Jednou z charakteristických vlastností každej vlny je jej schopnosť difrakcie na prekážkach, ktorých veľkosť je porovnateľná s vlnovou dĺžkou tejto vlny. Táto vlastnosť sa využíva v takzvaných difrakčných mriežkach. Čo to je a ako sa dajú použiť na analýzu emisných a absorpčných spektier rôznych materiálov, je diskutované v tomto článku.
Difrakčný jav
Tento jav spočíva v zmene trajektórie priamočiareho šírenia vlny, keď sa na jej dráhe objaví prekážka. Na rozdiel od lomu a odrazu je difrakcia badateľná len na veľmi malých prekážkach, ktorých geometrické rozmery sú rádovo vlnovej dĺžky. Existujú dva typy difrakcie:
- ohýbanie vlny okolo objektu, keď je vlnová dĺžka oveľa väčšia ako veľkosť tohto objektu;
- rozptyl vlny pri prechode cez otvory rôznych geometrických tvarov, keď sú rozmery otvorov menšie ako vlnová dĺžka.
Fenomén difrakcie je charakteristický pre zvukové, morské a elektromagnetické vlny. Ďalej v článku sa budeme zaoberať difrakčnou mriežkou len pre svetlo.
Fenomén rušenia
Difrakčné obrazce objavujúce sa na rôznych prekážkach (okrúhle otvory, štrbiny a mriežky) sú výsledkom nielen difrakcie, ale aj interferencie. Podstatou toho druhého je superpozícia vĺn na seba, ktoré vyžarujú rôzne zdroje. Ak tieto zdroje vyžarujú vlny pri zachovaní fázového rozdielu medzi nimi (vlastnosť koherencie), potom možno v čase pozorovať stabilný interferenčný vzor.
Pozícia maxima (svetlé oblasti) a miním (tmavé zóny) je vysvetlená nasledovne: ak dve vlny dorazia do daného bodu v protifáze (jedna s maximálnou a druhá s minimálnou absolútnou amplitúdou), potom sa navzájom "zničia" a v bode je dodržané minimum. Naopak, ak dve vlny prídu v rovnakej fáze do bodu, potom sa navzájom posilnia (maximálne).
Oba javy prvýkrát opísal Angličan Thomas Young v roku 1801, keď študoval difrakciu pomocou dvoch štrbín. Talian Grimaldi však tento jav prvýkrát pozoroval v roku 1648, keď študoval difrakčný obrazec daný slnečným svetlom prechádzajúcim cez malý otvor. Grimaldi nedokázal vysvetliť výsledky svojich experimentov.
Matematická metóda používaná na štúdium difrakcie
Táto metóda sa nazýva Huygensov-Fresnelov princíp. Spočíva v tvrdení, že v procesešírenie čela vlny, každý jeho bod je zdrojom sekundárnych vĺn, ktorých interferencia určuje výslednú osciláciu v ľubovoľnom uvažovanom bode.
Popísaný princíp vyvinul Augustin Fresnel v prvej polovici 19. storočia. Fresnel zároveň vychádzal z myšlienok vlnovej teórie Christiana Huygensa.
Hoci Huygensov-Fresnelov princíp nie je teoreticky presný, bol úspešne použitý na matematický popis experimentov s difrakciou a interferenciou.
Difrakcia v blízkom a vzdialenom poli
Difrakcia je pomerne zložitý jav, ktorého presné matematické riešenie vyžaduje zváženie Maxwellovej teórie elektromagnetizmu. Preto sa v praxi zvažujú len špeciálne prípady tohto javu s použitím rôznych aproximácií. Ak je čelo vlny dopadajúce na prekážku ploché, potom sa rozlišujú dva typy difrakcie:
- v blízkom poli alebo Fresnelova difrakcia;
- v ďalekom poli alebo Fraunhoferova difrakcia.
Slová "ďaleké a blízke pole" znamenajú vzdialenosť k obrazovke, na ktorej je pozorovaný difrakčný obrazec.
Prechod medzi Fraunhoferovou a Fresnelovou difrakciou možno odhadnúť výpočtom Fresnelovho čísla pre konkrétny prípad. Toto číslo je definované takto:
F=a2/(Dλ).
Tu λ je vlnová dĺžka svetla, D je vzdialenosť k obrazovke, a je veľkosť objektu, na ktorom dochádza k difrakcii.
Ak F<1, zvážteuž aproximácie blízkeho poľa.
V aproximácii vzdialeného poľa sa uvažuje o mnohých praktických prípadoch vrátane použitia difrakčnej mriežky.
