Matice (tabuľky s číselnými prvkami) možno použiť na rôzne výpočty. Niektoré z nich sú násobenie číslom, vektor, iné matice, niekoľko matíc. Produkt je niekedy nesprávny. Chybný výsledok je výsledkom neznalosti pravidiel pre vykonávanie výpočtových akcií. Poďme zistiť, ako urobiť násobenie.
Matrika a číslo
Začnime tým najjednoduchším – vynásobením tabuľky s číslami konkrétnou hodnotou. Napríklad máme maticu A s prvkami aij (i sú čísla riadkov a j sú čísla stĺpcov) a číslom e. Súčinom matice číslom e bude matica B s prvkami bij, ktoré nájdeme podľa vzorca:
bij=e × aij.
T. e. na získanie prvku b11 musíte vziať prvok a11 a vynásobiť ho požadovaným číslom, aby ste dostali b12 je potrebné nájsť súčin prvku a12 a čísla e atď.
Poďme vyriešiť problém číslo 1 uvedený na obrázku. Ak chcete získať maticu B, jednoducho vynásobte prvky z A číslom 3:
- a11 × 3=18. Túto hodnotu zapíšeme do matice B v mieste, kde sa pretínajú stĺpec č. 1 a riadok č. 1.
- a21 × 3=15. Máme prvok b21.
- a12 × 3=-6. Dostali sme prvok b12. Zapíšeme to do matice B v mieste, kde sa pretínajú stĺpec 2 a riadok 1.
- a22 × 3=9. Tento výsledok je prvok b22.
- a13 × 3=12. Zadajte toto číslo do matice namiesto prvku b13.
- a23 × 3=-3. Posledné prijaté číslo je prvok b23.
Získali sme teda obdĺžnikové pole s číselnými prvkami.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektory a podmienka existencie súčinu matíc
V matematických disciplínach existuje niečo ako „vektor“. Tento výraz sa vzťahuje na usporiadanú množinu hodnôt od a1 po a . Nazývajú sa súradnice vektorového priestoru a píšu sa ako stĺpec. Existuje aj pojem „transponovaný vektor“. Jeho komponenty sú usporiadané ako reťazec.
Vektory možno nazvať maticami:
- vektor stĺpca je matica vytvorená z jedného stĺpca;
- riadkový vektor je matica, ktorá obsahuje iba jeden riadok.
Po dokončenínad maticami operácií násobenia je dôležité pamätať na to, že existuje podmienka existencie súčinu. Výpočtovú akciu A × B je možné vykonať len vtedy, keď sa počet stĺpcov tabuľky A rovná počtu riadkov tabuľky B. Výsledná matica, ktorá je výsledkom výpočtu, má vždy počet riadkov tabuľky A a počet stĺpcov v tabuľke B.
Pri násobení sa neodporúča meniť usporiadanie matíc (násobiteľov). Ich súčin zvyčajne nezodpovedá komutatívnemu (posunovaciemu) zákonu násobenia, t. j. výsledok operácie A × B sa nerovná výsledku operácie B × A. Táto vlastnosť sa nazýva nekomutatívnosť súčinu matice. V niektorých prípadoch sa výsledok násobenia A × B rovná výsledku násobenia B × A, t. j. súčin je komutatívny. Matice, pre ktoré platí rovnosť A × B=B × A, sa nazývajú permutačné matice. Pozrite si príklady takýchto tabuliek nižšie.
Násobenie stĺpcovým vektorom
Pri násobení matice stĺpcovým vektorom musíme brať do úvahy podmienku existencie súčinu. Počet stĺpcov (n) v tabuľke sa musí zhodovať s počtom súradníc, ktoré tvoria vektor. Výsledkom výpočtu je transformovaný vektor. Jeho počet súradníc sa rovná počtu riadkov (m) z tabuľky.
Ako sa vypočítajú súradnice vektora y, ak existuje matica A a vektor x? Pre výpočty vytvorené vzorce:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
………………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
kde x1, …, x sú súradnice z x-vektora, m je počet riadkov v matici a číslo súradníc v novom vektore y, n je počet stĺpcov v matici a počet súradníc v vektore x, a11, a12, …, amn– prvky matice A.
Na získanie i-tej zložky nového vektora sa teda vykoná skalárny súčin. Vektor i-tého riadku je prevzatý z matice A a je vynásobený dostupným vektorom x.
