Algebraické nerovnosti alebo ich sústavy s racionálnymi koeficientmi, ktorých riešenia sa hľadajú v celočíselných alebo celých číslach. Počet neznámych v diofantínskych rovniciach je spravidla väčší. Preto sú známe aj ako neurčité nerovnosti. V modernej matematike sa vyššie uvedený koncept aplikuje na algebraické rovnice, ktorých riešenia sa hľadajú v algebraických celých číslach určitého rozšírenia poľa Q-racionálnych premenných, poľa p-adických premenných atď.
Pôvod týchto nerovností
Štúdium diofantínskych rovníc je na hranici medzi teóriou čísel a algebraickou geometriou. Hľadanie riešení v celočíselných premenných je jedným z najstarších matematických problémov. Už na začiatku druhého tisícročia pred n. starí Babylončania dokázali vyriešiť sústavy rovníc s dvoma neznámymi. Toto odvetvie matematiky najviac prekvitalo v starovekom Grécku. Diofantova aritmetika (približne 3. storočie nášho letopočtu) je významným a hlavným zdrojom, ktorý obsahuje rôzne typy a sústavy rovníc.
V tejto knihe Diophantus predvídal množstvo metód na štúdium nerovností druhého a tretiehostupňa, ktoré sa naplno rozvinuli v 19. storočí. Vytvorenie teórie racionálnych čísel týmto výskumníkom starovekého Grécka viedlo k analýze logických riešení neurčitých systémov, ktoré sú systematicky sledované v jeho knihe. Hoci jeho práca obsahuje riešenia špecifických diofantínskych rovníc, existuje dôvod domnievať sa, že poznal aj niekoľko všeobecných metód.
Štúdium týchto nerovností je zvyčajne spojené s vážnymi ťažkosťami. Vzhľadom na to, že obsahujú polynómy s celočíselnými koeficientmi F (x, y1, …, y). Na základe toho sa dospelo k záveru, že neexistuje jediný algoritmus, ktorý by sa dal použiť na určenie pre dané x, či rovnica F (x, y1, …., y ). Situácia je riešiteľná pre y1, …, y . Príklady takýchto polynómov možno napísať.
Najjednoduchšia nerovnosť
ax + by=1, kde a a b sú relatívne celé čísla a prvočísla, má obrovský počet vykonaní (ak x0, y0 sa vytvorí výsledok, potom sa vytvorí dvojica premenných x=x0 + b a y=y0 -an, kde n je ľubovoľné, bude tiež považované za nerovnosť). Ďalším príkladom diofantínových rovníc je x2 + y2 =z2. Kladným integrálnym riešením tejto nerovnosti sú dĺžky malých strán x, y a pravouhlých trojuholníkov, ako aj prepona z s celočíselnými rozmermi strán. Tieto čísla sú známe ako pytagorejské čísla. Všetky triplety vzhľadom na prvočíslo sú uvedenévyššie uvedené premenné sú dané x=m2 – n2, y=2 mil., z=m2+ n2, kde m a n sú celé čísla a prvočísla (m>n>0).
Diophantus vo svojej Aritmetike hľadá racionálne (nie nevyhnutne integrálne) riešenia špeciálnych typov svojich nerovností. Všeobecnú teóriu na riešenie diofantických rovníc prvého stupňa vypracoval C. G. Baschet v 17. storočí. Iní vedci na začiatku 19. storočia študovali najmä podobné nerovnosti ako ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, kde a, b, c, d, e a f sú všeobecné, heterogénne, s dvoma neznámymi druhého stupňa. Lagrange vo svojej štúdii použil pokračovacie zlomky. Gauss pre kvadratické formy vyvinul všeobecnú teóriu, ktorá je základom niektorých typov riešení.
Pri štúdiu týchto nerovností druhého stupňa sa významný pokrok dosiahol až v 20. storočí. A. Thue zistil, že diofantínová rovnica a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, kde n≧3, a0, …, a , c sú celé čísla a a0tn + …+ a nemôže mať nekonečný počet celočíselných riešení. Thueho metóda však nebola správne vyvinutá. A. Baker vytvoril efektívne teorémy, ktoré poskytujú odhady výkonnosti niektorých rovníc tohto druhu. BN Delaunay navrhol inú metódu skúmania použiteľnú na užšiu triedu týchto nerovností. Najmä tvar ax3 + y3 =1 je úplne rozlíšiteľný týmto spôsobom.
