V matematickej vede sa pomerne často vyskytuje množstvo ťažkostí a otázok a mnohé z odpovedí nie sú vždy jasné. Výnimkou nebola ani taká téma ako mohutnosť množín. V skutočnosti nejde o nič iné ako o číselné vyjadrenie počtu objektov. Vo všeobecnom zmysle je množina axióma, nemá žiadnu definíciu. Zakladá sa na akýchkoľvek objektoch, respektíve ich množine, ktorá môže byť prázdna, konečná alebo nekonečná. Okrem toho obsahuje celé čísla alebo prirodzené čísla, matice, postupnosti, segmenty a čiary.
O existujúcich premenných
Nulová alebo prázdna množina bez vnútornej hodnoty sa považuje za hlavný prvok, pretože je podmnožinou. Súbor všetkých podmnožín neprázdnej množiny S je množinou množín. Výkonová množina danej množiny sa teda považuje za mnohá, mysliteľná, ale jediná. Táto množina sa nazýva množina mocnín S a označuje sa P (S). Ak S obsahuje N prvkov, potom P(S) obsahuje 2^n podmnožín, pretože podmnožina P(S) je buď ∅, alebo podmnožina obsahujúca r prvkov z S, r=1, 2, 3, … Pozostáva zo všetkého nekonečnéhomnožina M sa nazýva výkonová veličina a symbolicky sa označuje P (M).
Prvky teórie množín
Túto oblasť vedomostí vyvinul George Cantor (1845-1918). Dnes sa používa takmer vo všetkých odvetviach matematiky a slúži ako jej základná súčasť. V teórii množín sú prvky reprezentované vo forme zoznamu a sú dané typmi (prázdna množina, singleton, konečné a nekonečné množiny, rovnaké a ekvivalentné, univerzálne), zjednotením, prienikom, rozdielom a sčítaním čísel. V každodennom živote často hovoríme o zbierke predmetov, ako je zväzok kľúčov, kŕdeľ vtákov, balíček kariet atď. V 5. ročníku matematiky a vyššie sú prirodzené, celé čísla, prvočísla a zložené čísla.
Do úvahy prichádzajú nasledujúce sady:
- prirodzené čísla;
- písmená abecedy;
- primárne kurzy;
- trojuholníky s rôznymi stranami.
Je vidieť, že tieto špecifikované príklady sú dobre definované množiny objektov. Zvážte niekoľko ďalších príkladov:
- päť najznámejších vedcov na svete;
- sedem krásnych dievčat v spoločnosti;
- traja najlepší chirurgovia.
Tieto príklady mohutnosti nie sú presne definované zbierky predmetov, pretože kritériá pre „najslávnejšie“, „najkrajšie“, „naj“sa líšia od človeka k človeku.
Súpravy
Táto hodnota je presne definovaný počet rôznych objektov. Za predpokladu, že:
- súbor slov je synonymum, súhrn, trieda a obsahuje prvky;
- predmety, členovia majú rovnaké podmienky;
- sady sa zvyčajne označujú veľkými písmenami A, B, C;
- prvky množiny sú znázornené malými písmenami a, b, c.
Ak je „a“prvkom množiny A, potom sa hovorí, že „a“patrí do A. Slovné spojenie „patrí“označme gréckym znakom „∈“(epsilon). Ukazuje sa teda, že a ∈ A. Ak 'b' je prvok, ktorý nepatrí do A, je reprezentovaný ako b ∉ A. Niektoré dôležité množiny používané v matematike 5. ročníka sú reprezentované pomocou troch nasledujúcich metód:
- aplikácie;
- registre alebo tabuľkové;
- pravidlo na vytvorenie formácie.
Pri bližšom preskúmaní je formulár žiadosti založený na nasledujúcom. V tomto prípade je uvedený jasný popis prvkov súpravy. Všetky sú uzavreté v kučeravých zátvorkách. Napríklad:
- množina nepárnych čísel menších ako 7 – napísané ako {menej ako 7};
- množina čísel väčších ako 30 a menších ako 55;
- počet študentov v triede, ktorí vážia viac ako učiteľ.
Vo forme registra (tabuľky) sú prvky množiny uvedené v pároch hranatých zátvoriek {} a oddelené čiarkami. Napríklad:
- Nech N označuje množinu prvých piatich prirodzených čísel. Preto N=→ registračný formulár
- Súbor všetkých samohlások anglickej abecedy. Preto V={a, e, i, o, u, y} → registračný formulár
- Množina všetkých nepárnych čísel je menšia ako 9. Preto X={1, 3, 5, 7} → tvarregister
- Súbor všetkých písmen v slove "Math". Preto Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registračný formulár
- W je množina posledných štyroch mesiacov roka. Preto W={september, október, november, december} → register.
Upozorňujeme, že na poradí, v akom sú prvky uvedené, nezáleží, ale nesmú sa opakovať. Ustálená forma konštrukcie, v danom prípade pravidlo, vzorec alebo operátor sa zapíše do páru zátvoriek tak, aby bola množina správne definovaná. Vo formulári na tvorbu množín musia mať všetky prvky rovnakú vlastnosť, aby sa stali členmi príslušnej hodnoty.