Poďme vyriešiť problém č. 2. Môžete nájsť súčin matice a vektora, pretože A má 3 stĺpce a x sa skladá z 3 súradníc. V dôsledku toho by sme mali dostať stĺpcový vektor so 4 súradnicami. Použime vyššie uvedené vzorce:
- Vypočítajte y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Konečná hodnota je 2.
- Vypočítajte y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Pri výpočte dostaneme 0.
- Vypočítajte y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Súčet súčinov uvedených faktorov je 6.
- Vypočítajte y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Súradnica je -8.
Riadkové vektorovo-maticové násobenie
Maticu s viacerými stĺpcami nemôžete vynásobiť riadkovým vektorom. V takýchto prípadoch nie je splnená podmienka existencie diela. Násobenie riadkového vektora maticou je však možné. Totovýpočtová operácia sa vykoná, keď sa počet súradníc vo vektore a počet riadkov v tabuľke zhodujú. Výsledkom súčinu vektora a matice je nový riadkový vektor. Jeho počet súradníc sa musí rovnať počtu stĺpcov v matici.
Výpočet prvej súradnice nového vektora zahŕňa vynásobenie vektora riadka a vektora prvého stĺpca z tabuľky. Druhá súradnica sa vypočíta podobným spôsobom, ale namiesto prvého stĺpcového vektora sa berie druhý stĺpcový vektor. Tu je všeobecný vzorec na výpočet súradníc:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, kde yk je súradnica z vektora y, (k je medzi 1 a n), m je počet riadkov v matici a počet súradníc v x-vektore je n počet stĺpcov v matici a počet súradníc vo vektore y, a s alfanumerickými indexmi sú prvky matice A.
Produkt pravouhlých matíc
Tento výpočet sa môže zdať komplikovaný. Násobenie je však jednoduché. Začnime s definíciou. Súčin matice A s m riadkami a n stĺpcami a matice B s n riadkami a p stĺpcami je matica C s m riadkami a p stĺpcami, v ktorej je prvok cij súčet súčinov prvkov i-tý riadok z tabuľky A a j-tý stĺpec z tabuľky B. Zjednodušene povedané, prvok cij je skalárnym súčinom i-teho riadku vektor z tabuľky A a vektor j-tého stĺpca z tabuľky B.
Poďme teraz v praxi zistiť, ako nájsť súčin pravouhlých matíc. Riešime na to úlohu č.3. Podmienka existencie produktu je splnená. Začnime s výpočtom prvkov cij:
- Matrika C bude mať 2 riadky a 3 stĺpce.
- Vypočítajte prvok c11. Na tento účel vykonáme skalárny súčin riadku č. 1 z matice A a stĺpca č. 1 z matice B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Potom postupujeme podobným spôsobom, meníme len riadky, stĺpce (v závislosti od indexu prvku).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Prvky sú vypočítané. Teraz zostáva len vytvoriť obdĺžnikový blok z prijatých čísel.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Násobenie troch matíc: teoretická časť
Dokážete nájsť súčin troch matíc? Táto výpočtová operácia je realizovateľná. Výsledok možno získať niekoľkými spôsobmi. Napríklad, existujú 3 štvorcové tabuľky (rovnakého poradia) - A, B a C. Na výpočet produktu môžete:
- Najprv vynásobte A a B. Potom vynásobte výsledok číslom C.
- Najprv nájdite súčin B a C. Potom vynásobte maticu A výsledkom.
Ak potrebujete vynásobiť pravouhlé matice, najprv sa musíte uistiť, že je táto výpočtová operácia možná. Mal byprodukty A × B a B × C existujú.
Prírastkové násobenie nie je chyba. Existuje niečo ako „asociatívnosť násobenia matíc“. Tento výraz sa vzťahuje na rovnosť (A × B) × C=A × (B × C).
Nácvik násobenia troch matic
Štvorcové matice
Začnite vynásobením malých štvorcových matíc. Obrázok nižšie ukazuje problém číslo 4, ktorý musíme vyriešiť.
Použijeme vlastnosť asociatívnosti. Najprv vynásobíme buď A a B, alebo B a C. Pamätáme si len jednu vec: nemôžete zamieňať faktory, to znamená, že nemôžete násobiť B × A alebo C × B. Týmto vynásobením dostaneme chybný výsledok.
Pokrok v rozhodovaní.