Koncept mriežky, na ktorej sa vlny difraktujú
Táto mriežka je malý plochý predmet, na ktorom je nejakým spôsobom aplikovaná periodická štruktúra, ako sú pruhy alebo drážky. Dôležitým parametrom takejto mriežky je počet pásikov na jednotku dĺžky (zvyčajne 1 mm). Tento parameter sa nazýva mriežková konštanta. Ďalej ho budeme označovať symbolom N. Prevrátená hodnota N určuje vzdialenosť medzi susednými pásikmi. Označme to písmenom d, potom:
d=1/N.
Keď na takúto mriežku dopadá rovinná vlna, dochádza k periodickým poruchám. Tie sa zobrazujú na obrazovke vo forme určitého obrazu, ktorý je výsledkom interferencie vĺn.
Typy mriežok
Existujú dva typy difrakčných mriežok:
- prechádzajúci alebo priehľadný;
- reflexné.
Prvé sa vyrábajú nanášaním nepriehľadných ťahov na sklo. Práve s takýmito platňami sa pracuje v laboratóriách, používajú sa v spektroskopoch.
Druhý typ, teda reflexné mriežky, sa vyrábajú nanášaním periodických drážok na leštený materiál. Pozoruhodným každodenným príkladom takejto mriežky je plastový disk CD alebo DVD.
Rovnica mriežky
Vzhľadom na Fraunhoferovu difrakciu na mriežke je možné napísať nasledujúci výraz pre intenzitu svetla v difrakčnom obrazci:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, kde
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Parameter a je šírka jedného slotu a parameter d je vzdialenosť medzi nimi. Dôležitou charakteristikou vo výraze pre I(θ) je uhol θ. Toto je uhol medzi stredovou kolmicou na rovinu mriežky a špecifickým bodom v difrakčnom obrazci. V experimentoch sa meria pomocou goniometra.
V prezentovanom vzorci výraz v zátvorkách určuje difrakciu z jednej štrbiny a výraz v hranatých zátvorkách je výsledkom vlnovej interferencie. Ak ho analyzujeme z hľadiska podmienok maximálneho rušenia, môžeme dospieť k nasledujúcemu vzorcu:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
Uhol θ0 charakterizuje vlnu dopadajúcu na mriežku. Ak je čelo vlny s ňou rovnobežné, potom θ0=0 a posledný výraz bude:
sin(θm)=mλ/d.
Tento vzorec sa nazýva rovnica difrakčnej mriežky. Hodnota m nadobúda akékoľvek celé čísla, vrátane záporných jednotiek a nuly, nazýva sa to rád difrakcie.
Analýza mriežkovej rovnice
V predchádzajúcom odseku sme to zistiliže poloha hlavných maxím je opísaná rovnicou:
sin(θm)=mλ/d.
Ako to možno uviesť do praxe? Používa sa najmä vtedy, keď sa svetlo dopadajúce na difrakčnú mriežku s periódou d rozkladá na jednotlivé farby. Čím väčšia je vlnová dĺžka λ, tým väčšia bude uhlová vzdialenosť k maximu, ktoré jej zodpovedá. Meranie zodpovedajúceho θm pre každú vlnu vám umožňuje vypočítať jej dĺžku, a teda určiť celé spektrum vyžarujúceho objektu. Porovnaním tohto spektra s údajmi zo známej databázy môžeme povedať, ktoré chemické prvky ho emitovali.
Vyššie uvedený proces sa používa v spektrometroch.
Rozlíšenie mriežky
Pod tým sa rozumie taký rozdiel medzi dvoma vlnovými dĺžkami, ktoré sa objavujú v difrakčnom obrazci ako samostatné čiary. Faktom je, že každá čiara má určitú hrúbku, keď sa dve vlny s blízkymi hodnotami λ a λ + Δλ difraktujú, potom sa čiary, ktoré im zodpovedajú na obrázku, môžu zlúčiť do jednej. V druhom prípade sa hovorí, že rozlíšenie mriežky je menšie ako Δλ.
Po vynechaní argumentov týkajúcich sa odvodenia vzorca pre rozlíšenie mriežky uvádzame jeho konečnú podobu:
Δλ>λ/(mN).
Tento malý vzorec nám umožňuje dospieť k záveru: pomocou mriežky môžete oddeliť bližšie vlnové dĺžky (Δλ), čím dlhšia je vlnová dĺžka svetla λ, tým väčší počet ťahov na jednotku dĺžky(mriežková konštanta N), a čím vyšší je rád difrakcie. Zastavme sa pri poslednom.
