Pri počúvaní učiteľa matematiky väčšina študentov berie látku ako axiómu. Zároveň sa málokto snaží dostať dnu a prísť na to, prečo „mínus“na „plus“dáva znamienko „mínus“a pri vynásobení dvoch záporných čísel vyjde kladné číslo.
Zákony matematiky
Väčšina dospelých nedokáže sebe ani svojim deťom vysvetliť, prečo sa to deje. V škole tento materiál dôkladne absorbovali, ale ani sa nepokúšali zistiť, odkiaľ takéto pravidlá pochádzajú. Ale márne. Moderné deti často nie sú také dôverčivé, musia sa dostať k podstate veci a pochopiť napríklad, prečo „plus“na „mínus“dáva „mínus“. A niekedy kocúri schválne kladú zložité otázky, aby si užili chvíle, keď dospelí nevedia dať zrozumiteľnú odpoveď. A je to naozaj katastrofa, ak sa mladý učiteľ dostane do neporiadku…
Mimochodom, treba poznamenať, že vyššie uvedené pravidlo platí pre násobenie aj delenie. Súčin záporného a kladného čísla dáva iba mínus. Ak hovoríme o dvoch čísliciach so znamienkom „-“, výsledkom bude kladné číslo. To isté platí pre rozdelenie. Akjedno z čísel je záporné, potom bude kvocient tiež so znamienkom „-“.
Na vysvetlenie správnosti tohto matematického zákona je potrebné sformulovať axiómy kruhu. Najprv však musíte pochopiť, čo to je. V matematike je zvykom nazývať krúžok množinou, v ktorej sú zahrnuté dve operácie s dvoma prvkami. Ale je lepšie to riešiť príkladom.
Axióma prsteňa
Existuje niekoľko matematických zákonov.
- Prvý je komutatívny, podľa neho C + V=V + C.
- Druhá sa nazýva asociatívna (V + C) + D=V + (C + D).
Poslúchajú aj násobenie (V x C) x D=V x (C x D).
Nikto nezrušil pravidlá, podľa ktorých sa otvárajú zátvorky (V + C) x D=V x D + C x D, tiež platí, že C x (V + D)=C x V + C x D.
Okrem toho sa zistilo, že do kruhu možno zaviesť špeciálny prvok, neutrálny z hľadiska adície, pomocou ktorého bude platiť nasledovné: C + 0=C. Okrem toho pre každý C existuje opačný prvok, ktorý možno označiť ako (-C). V tomto prípade C + (-C)=0.
Odvodenie axióm pre záporné čísla
Akceptujeme vyššie uvedené tvrdenia a môžeme odpovedať na otázku: Aké znamenie dáva „Plus“až „mínus“? Keď poznáme axiómu o násobení záporných čísel, je potrebné potvrdiť, že skutočne (-C) x V=-(C x V). A tiež, že platí nasledujúca rovnosť: (-(-C))=C.
Na to musíme najprv dokázať, že každý z prvkov má iba jedenopačný brat. Zvážte nasledujúci príklad dôkazu. Skúsme si predstaviť, že dve čísla sú opačné pre C - V a D. Z toho vyplýva, že C + V=0 a C + D=0, teda C + V=0=C + D. Zapamätanie si zákonov o posunutí a o vlastnostiach čísla 0 môžeme uvažovať súčet všetkých troch čísel: C, V a D. Skúsme zistiť hodnotu V. Je logické, že V=V + 0=V + (C + D)=V + C + D, pretože hodnota C + D, ako bolo prijaté vyššie, sa rovná 0. V=V + C + D.
Hodnota pre D je odvodená presne rovnakým spôsobom: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Na základe toho je jasné, že V=D.
Ak chcete pochopiť, prečo „plus“na „mínus“dáva „mínus“, musíte pochopiť nasledujúce. Takže pre prvok (-C) sú opakom C a (-(-C)), to znamená, že sú si navzájom rovné.
Potom je zrejmé, že 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V. Z toho vyplýva, že C x V je opak (-)C x V, takže (-C) x V=-(C x V).
Pre úplnú matematickú presnosť je tiež potrebné potvrdiť, že 0 x V=0 pre akýkoľvek prvok. Ak budete postupovať podľa logiky, potom 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. To znamená, že pridaním produktu 0 x V sa nastavené množstvo nijako nemení. Koniec koncov, tento produkt sa rovná nule.
Keď poznáte všetky tieto axiómy, môžete odvodiť nielen to, koľko dáva „plus“od „mínus“, ale aj to, čo sa stane, keď vynásobíte záporné čísla.
Násobenie a delenie dvoch čísel znakom "-"
Ak nejdete hlboko do matematikynuansy, môžete sa pokúsiť vysvetliť pravidlá operácií so zápornými číslami jednoduchším spôsobom.
Predpokladajme, že C - (-V)=D, takže C=D + (-V), t. j. C=D - V. Preneste V a získajte C + V=D. To znamená C + V=C-(-V). Tento príklad vysvetľuje, prečo by sa vo výraze, kde sú dve „mínus“za sebou, mali uvedené znamienka zmeniť na „plus“. Teraz sa poďme zaoberať násobením.
(-C) x (-V)=D, do výrazu môžete pridať a odčítať dva rovnaké produkty, čím sa nezmení jeho hodnota: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V)=D.
Pri zapamätaní si pravidiel pre prácu so zátvorkami dostaneme:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
Z toho vyplýva, že C x V=(-C) x (-V).
Podobne môžeme dokázať, že delenie dvoch záporných čísel bude mať za následok kladné číslo.
Všeobecné matematické pravidlá
Toto vysvetlenie samozrejme nie je vhodné pre žiakov základných škôl, ktorí sa práve začínajú učiť abstraktné záporné čísla. Je pre nich lepšie vysvetľovať na viditeľných predmetoch, manipulovať so známym pojmom cez zrkadlo. Nachádzajú sa tam napríklad vynájdené, ale neexistujúce hračky. Môžu byť zobrazené so znakom „-“. Násobenie dvoch zrkadlových predmetov ich prenáša do iného sveta, ktorý sa rovná súčasnosti, čiže v dôsledku toho máme kladné čísla. Ale vynásobením abstraktného záporného čísla kladným výsledkom je výsledok známy každému. Pretože "plus"vynásobiť "mínusom" dáva "mínus". Je pravda, že vo veku základnej školy sa deti naozaj nesnažia ponoriť sa do všetkých matematických nuancií.
Aj keď ak sa pozriete pravde do očí, pre mnohých ľudí, dokonca aj s vyšším vzdelaním, zostávajú mnohé pravidlá záhadou. Každý berie ako samozrejmosť to, čo ho učitelia učia, bez straty toho, aby sa ponoril do všetkých zložitostí, ktorými je matematika plná. "Mínus" na "mínus" dáva "plus" - každý o tom vie bez výnimky. To platí pre celé čísla aj zlomkové čísla.