Prvý krok. Aby sme našli spoločný súčin, najprv vynásobíme A B. Pri násobení dvoch matíc sa budeme riadiť pravidlami, ktoré boli načrtnuté vyššie. Takže výsledkom vynásobenia A a B bude matica D s 2 riadkami a 2 stĺpcami, t.j. obdĺžnikové pole bude obsahovať 4 prvky. Poďme ich nájsť výpočtom:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Pripravený medzivýsledok.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Krok dva. Teraz vynásobme maticu D maticou C. Výsledkom by mala byť štvorcová matica G s 2 riadkami a 2 stĺpcami. Vypočítajte prvky:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Výsledkom súčinu štvorcových matíc je teda tabuľka G s vypočítanými prvkami.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Obdĺžnikové matice
Na obrázku nižšie je zobrazený problém číslo 5. Je potrebné vynásobiť pravouhlé matice a nájsť riešenie.
Skontrolujeme, či je splnená podmienka existencie súčinov A × B a B × C. Poradie uvedených matíc nám umožňuje vykonať násobenie. Začnime riešiť problém.
Pokrok v rozhodovaní.
Prvý krok. Vynásobte B C a dostanete D. Matica B má 3 riadky a 4 stĺpce a matica C má 4 riadky a 2 stĺpce. To znamená, že dostaneme maticu D s 3 riadkami a 2 stĺpcami. Vypočítajme prvky. Tu sú 2 príklady výpočtu:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Pokračujeme v riešení problému. Ako výsledok ďalších výpočtov nájdeme hodnoty d21, d2 2, d31 a d32. Tieto prvky sú 0, 19, 1 a 11. Nájdené hodnoty zapíšme do obdĺžnikového poľa.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Krok dva. Vynásobte A x D, aby ste dostali konečnú maticu F. Bude mať 2 riadky a 2 stĺpce. Vypočítajte prvky:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Zostavte obdĺžnikové pole, ktoré je konečným výsledkom vynásobenia troch matíc.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Úvod do priamej práce
Dosť ťažko pochopiteľný materiál je Kroneckerov produkt matíc. Má aj doplnkový názov – priame dielo. Čo znamená tento pojem? Povedzme, že máme tabuľku A rádu m × n a tabuľku B rádu p × q. Priamy súčin matice A a matice B je matica rádu mp × nq.
Máme 2 štvorcové matice A, B, ktoré sú znázornené na obrázku. Prvý má 2 stĺpce a 2 riadky a druhý má 3 stĺpce a 3 riadky. Vidíme, že matica, ktorá je výsledkom priameho súčinu, pozostáva zo 6 riadkov a presne rovnakého počtu stĺpcov.
Ako sa počítajú prvky novej matice v priamom súčine? Nájsť odpoveď na túto otázku je veľmi jednoduché, ak analyzujete obrázok. Najprv vyplňte prvý riadok. Vezmite prvý prvok z horného riadku tabuľky A a postupne vynásobte prvkami prvého riadkuz tabuľky B. Ďalej vezmite druhý prvok prvého riadku tabuľky A a postupne vynásobte prvkami prvého riadku tabuľky B. Na vyplnenie druhého riadku znova vezmite prvý prvok z prvého riadku tabuľky A a vynásobte ho prvkami druhého riadku tabuľky B.
Konečná matica získaná priamym produktom sa nazýva bloková matica. Ak znova analyzujeme obrázok, vidíme, že náš výsledok pozostáva zo 4 blokov. Všetky obsahujú prvky matice B. Okrem toho je prvok každého bloku vynásobený špecifickým prvkom matice A. V prvom bloku sú všetky prvky vynásobené a11, v druhý - podľa 12, v treťom - dňa a21, vo štvrtom - dňa a22.
determinant produktu
Pri zvažovaní témy násobenia matíc stojí za zváženie pojem ako „determinant súčinu matíc“. Čo je determinant? Toto je dôležitá charakteristika štvorcovej matice, určitá hodnota, ktorá je tejto matici priradená. Doslovné označenie determinantu je det.