Diofantínové rovnice: metódy riešenia
Teória Diofanta má mnoho smerov. Známym problémom v tomto systéme je teda hypotéza, že neexistuje žiadne netriviálne riešenie diofantínskych rovníc xn + y =z n ak n ≧ 3 (Fermatova otázka). Štúdium celočíselných splnenia nerovnosti je prirodzeným zovšeobecnením problému pytagorovských trojíc. Euler získal kladné riešenie Fermatovej úlohy pre n=4. Na základe tohto výsledku odkazuje na dôkaz chýbajúcich celočíselných, nenulových štúdií rovnice, ak n je nepárne prvočíslo.
Štúdia týkajúca sa rozhodnutia nebola dokončená. Ťažkosti s jeho implementáciou súvisia so skutočnosťou, že jednoduchá faktorizácia v kruhu algebraických celých čísel nie je jedinečná. Teória deliteľov v tomto systéme pre mnohé triedy prvočíselných exponentov n umožňuje potvrdiť platnosť Fermatovej vety. Lineárna diofantínska rovnica s dvoma neznámymi je teda splnená existujúcimi metódami a spôsobmi.
Typy a typy popísaných úloh
Aritmetika okruhov algebraických celých čísel sa používa aj v mnohých iných problémoch a riešeniach diofantínskych rovníc. Takéto metódy boli napríklad použité pri vypĺňaní nerovností tvaru N(a1 x1 +…+ a x)=m, kde N(a) je norma a, a x1, …, xn zistili sa integrálne racionálne premenné. Táto trieda zahŕňa Pellovu rovnicu x2–dy2=1.
Hodnoty a1, …, a , ktoré sa objavia, sú rozdelené do dvoch typov. Prvý typ - takzvané úplné formy - zahŕňa rovnice, v ktorých medzi a je m lineárne nezávislých čísel na poli racionálnych premenných Q, kde m=[Q(a1, …, a):Q], v ktorom je určitý stupeň algebraických exponentov Q (a1, …, a ) nad Q. Neúplné druhy sú tie v ktorých maximálny počet a i je menší ako m.
Úplné formuláre sú jednoduchšie, ich štúdium je dokončené a všetky riešenia je možné popísať. Druhý typ, neúplný druh, je komplikovanejší a vývoj takejto teórie ešte nie je ukončený. Takéto rovnice sú študované pomocou diofantínových aproximácií, ktoré zahŕňajú nerovnosť F(x, y)=C, kde F (x, y) je ireducibilný, homogénny polynóm stupňa n≧3. Môžeme teda predpokladať, že yi→∞. Ak je teda yi dostatočne veľké, potom nerovnosť bude v rozpore s Thueovou, Siegelovou a Rothovou vetou, z ktorej vyplýva, že F(x, y)=C, kde F je forma tretieho stupňa alebo vyššie, neredukovateľné nemôže mať nekonečný počet riešení.
Ako vyriešiť diofantínsku rovnicu?
Tento príklad je pomerne úzka trieda spomedzi všetkých. Napríklad, napriek ich jednoduchosti, x3 + y3 + z3=N a x2 +y 2 +z2 +u2 =N nie sú zahrnuté v tejto triede. Štúdium riešení je pomerne starostlivo študovaným odvetvím diofantických rovníc, kde základom je reprezentácia pomocou kvadratických foriem čísel. Lagrangevytvoril vetu, ktorá hovorí, že splnenie existuje pre všetky prirodzené N. Akékoľvek prirodzené číslo môže byť vyjadrené ako súčet troch štvorcov (Gaussova veta), ale nemalo by mať tvar 4a (8K-1), kde a a k sú nezáporné celé exponenty.
Racionálne alebo integrálne riešenia systému diofantínskej rovnice typu F (x1, …, x)=a, kde F (x 1, …, x) je kvadratická forma s celočíselnými koeficientmi. Podľa Minkowského-Hasseovej vety teda nerovnosť ∑aijxixj=b ija b je racionálne, má integrálne riešenie v reálnych a p-adických číslach pre každé prvočíslo p iba vtedy, ak je v tejto štruktúre riešiteľné.
Vzhľadom na prirodzené ťažkosti sa štúdium čísel s ľubovoľnými tvarmi tretieho stupňa a vyššie študovalo v menšom rozsahu. Hlavnou metódou vykonávania je metóda trigonometrických súčtov. V tomto prípade je počet riešení rovnice explicitne zapísaný pomocou Fourierovho integrálu. Potom sa na vyjadrenie počtu splnení nerovnosti príslušných kongruencií použije metóda prostredia. Metóda goniometrických súčtov závisí od algebraických vlastností nerovníc. Existuje veľké množstvo elementárnych metód na riešenie lineárnych diofantických rovníc.