V tejto forme reprezentácie množiny je prvok množiny opísaný znakom "x" alebo akoukoľvek inou premennou, za ktorou nasleduje dvojbodka (na označenie sa používa ":" alebo "|"). Napríklad nech P je množina spočítateľných čísel väčších ako 12. P vo forme zostavovateľa množín sa zapisuje ako - {spočítateľné číslo a väčšie ako 12}. Bude sa to čítať určitým spôsobom. To znamená, že "P je množina prvkov x takých, že x je spočítateľné a väčšie ako 12."
Vyriešený príklad s použitím troch metód reprezentácie množín: počet celých čísel medzi -2 a 3. Nižšie sú uvedené príklady rôznych typov množín:
- Prázdna alebo nulová množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok a je označená symbolom ∅ a číta sa ako phi. Vo forme zoznamu sa ∅ zapisuje {}. Konečná množina je prázdna, pretože počet prvkov je 0. Napríklad množina celočíselných hodnôt je menšia ako 0.
- Zrejme by tam nemalo byť <0. Preto totoprázdna sada.
- Množina obsahujúca iba jednu premennú sa nazýva singletonová množina. Nie je ani jednoduchý, ani zložený.
Konečná sada
Množina obsahujúca určitý počet prvkov sa nazýva konečná alebo nekonečná množina. Prázdne označuje prvé. Napríklad súbor všetkých farieb dúhy.
Infinity je súprava. Prvky v nej nemožno vymenovať. To znamená, že obsah podobných premenných sa nazýva nekonečná množina. Príklady:
- sila množiny všetkých bodov v rovine;
- množina všetkých prvočísel.
Mali by ste však pochopiť, že všetky mohutnosti spojenia množiny nemožno vyjadriť vo forme zoznamu. Napríklad reálne čísla, pretože ich prvky nezodpovedajú žiadnemu konkrétnemu vzoru.
Kardinálne číslo množiny je počet rôznych prvkov v danom množstve A. Označuje sa n (A).
Napríklad:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Preto n (A)=4.
- B=skupina písmen v slove ALGEBRA.
Ekvivalentné množiny na porovnanie množín
Dve kardinality množiny A a B sú také, ak je ich kardinálne číslo rovnaké. Symbol ekvivalentnej sady je „↔“. Napríklad: A ↔ B.
Rovnaké množiny: dve kardinality množín A a B, ak obsahujú rovnaké prvky. Každý koeficient z A je premenná z B a každý z B je špecifikovaná hodnota A. Preto A=B. Rôzne typy zväzkov mohutnosti a ich definície sú vysvetlené pomocou uvedených príkladov.
Esencia konečnosti a nekonečna
Aké sú rozdiely medzi mohutnosťou konečnej množiny a nekonečnej množiny?
Prvá hodnota má nasledujúci názov, ak je buď prázdna, alebo má konečný počet prvkov. V konečnej množine je možné zadať premennú, ak má obmedzený počet. Napríklad pomocou prirodzeného čísla 1, 2, 3. A proces vypisovania končí na nejakom N. Počet rôznych prvkov spočítaných v konečnej množine S označujeme n (S). Nazýva sa aj poriadok alebo kardinál. Symbolicky označené podľa štandardného princípu. Ak je teda množina S ruská abeceda, potom obsahuje 33 prvkov. Je tiež dôležité si uvedomiť, že prvok sa v množine nevyskytuje viac ako raz.
Nekonečné v súprave
Množina sa nazýva nekonečná, ak prvky nemožno vymenovať. Ak má neobmedzené (teda nespočítateľné) prirodzené číslo 1, 2, 3, 4 pre ľubovoľné n. Množina, ktorá nie je konečná, sa nazýva nekonečná. Teraz môžeme diskutovať o príkladoch uvažovaných číselných hodnôt. Možnosti koncovej hodnoty:
- Nech Q={prirodzené čísla menšie ako 25}. Potom Q je konečná množina a n (P)=24.
- Nech R={celé čísla medzi 5 a 45}. Potom R je konečná množina a n (R)=38.
- Nech S={čísla modulo 9}. Potom S={-9, 9} je konečná množina a n (S)=2.
- Súbor všetkých ľudí.
- Počet všetkých vtákov.
Nekonečné množstvo príkladov:
- počet existujúcich bodov v lietadle;
- počet všetkých bodov v úsečke;
- množina kladných celých čísel deliteľných 3 je nekonečná;
- všetky celé a prirodzené čísla.
Z vyššie uvedenej úvahy je teda jasné, ako rozlišovať medzi konečnými a nekonečnými množinami.
Sila sústavy kontinua
Ak porovnáme množinu a iné existujúce hodnoty, potom sa k množine pripojí doplnok. Ak je ξ univerzálne a A je podmnožinou ξ, potom doplnok A je počet všetkých prvkov ξ, ktoré nie sú prvkami A. Symbolicky je doplnok A vzhľadom na ξ A'. Napríklad 2, 4, 5, 6 sú jediné prvky ξ, ktoré nepatria do A. Preto A'={2, 4, 5, 6
Súprava s kontinuom mohutnosti má nasledujúce vlastnosti:
- doplnok univerzálneho množstva je predmetná prázdna hodnota;
- táto premenná null set je univerzálna;
- suma a jej doplnok sú nesúvislé.