Pre maticu A pozostávajúcu z dvoch stĺpcov a dvoch riadkov je determinant ľahké nájsť. Existuje malý vzorec, ktorý predstavuje rozdiel medzi produktmi konkrétnych prvkov:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Pozrime sa na príklad výpočtu determinantu pre tabuľku druhého rádu. Existuje matica A, v ktorej a11=2, a12=3, a21=5 a a22=1. Na výpočet determinantu použite vzorec:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Pre matice 3 × 3 sa determinant vypočítava pomocou zložitejšieho vzorca. Nižšie je uvedený pre maticu A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
Aby sme si zapamätali vzorec, vymysleli sme trojuholníkové pravidlo, ktoré je znázornené na obrázku. Najprv sa vynásobia prvky hlavnej uhlopriečky. K získanej hodnote sa pripočítajú produkty tých prvkov, ktoré sú označené uhlami trojuholníkov s červenými stranami. Potom sa odčíta súčin prvkov sekundárnej diagonály a odčítajú sa súčin prvkov označených rohmi trojuholníkov s modrými stranami.
Teraz si povedzme o determinante súčinu matíc. Existuje teorém, ktorý hovorí, že tento ukazovateľ sa rovná súčinu determinantov z multiplikačných tabuliek. Overme si to na príklade. Máme maticu A so záznamami a11=2, a12=3, a21=1 a a22=1 a matica B so záznamami b11=4, b12=5, b 21 =1 a b22=2. Nájdite determinanty pre matice A a B, súčin A × B a determinant tohto súčinu.
Pokrok v rozhodovaní.
Prvý krok. Vypočítajte determinant pre A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Ďalej vypočítajte determinant pre B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Krok dva. Poďme nájsťsúčin A × B. Označte novú maticu písmenom C. Vypočítajte jej prvky:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Krok tri. Vypočítajte determinant pre C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Porovnajte s hodnotou, ktorú bolo možné získať vynásobením determinantov pôvodných matíc. Čísla sú rovnaké. Vyššie uvedená veta je pravdivá.
Hodnotenie produktu
Hodnota matice je charakteristika, ktorá odráža maximálny počet lineárne nezávislých riadkov alebo stĺpcov. Na výpočet poradia sa vykonajú elementárne transformácie matice:
- zmena usporiadania dvoch paralelných radov;
- vynásobenie všetkých prvkov určitého riadku z tabuľky nenulovým číslom;
- pridanie prvkov z jedného riadku k prvkom z iného riadku, vynásobené konkrétnym číslom.
Po elementárnych transformáciách sa pozrite na počet nenulových reťazcov. Ich počet je hodnosťou matice. Zvážte predchádzajúci príklad. Prezentoval 2 matice: A s prvkami a11=2, a12=3, a21=1 a a22 =1 a B s prvkami b11=4, b12=5, b21=1 a b22=2. Použijeme aj maticu C získanú ako výsledok násobenia. Ak vykonáme elementárne transformácie, potom v zjednodušených maticiach nebudú žiadne nulové riadky. To znamená, že poradie tabuľky A, poradie tabuľky B a poradietabuľka C je 2.
Venujme teraz zvláštnu pozornosť hodnote súčinu matíc. Existuje teorém, ktorý hovorí, že poradie súčinu tabuliek obsahujúcich číselné prvky nepresahuje poradie žiadneho z faktorov. Dá sa to dokázať. Nech A je matica k × s a B je matica s × m. Súčin A a B sa rovná C.
Preštudujme si obrázok vyššie. Zobrazuje prvý stĺpec matice C a jej zjednodušený zápis. Tento stĺpec je lineárnou kombináciou stĺpcov zahrnutých v matici A. Podobne sa dá povedať o akomkoľvek inom stĺpci z obdĺžnikového poľa C. Teda podpriestor tvorený stĺpcovými vektormi tabuľky C je v podpriestore tvorenom stĺpcové vektory tabuľky A. Tým teda rozmer podpriestoru č. 1 nepresahuje rozmer podpriestoru č. 2. Z toho vyplýva, že poradie v stĺpcoch tabuľky C nepresahuje poradie v stĺpcoch tabuľky A, t.j. r(C) ≦ r(A). Ak budeme argumentovať podobným spôsobom, potom sa môžeme uistiť, že riadky matice C sú lineárnymi kombináciami riadkov matice B. Z toho vyplýva nerovnosť r(C) ≦ r(B).
Ako nájsť súčin matíc je pomerne komplikovaná téma. Dá sa ľahko zvládnuť, no na dosiahnutie takéhoto výsledku budete musieť stráviť veľa času zapamätaním si všetkých existujúcich pravidiel a teorémov.