Diofantínová analýza
Katedra matematiky, ktorej predmetom je náuka o integrálnych a racionálnych riešeniach sústav rovníc algebry metódami geometrie, od r.gule. V druhej polovici 19. storočia vznik tejto teórie čísel viedol k štúdiu diofantínskych rovníc z ľubovoľného poľa s koeficientmi a riešenia sa uvažovali buď v ňom alebo v jeho kruhoch. Súbežne s číslami sa vyvíjal aj systém algebraických funkcií. Základná analógia medzi nimi, ktorú zdôraznili D. Hilbert a najmä L. Kronecker, viedla k jednotnej konštrukcii rôznych aritmetických pojmov, ktoré sa zvyčajne nazývajú globálne.
Toto je obzvlášť viditeľné, ak sú skúmané algebraické funkcie nad konečným poľom konštánt jednou premennou. Pojmy ako teória poľa tried, deliteľ a vetvenie a výsledky sú dobrým príkladom vyššie uvedeného. Tento pohľad sa v systéme diofantických nerovností ujal až neskôr a systematický výskum nielen číselných koeficientov, ale aj koeficientov, ktoré sú funkciami, sa začal až v 50. rokoch 20. storočia. Jedným z rozhodujúcich faktorov tohto prístupu bol rozvoj algebraickej geometrie. Simultánne štúdium polí čísel a funkcií, ktoré vznikajú ako dva rovnako dôležité aspekty toho istého predmetu, prinieslo nielen elegantné a presvedčivé výsledky, ale viedlo k vzájomnému obohateniu týchto dvoch tém.
V algebraickej geometrii je pojem variácie nahradený neinvariantnou množinou nerovností nad daným poľom K a ich riešenia sú nahradené racionálnymi bodmi s hodnotami v K alebo v jeho konečnom rozšírení. Dá sa teda povedať, že základným problémom diofantínskej geometrie je štúdium racionálnych bodovalgebraickej množiny X(K), pričom X sú určité čísla v poli K. Vyhotovenie celého čísla má v lineárnych diofantických rovniciach geometrický význam.
Štúdie nerovností a možnosti realizácie
Pri štúdiu racionálnych (alebo integrálnych) bodov na algebraických varietách vzniká prvý problém, ktorým je ich existencia. Hilbertov desiaty problém je formulovaný ako problém nájdenia všeobecnej metódy riešenia tohto problému. V procese vytvárania presnej definície algoritmu a po tom, čo sa dokázalo, že pre veľký počet problémov neexistujú žiadne takéto vykonania, problém získal očividný negatívny výsledok a najzaujímavejšou otázkou je definícia tried diofantínskych rovníc. pre ktoré vyššie uvedený systém existuje. Najprirodzenejším prístupom z algebraického hľadiska je takzvaný Hasseov princíp: počiatočné pole K sa študuje spolu s jeho dokončeniami Kv nad všetkými možnými odhadmi. Keďže X(K)=X(Kv) sú nevyhnutnou podmienkou existencie a bod K berie do úvahy, že množina X(Kv) nie je prázdne pre všetky v.
Význam spočíva v tom, že spája dva problémy. Druhý je oveľa jednoduchší, je riešiteľný známym algoritmom. V konkrétnom prípade, keď je varieta X projektívna, Hanselova lemma a jej zovšeobecnenia umožňujú ďalšiu redukciu: problém možno zredukovať na štúdium racionálnych bodov nad konečným poľom. Potom sa rozhodne vybudovať koncept buď prostredníctvom konzistentného výskumu alebo efektívnejších metód.
Poslednýdôležité je, že množiny X(Kv) nie sú prázdne pre všetky okrem konečného počtu v, takže počet podmienok je vždy konečný a možno ich efektívne testovať. Hasseho princíp však neplatí pre stupňové krivky. Napríklad 3x3 + 4y3=5 má body vo všetkých p-adických číselných poliach a v systéme reálnych čísel, ale nemá žiadne racionálne body.
Táto metóda slúžila ako východiskový bod pre zostavenie konceptu popisujúceho triedy hlavných homogénnych priestorov abelovských odrôd s cieľom vykonať „odchýlku“od Hasseovho princípu. Je opísaná z hľadiska špeciálnej štruktúry, ktorá môže byť spojená s každým potrubím (skupina Tate-Shafarevich). Hlavná ťažkosť teórie spočíva v tom, že metódy na výpočet skupín je ťažké získať. Tento koncept bol rozšírený aj na ďalšie triedy algebraických odrôd.
