Vpísaný štvoruholník v kruhu. Štvoruholník ABCD je vpísaný do kruhu

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

S rozdelením matematiky na algebru a geometriu sa vzdelávací materiál stáva zložitejším. Objavujú sa nové figúrky a ich špeciálne prípady. Aby sme materiál dobre pochopili, je potrebné študovať pojmy, vlastnosti objektov a súvisiace vety.

Všeobecné pojmy

Štvoruholník znamená geometrický útvar. Pozostáva zo 4 bodov. Okrem toho 3 z nich nie sú umiestnené na rovnakej priamke. Existujú segmenty spájajúce špecifikované body v sérii.

Všetky štvoruholníky študované v školskom kurze geometrie sú znázornené na nasledujúcom diagrame. Záver: každý predmet z prezentovaného obrázku má vlastnosti predchádzajúceho obrázku.

Štvoruholník môže byť nasledujúcich typov:

• Paralelogram. Rovnobežnosť jeho protiľahlých strán je dokázaná príslušnými vetami.
• Trapéz. Štvoruholník s rovnobežnými základňami. Ostatné dve strany nie.
• Obdĺžnik. Figúrka, ktorá má všetky 4 rohy=90º.
• Kosoštvorec. Postava so všetkými stranami rovnakými.
• Štvorec. Spája vlastnosti posledných dvoch figúrok. Má všetky strany rovnaké a všetky uhly sú správne.

Hlavnou definíciou tejto témy je štvoruholník vpísaný do kruhu. Spočíva v nasledujúcom. Toto je postava, okolo ktorej je opísaný kruh. Musí prejsť cez všetky vrcholy. Vnútorné uhly štvoruholníka vpísaného do kruhu sú spolu 360º.

Nie každý štvoruholník je možné zapísať. Je to spôsobené tým, že kolmice 4 strán sa nemusia v jednom bode pretínať. To znemožní nájsť stred kružnice opísanej 4-uholníkom.

Špeciálne prípady

Každé pravidlo má výnimky. Takže v tejto téme sú aj špeciálne prípady:

• Rovnobežník ako taký nemôže byť vpísaný do kruhu. Len jeho špeciálny prípad. Je to obdĺžnik.
• Ak sú všetky vrcholy kosoštvorca na opísanej čiare, potom je to štvorec.
• Všetky vrcholy lichobežníka sú na hranici kruhu. V tomto prípade hovoria o rovnoramennej postave.

Vlastnosti vpísaného štvoruholníka v kruhu

Pred riešením jednoduchých a zložitých úloh na danú tému si musíte overiť svoje znalosti. Bez preštudovania vzdelávacieho materiálu nie je možné vyriešiť jediný príklad.

Veta 1

Súčet opačných uhlov štvoruholníka vpísaného do kruhu je 180º.

Dôkaz

Uvedené: štvoruholník ABCD je vpísaný do kruhu. Jeho stred je bod O. Musíme dokázať, že _<A + _<C=180º a _< B + _<D=180º.

Treba zvážiť uvedené čísla.

1. _{<A je vpísané do kruhu so stredom v bode O. Meria sa cez ½ BCD (poloblúk).}
2. _{<C je vpísané v tom istom kruhu. Meria sa cez ½ BAD (poloblúk).}
3. BAD a BCD tvoria celý kruh, t.j. ich veľkosť je 360º.
4. _<A + _{<C sa rovnajú polovici súčtu znázornených poloblúkov.}
5. Odtiaľ _<A + _{<C=360º / 2=180º.}

Podobným spôsobom dôkaz pre _<B a _{<D. Existuje však aj druhé riešenie problému.}

1. Je známe, že súčet vnútorných uhlov štvoruholníka je 360º.
2. Pretože _<A + _<C=180º. Preto _<B + _{<D=360º – 180º=180º.}

Veta 2

(Často sa to nazýva inverzné) Ak v štvoruholníku _<A + _<C=180º a _{<B +} <_{D=180º (ak sú protiľahlé), potom možno okolo takého čísla opísať kruh.}

Dôkaz

Je daný súčet opačných uhlov štvoruholníka ABCD rovný 180º. _<A + _<C=180º, _<B +_{<D=180º. Musíme dokázať, že kruh môže byť opísaný okolo ABCD.}

Z kurzu geometrie je známe, že kružnicu možno nakresliť cez 3 body štvoruholníka. Môžete napríklad použiť body A, B, C. Kde sa bude nachádzať bod D? Existujú 3 odhady:

1. Skončí v kruhu. V tomto prípade sa D nedotýka čiary.
2. Mimo kruhu. Zakročí ďaleko za načrtnutú čiaru.
3. Ukazuje sa to na kruhu.

