Na určenie rovnobežnosti a kolmosti rovín, ako aj na výpočet vzdialeností medzi týmito geometrickými objektmi je vhodné použiť jeden alebo druhý typ numerických funkcií. Pre aké úlohy je vhodné použiť rovnicu roviny v segmentoch? V tomto článku sa pozrieme na to, čo to je a ako ho použiť v praktických úlohách.
Čo je to rovnica v úsečkách?
Rovina môže byť definovaná v 3D priestore niekoľkými spôsobmi. V tomto článku budú niektoré z nich uvedené pri riešení problémov rôzneho typu. Tu uvádzame podrobný popis rovnice v segmentoch roviny. Vo všeobecnosti má nasledujúcu formu:
x/p + y/q + z/r=1.
Kde symboly p, q, r označujú niektoré špecifické čísla. Túto rovnicu možno ľahko preložiť do všeobecného výrazu a do iných foriem numerických funkcií pre rovinu.
Vhodnosť písania rovnice v segmentoch spočíva v tom, že obsahuje explicitné súradnice priesečníka roviny s kolmými súradnicovými osami. Na osi xvzhľadom na počiatok rovina odreže segment s dĺžkou p, na osi y - rovný q, na z - s dĺžkou r.
Ak žiadna z troch premenných nie je obsiahnutá v rovnici, znamená to, že rovina neprechádza príslušnou osou (matematici hovoria, že sa križuje v nekonečne).
Ďalej je tu niekoľko úloh, v ktorých si ukážeme, ako s touto rovnicou pracovať.
Komunikácia všeobecne a v segmentoch rovníc
Je známe, že rovina je daná nasledujúcou rovnosťou:
2x - 3y + z - 6=0.
Túto všeobecnú rovnicu roviny je potrebné zapísať po segmentoch.
Keď sa vyskytne podobný problém, musíte postupovať podľa tejto techniky: voľný termín presunieme na pravú stranu rovnosti. Potom vydelíme celú rovnicu týmto pojmom a pokúsime sa ju vyjadriť vo forme uvedenej v predchádzajúcom odseku. Máme:
2x – 3y + z=6=>
2x/6 – 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
V segmentoch sme získali rovnicu roviny, ktorá bola na začiatku uvedená vo všeobecnom tvare. Je zrejmé, že rovina odreže segmenty s dĺžkami 3, 2 a 6 pre osi x, y a z. Os y pretína rovinu v oblasti záporných súradníc.
Pri zostavovaní rovnice v segmentoch je dôležité, aby pred všetkými premennými bolo znamienko „+“. Iba v tomto prípade číslo, ktorým je táto premenná vydelená, ukáže orezanie súradníc na osi.
Normálny vektor a bod v rovine
Je známe, že niektorá rovina má smerový vektor (3; 0; -1). Je tiež známe, že prechádza cez bod (1; 1; 1). Pre túto rovinu napíšte rovnicu v segmentoch.
Na vyriešenie tohto problému by ste mali najprv použiť všeobecný tvar pre tento dvojrozmerný geometrický objekt. Všeobecná forma je napísaná takto:
Ax + By + Cz + D=0.
Prvé tri koeficienty sú tu súradnice vodiaceho vektora, ktorý je špecifikovaný v probléme, teda:
A=3;
B=0;
C=-1.
Zostáva nájsť voľný výraz D. Dá sa určiť podľa nasledujúceho vzorca:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Kde hodnoty súradníc s indexom 1 zodpovedajú súradniciam bodu patriaceho do roviny. Ich hodnoty dosadíme zo stavu problému, dostaneme:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Teraz môžete napísať celú rovnicu:
3x – z – 2=0.
Technika prevodu tohto výrazu na rovnicu v segmentoch roviny už bola demonštrovaná vyššie. Použite:
3x – z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Odpoveď na problém bola prijatá. Všimnite si, že táto rovina pretína iba osi x a z. Pre y je rovnobežné.
Dve rovné čiary definujúce rovinu
Z kurzu priestorovej geometrie každý študent vie, že dve ľubovoľné priamky jednoznačne definujú rovinu vtrojrozmerný priestor. Poďme vyriešiť podobný problém.
Sú známe dve rovnice priamok:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Je potrebné zapísať rovnicu roviny v segmentoch, ktoré prechádzajú týmito priamkami.
Keďže obe čiary musia ležať v rovine, znamená to, že ich vektory (vodidlá) musia byť kolmé na vektor (vodidlá) roviny. Zároveň je známe, že vektorový súčin ľubovoľných dvoch smerovaných segmentov dáva výsledok vo forme súradníc tretieho, kolmého na dva pôvodné. Vzhľadom na túto vlastnosť získame súradnice vektora kolmého na požadovanú rovinu:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Keďže sa dá vynásobiť ľubovoľným číslom, vytvorí sa nový smerovaný segment rovnobežný s pôvodným, znamienko získaných súradníc môžeme nahradiť opačným (vynásobiť -1), dostaneme:
(1; 2; 1).
Poznáme smerový vektor. Zostáva vziať ľubovoľný bod jednej z priamych čiar a zostaviť všeobecnú rovnicu roviny:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Preložením tejto rovnosti na výraz v segmentoch dostaneme:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Rovina teda pretína všetky tri osi v kladnej oblasti súradnicového systému.
Tri body a rovina
Tak ako dve priame čiary, tri body definujú rovinu jedinečne v trojrozmernom priestore. Príslušnú rovnicu napíšeme v segmentoch, ak sú známe nasledujúce súradnice bodov ležiacich v rovine:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Urobme nasledovné: vypočítajte súradnice dvoch ľubovoľných vektorov spájajúcich tieto body, potom nájdite vektor n¯ kolmý na rovinu výpočtom súčinu nájdených smerovaných segmentov. Získame:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Vezmite si bod P ako príklad, zostavte rovnicu roviny:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 alebo z=0.
Dostali sme jednoduchý výraz, ktorý zodpovedá rovine xy v danom pravouhlom súradnicovom systéme. Nedá sa písať po segmentoch, pretože osi x a y patria do roviny a dĺžka segmentu odrezaného na osi z je nula (bod (0; 0; 0) patrí rovine).