Vyhľadajte algoritmus na vyplnenie nerovností
Ďalšou heuristickou myšlienkou používanou pri štúdiu diofantických rovníc je, že ak je počet premenných zahrnutých v súbore nerovností veľký, potom systém zvyčajne má riešenie. To je však pre konkrétny prípad veľmi ťažké dokázať. Všeobecný prístup k problémom tohto typu využíva analytickú teóriu čísel a je založený na odhadoch pre trigonometrické súčty. Táto metóda bola pôvodne aplikovaná na špeciálne druhy rovníc.
Neskôr sa však s jeho pomocou dokázalo, že ak je tvar nepárneho stupňa F, v da n premenných a s racionálnymi koeficientmi, potom n je dostatočne veľké v porovnaní s d, takže projektívna hyperplocha F=0 má racionálny bod. Podľa Artinovej domnienky je tento výsledok pravdivý, aj keď n > d2. Toto bolo dokázané len pre kvadratické formy. Podobné problémy sa môžu vyskytnúť aj v iných oblastiach. Ústredným problémom diofantínskej geometrie je štruktúra množiny celých alebo racionálnych bodov a ich štúdium a prvou otázkou, ktorú treba objasniť, je, či je táto množina konečná. V tomto probléme má situácia zvyčajne konečný počet vykonaní, ak je stupeň systému oveľa väčší ako počet premenných. Toto je základný predpoklad.
Nerovnosti na čiarach a krivkách
Skupinu X(K) možno znázorniť ako priamy súčet voľnej štruktúry poradia r a konečnej grupy rádu n. Od 30. rokov 20. storočia sa skúmala otázka, či sú tieto čísla ohraničené na množine všetkých eliptických kriviek nad daným poľom K. Ohraničenosť krútenia n bola preukázaná v sedemdesiatych rokoch. Vo funkčnom prípade sú krivky ľubovoľne vysokej úrovne. V číselnom prípade stále neexistuje odpoveď na túto otázku.
Nakoniec, Mordellov odhad hovorí, že počet integrálnych bodov je konečný pre krivku rodu g>1. Vo funkčnom prípade tento koncept predviedol v roku 1963 Yu. I. Manin. Hlavným nástrojom používaným pri dokazovaní teorémov o konečnosti v diofantínskej geometrii je výška. Z algebraických odrôd sú dimenzie nad jednou abelovskémanifoldy, ktoré sú viacrozmernými analógmi eliptických kriviek, boli najdôkladnejšie študované.
A. Weil zovšeobecnil vetu o konečnosti počtu generátorov skupiny racionálnych bodov na abelovské variety akejkoľvek dimenzie (koncept Mordella-Weila), čím ju rozšíril. V 60. rokoch sa objavila domnienka Bircha a Swinnertona-Dyera, ktorá zlepšila túto a skupinové a zeta funkcie manifoldu. Numerické dôkazy podporujú túto hypotézu.
Problém s riešiteľnosťou
Problém nájdenia algoritmu, ktorý možno použiť na určenie, či má diofantická rovnica riešenie. Podstatnou črtou nastoleného problému je hľadanie univerzálnej metódy, ktorá by bola vhodná na akúkoľvek nerovnosť. Takáto metóda by tiež umožnila riešiť vyššie uvedené systémy, pretože je ekvivalentná P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 alebo p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Problém nájsť taký univerzálny spôsob, ako nájsť riešenia pre lineárne nerovnosti v celých číslach, položil D. Gilbert.
Začiatkom 50. rokov sa objavili prvé štúdie, ktorých cieľom bolo dokázať neexistenciu algoritmu na riešenie diofantínových rovníc. V tom čase sa objavila domnienka Davisa, ktorá hovorila, že akýkoľvek spočítateľný súbor patrí aj gréckemu vedcovi. Pretože príklady algoritmicky nerozhodnuteľných množín sú známe, ale sú rekurzívne spočítateľné. Z toho vyplýva, že Davisova domnienka je pravdivá a problém riešiteľnosti týchto rovnícmá negatívne vykonanie.
Potom, pre Davisovu domnienku, zostáva dokázať, že existuje metóda na transformáciu nerovnosti, ktorá tiež (alebo nemá) súčasne riešenie. Ukázalo sa, že takáto zmena diofantínovej rovnice je možná, ak má vyššie uvedené dve vlastnosti: 1) v akomkoľvek riešení tohto typu v ≦ uu; 2) pre každé k dôjde k vykonaniu s exponenciálnym rastom.
Príklad lineárnej diofantínovej rovnice tejto triedy dokončil dôkaz. Problém existencie algoritmu na riešiteľnosť a rozpoznávanie týchto nerovností v racionálnych číslach je stále považovaný za dôležitú a otvorenú otázku, ktorá nebola dostatočne prebádaná.