Malo by sa predpokladať, že D je vnútri kruhu. Miesto označeného vrcholu je obsadené D´. Ukazuje sa štvoruholník ABCD´.

Výsledok je:_<B + _<D´=2d.

Ak pokračujeme AD´ k priesečníku s existujúcou kružnicou so stredom v bode E a spojíme E a C, dostaneme vpísaný štvoruholník ABCE. Z prvej vety vyplýva rovnosť:

Podľa zákonov geometrie tento výraz neplatí, pretože _<D´ je vonkajší roh trojuholníka CD´E. Preto by malo byť viac ako _{<E. Z toho môžeme usúdiť, že D musí byť buď na kruhu alebo mimo neho.}

Podobne, tretí predpoklad sa môže ukázať ako nesprávny, keď D´´ prekročí hranicu opísaného čísla.

Z dvoch hypotéz vyplýva jediná správna. Vertex D sa nachádza na kružnici. Inými slovami, D sa zhoduje s E. Z toho vyplýva, že všetky body štvoruholníka sa nachádzajú na opísanej priamke.

Z týchtodve vety, dôsledky nasledujú:

Akýkoľvek obdĺžnik môže byť vpísaný do kruhu. Je tu ďalší dôsledok. Kruh môže byť opísaný okolo akéhokoľvek obdĺžnika

Lichobežník s rovnakými bokmi môže byť vpísaný do kruhu. Inými slovami, znie to takto: okolo lichobežníka s rovnakými hranami možno opísať kruh

Niekoľko príkladov

Problém 1. Štvoruholník ABCD je vpísaný do kruhu. _<ABC=105º, _<CAD=35º. Potrebujete nájsť _{<ABD. Odpoveď musí byť napísaná v stupňoch.}

Rozhodnutie. Na začiatku sa môže zdať ťažké nájsť odpoveď.

1. Musíte si zapamätať vlastnosti z tejto témy. Konkrétne: súčet opačných uhlov=180º.

_<ADC=180º – _{<ABC=180º – 105º=75º}

V geometrii je lepšie držať sa zásady: nájdi všetko, čo môžeš. Užitočné neskôr.

2. Ďalší krok: použite vetu o súčte trojuholníka.

_<ACD=180º – _<CAD – _{<ADC=180º – 75º=70º}

_<ABD a _{<ACD sú zapísané. Podľa podmienok sa spoliehajú na jeden oblúk. Preto majú rovnaké hodnoty:}

_<ABD=_<ACD=70º

Odpoveď: _<ABD=70º.

Úloha 2. BCDE je vpísaný štvoruholník v kruhu. _<B=69º, _<C=84º. Stred kruhu je bod E. Nájsť - _<E.

Rozhodnutie.

1. Potrebujem nájsť _{<E podľa vety 1.}

_<E=180º – _{<C=180º – 84º=96º}

Odpoveď: _{< E=96º.}

Úloha 3. Je daný štvoruholník vpísaný do kruhu. Údaje sú znázornené na obrázku. Je potrebné nájsť neznáme hodnoty x, y, z.

Riešenie:

z=180º – 93º=87º (podľa vety 1)

x=½(58º + 106º)=82º

y=180º – 82º=98º (podľa vety 1)

Odpoveď: z=87º, x=82º, y=98º.

Úloha 4. V kruhu je vpísaný štvoruholník. Hodnoty sú znázornené na obrázku. Nájsť x, y.

Riešenie:

x=180º – 80º=100º

y=180º – 71º=109º

Odpoveď: x=100º, y=109º.

Problémy s nezávislým riešením

Príklad 1. Daný kruh. Jeho stred je bod O. AC a BD sú priemery. _<ACB=38º. Potrebujete nájsť _{<AOD. Odpoveď musí byť uvedená v stupňoch.}

Príklad 2. Je daný štvoruholník ABCD a kružnica opísaná okolo neho. _<ABC=110º, _<ABD=70º. Nájdite _{<CAD. Svoju odpoveď napíšte v stupňoch.}

Príklad 3. Je daný kruh a vpísaný štvoruholník ABCD. Jeho dva uhly sú 82º a58º. Musíte nájsť najväčší zo zostávajúcich uhlov a zapísať odpoveď v stupňoch.

Príklad 4. Je uvedený štvoruholník ABCD. Uhly A, B, C sú uvedené v pomere 1:2:3. Ak je možné zadaný štvoruholník vpísať do kruhu, je potrebné nájsť uhol D. Odpoveď musí byť uvedená v stupňoch.

Príklad 5. Je uvedený štvoruholník ABCD. Jeho strany tvoria oblúky opísanej kružnice. Hodnoty stupňov AB, BC, CD a AD sú: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚. Mali by ste nájsť _{<Z daného štvoruholníka a zapísať odpoveď v stupňoch.}