Napríklad:
- Nech je počet prirodzených čísel univerzálna množina a A nech je párne. Potom A '{x: x je nepárna množina s rovnakými číslicami}.
- Nech ξ=množina písmen v abecede. A=súbor spoluhlások. Potom A '=počet samohlások.
- Doplnkom k univerzálnej sade je prázdne množstvo. Môže byť označený ξ. Potom ξ '=Množina tých prvkov, ktoré nie sú zahrnuté v ξ. Zapíšeme a označíme prázdnu množinu φ. Preto ξ=φ. Doplnok k univerzálnej sade je teda prázdny.
V matematike sa „kontinuum“niekedy používa na vyjadrenie skutočnej čiary. A všeobecnejšie, na popis podobných objektov:
- kontinuum (v teórii množín) - reálna čiara alebo zodpovedajúce kardinálne číslo;
- lineárny – akákoľvek usporiadaná množina, ktorá zdieľa určité vlastnosti skutočnej línie;
- continuum (v topológii) - neprázdny kompaktný spojený metrický priestor (niekedy Hausdorff);
- hypotéza, že žiadne nekonečné množiny nie sú väčšie ako celé čísla, ale menšie ako reálne čísla;
- sila kontinua je kardinálne číslo reprezentujúce veľkosť množiny reálnych čísel.
V podstate kontinuum (meranie), teórie alebo modely, ktoré vysvetľujú postupné prechody z jedného stavu do druhého bez akejkoľvek náhlej zmeny.
Problémy spojenia a križovatky
Je známe, že priesečník dvoch alebo viacerých množín je číslo obsahujúce všetky prvky, ktoré sú v týchto hodnotách spoločné. Slovné úlohy na množinách sú riešené tak, aby získali základné predstavy o tom, ako používať zjednocovacie a prienikové vlastnosti množín. Vyriešil hlavné problémy slov nasady vyzerajú takto:
Nech A a B sú dve konečné množiny. Sú také, že n (A)=20, n (B)=28 a n (A ∪ B)=36, nájdite n (A ∩ B)
Vzťah v množinách pomocou Vennovho diagramu:
- Spojenie dvoch množín môže byť reprezentované tieňovanou oblasťou reprezentujúcou A ∪ B. A ∪ B, keď A a B sú disjunktné množiny.
- Priesečník dvoch množín môže byť znázornený Vennovým diagramom. S vytieňovanou oblasťou predstavujúcou A ∩ B.
- Rozdiel medzi týmito dvoma súbormi možno znázorniť pomocou Vennových diagramov. S vytieňovanou oblasťou predstavujúcou A – B.
- Vzťah medzi tromi množinami pomocou Vennovho diagramu. Ak ξ predstavuje univerzálnu veličinu, potom A, B, C sú tri podmnožiny. Tu sa všetky tri sady prekrývajú.
Súhrn informácií o súprave
Kardinalita množiny je definovaná ako celkový počet jednotlivých prvkov v množine. A posledná špecifikovaná hodnota je opísaná ako počet všetkých podmnožín. Pri štúdiu takýchto problémov sú potrebné metódy, metódy a riešenia. Pre mohutnosť množiny teda môžu slúžiť nasledujúce príklady:
Nech A={0, 1, 2, 3}| |=4, kde | A | predstavuje mohutnosť množiny A.
Teraz môžete nájsť svoj napájací zdroj. Je to tiež celkom jednoduché. Ako už bolo povedané, výkonová súprava sa nastavuje zo všetkých podmnožín daného čísla. Takže by sme mali v podstate definovať všetky premenné, prvky a ďalšie hodnoty A,ktoré sú {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Teraz vypočítajte výkon P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, ktorý má 16 prvkov. Mohutnosť množiny A=16. Je zrejmé, že ide o únavnú a ťažkopádnu metódu riešenia tohto problému. Existuje však jednoduchý vzorec, pomocou ktorého môžete priamo poznať počet prvkov v mocnine daného čísla. | P |=2 ^ N, kde N je počet prvkov v nejakom A. Tento vzorec možno získať pomocou jednoduchej kombinatoriky. Otázka je teda 2^11, pretože počet prvkov v množine A je 11.
Množina je teda ľubovoľná číselne vyjadrená veličina, ktorou môže byť akýkoľvek možný objekt. Napríklad autá, ľudia, čísla. V matematickom zmysle je tento pojem širší a všeobecnejší. Ak sa v počiatočných fázach vytriedia čísla a možnosti ich riešenia, potom v stredných a vyšších fázach sú podmienky a úlohy komplikované. V skutočnosti je mohutnosť spojenia množiny určená príslušnosťou objektu k akejkoľvek skupine. To znamená, že jeden prvok patrí do triedy, ale má jednu alebo viac premenných.
