
Odpoveď: 110°
Problémy založené na oblúkových pomeroch
Niektoré úlohy vôbec neobsahujú údaje o uhloch, takže ich treba hľadať iba na základe známych viet a vlastností kruhu.
Problém 1
Nájdite uhol vpísaný do kruhu, ktorý je podopretý tetivou rovnajúcou sa polomeru daného kruhu.
Ak v duchu nakreslíte čiary spájajúce konce segmentu so stredom kruhu, dostanete trojuholník. Po preskúmaní môžete vidieť, že tieto čiary sú polomery kruhu, čo znamená, že všetky strany trojuholníka sú rovnaké. Vieme, že všetky uhly rovnostranného trojuholníkasú rovné 60°. Oblúk AB obsahujúci vrchol trojuholníka sa teda rovná 60°. Odtiaľto nájdeme oblúk AB, na ktorom je založený požadovaný uhol.
AB=360° – 60°=300°
Uhol ABC=300°: 2=150°
Odpoveď: 150°
Problém 2
V kruhu so stredom v bode O sú oblúky spojené ako 3:7. Nájdite menší vpísaný uhol.
Pre riešenie označíme jednu časť ako X, potom sa jeden oblúk rovná 3X a druhý 7X. Keď vieme, že miera kružnice je 360°, môžeme napísať rovnicu.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Podľa podmienky musíte nájsť menší uhol. Je zrejmé, že ak je hodnota uhla priamo úmerná oblúku, na ktorom spočíva, potom požadovaný (menší) uhol zodpovedá oblúku rovnému 3X.
Takže menší uhol je (36°3): 2=108°: 2=54°
Odpoveď: 54°
Problém 3
V kruhu so stredom v bode O je uhol AOB 60° a dĺžka menšieho oblúka je 50. Vypočítajte dĺžku väčšieho oblúka.
Ak chcete vypočítať dĺžku väčšieho oblúka, musíte urobiť pomer - ako súvisí menší oblúk s väčším. Aby sme to dosiahli, vypočítame veľkosť oboch oblúkov v stupňoch. Menší oblúk sa rovná uhlu, ktorý na ňom spočíva. Jeho miera stupňov je 60°. Väčší oblúk sa rovná rozdielu medzi mierou kružnice (rovná sa 360° bez ohľadu na ostatné údaje) a menším oblúkom.
Veľký oblúk je 360° – 60°=300°.
Keďže 300°: 60°=5, väčší oblúk je 5-krát menší.
Veľký oblúk=505=250
Odpoveď: 250
Samozrejme, existujú aj ďalšieprístupy k riešeniu podobných problémov, ale všetky sú nejakým spôsobom založené na vlastnostiach stredových a vpísaných uhlov, trojuholníkov a kružníc. Aby ste ich úspešne vyriešili, musíte si pozorne preštudovať výkres a porovnať ho s údajmi problému, ako aj vedieť aplikovať svoje teoretické znalosti v praxi.