Ak sa pozriete na difrakčný obrazec, potom s rastúcim m skutočne narastá vzdialenosť medzi susednými vlnovými dĺžkami. Na použitie vysokých rádov difrakcie je však potrebné, aby intenzita svetla na nich bola dostatočná na meranie. Na bežnej difrakčnej mriežke s rastúcim m rýchlo klesá. Preto sa na tieto účely používajú špeciálne mriežky, ktoré sú vyrobené tak, aby prerozdeľovali intenzitu svetla v prospech veľkých m. Spravidla ide o reflexné mriežky, ktorých difrakčný obrazec sa získa pre veľké θ0.
Ďalej zvážte použitie mriežkovej rovnice na vyriešenie niekoľkých problémov.
Úlohy na určenie difrakčných uhlov, poradia difrakcie a mriežkovej konštanty
Uveďme príklady riešenia niekoľkých problémov:
Na určenie periódy difrakčnej mriežky sa vykoná nasledujúci experiment: použije sa monochromatický svetelný zdroj, ktorého vlnová dĺžka je známa hodnota. Pomocou šošoviek sa vytvára paralelné čelo vlny, to znamená, že sa vytvárajú podmienky pre Fraunhoferovu difrakciu. Potom je toto čelo nasmerované na difrakčnú mriežku, ktorej perióda nie je známa. Na výslednom obrázku sú uhly pre rôzne rády merané pomocou goniometra. Potom vzorec vypočíta hodnotu neznámeho obdobia. Urobme tento výpočet na konkrétnom príklade
Vlnová dĺžka svetla nech je 500 nm a uhol prvého rádu difrakcie je 21o. Na základe týchto údajov je potrebné určiť periódu difrakčnej mriežky d.
Pomocou mriežkovej rovnice vyjadrite d a vložte údaje:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Potom mriežková konštanta N je:
N=1/d ≈ 714 riadkov na 1 mm.
Svetlo normálne dopadá na difrakčnú mriežku s periódou 5 mikrónov. Keď vieme, že vlnová dĺžka λ=600 nm, je potrebné nájsť uhly, v ktorých sa objavia maximá prvého a druhého rádu
Za prvé maximum dostaneme:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
Druhé maximum sa zobrazí pre uhol θ2:
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
Monochromatické svetlo dopadá na difrakčnú mriežku s periódou 2 mikrónov. Jeho vlnová dĺžka je 550 nm. Je potrebné zistiť, koľko rádov difrakcie sa objaví vo výslednom obrázku na obrazovke
Tento typ úlohy sa rieši nasledovne: najprv by ste mali určiť závislosť uhla θm od poradia difrakcie pre podmienky problému. Potom bude potrebné vziať do úvahy, že funkcia sínus nemôže nadobúdať hodnoty väčšie ako jedna. Posledná skutočnosť nám umožní odpovedať na tento problém. Urobme popísané akcie:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Táto rovnosť ukazuje, že keď m=4, výraz na pravej strane sa rovná 1,1 a pri m=3 sa bude rovnať 0,825. To znamená, že použitím difrakčnej mriežky s periódou 2 μm pri vlnovej dĺžke 550 nm môžete získať maximálny 3. rád difrakcie.
Problém s výpočtom rozlíšenia mriežky
Predpokladajme, že na experiment použijú difrakčnú mriežku s periódou 10 mikrónov. Je potrebné vypočítať, o akú minimálnu vlnovú dĺžku sa môžu vlny pri λ=580 nm líšiť, aby sa na obrazovke javili ako samostatné maximá.
Odpoveď na tento problém súvisí s určením rozlíšenia uvažovanej mriežky pre danú vlnovú dĺžku. Takže dve vlny sa môžu líšiť o Δλ>λ/(mN). Keďže mriežková konštanta je nepriamo úmerná perióde d, tento výraz možno zapísať takto:
Δλ>λd/m.
Teraz pre vlnovú dĺžku λ=580 nm napíšeme mriežkovú rovnicu:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Kde dostaneme, že maximálny rád m bude 17. Dosadením tohto čísla do vzorca pre Δλ dostaneme:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 alebo 0,00034 nm.
Dosiahli sme veľmi vysoké rozlíšenie, keď je perióda difrakčnej mriežky 10 mikrónov. V praxi sa spravidla nedosahuje z dôvodu nízkych intenzít maxím vysokých rádov difrakcie.
