Štúdium teórie pravdepodobnosti začína riešením problémov sčítania a násobenia pravdepodobností. Hneď stojí za zmienku, že pri zvládnutí tejto oblasti vedomostí môže študent naraziť na problém: ak je možné fyzikálne alebo chemické procesy znázorniť vizuálne a pochopiť empiricky, potom je úroveň matematickej abstrakcie veľmi vysoká a pochopenie tu prichádza až s skúsenosti.
Hra však stojí za sviečku, pretože vzorce – uvedené v tomto článku aj zložitejšie – sa dnes používajú všade a môžu byť užitočné pri práci.
Pôvod
Napodiv, impulzom pre rozvoj tejto časti matematiky bol … hazard. Vskutku, kocky, hod mincou, poker, ruleta sú typickými príkladmi, ktoré využívajú sčítanie a násobenie pravdepodobností. Na príklade úloh v ktorejkoľvek učebnici je to jasne vidieť. Ľudia sa zaujímali o to, ako zvýšiť svoje šance na výhru, a musím povedať, že niektorým sa to podarilo.
Napríklad už v 21. storočí jedna osoba, ktorej meno nezverejníme,využil tieto znalosti nahromadené počas storočí na doslova „vyčistenie“kasína a vyhral niekoľko desiatok miliónov dolárov v rulete.
Avšak napriek zvýšenému záujmu o túto tému sa až v 20. storočí vyvinul teoretický rámec, vďaka ktorému sa „teorver“stal plnohodnotným komponentom matematiky. Dnes takmer v každej vede nájdete výpočty pomocou pravdepodobnostných metód.
Použiteľnosť
Dôležitým bodom pri používaní vzorcov sčítania a násobenia pravdepodobností je podmienená pravdepodobnosť splniteľnosť centrálnej limitnej vety. V opačnom prípade, hoci si to študent nemusí uvedomiť, všetky výpočty, bez ohľadu na to, aké vierohodné sa môžu zdať, budú nesprávne.
Áno, vysoko motivovaný študent je v pokušení využiť nové poznatky pri každej príležitosti. Ale v tomto prípade by ste mali trochu spomaliť a striktne načrtnúť rozsah pôsobnosti.
Teória pravdepodobnosti sa zaoberá náhodnými udalosťami, ktoré sú z empirického hľadiska výsledkom experimentov: môžeme hádzať šesťhrannou kockou, ťahať kartu z balíčka, predpovedať počet chybných častí v dávke. V niektorých otázkach je však kategoricky nemožné použiť vzorce z tejto časti matematiky. O vlastnostiach zvažovania pravdepodobnosti udalosti, teorémoch sčítania a násobenia udalostí budeme diskutovať na konci článku, ale teraz poďme na príklady.
Základné pojmy
Náhodná udalosť znamená nejaký proces alebo výsledok, ktorý sa môže alebo nemusí objaviťako výsledok experimentu. Napríklad hodíme sendvič - môže padať maslo hore alebo maslo dole. Každý z týchto dvoch výsledkov bude náhodný a vopred nevieme, ktorý z nich sa uskutoční.
Pri štúdiu sčítania a násobenia pravdepodobností potrebujeme ešte dva pojmy.
Spoločné udalosti sú také udalosti, pri ktorých výskyt jednej z nich nevylučuje výskyt druhej. Povedzme, že dvaja ľudia strieľajú na cieľ súčasne. Ak jeden z nich vystrelí úspešnú strelu, neovplyvní to schopnosť toho druhého zasiahnuť alebo minúť.
Nekonzistentné budú také udalosti, ktorých výskyt je súčasne nemožný. Napríklad, ak z krabice vytiahnete iba jednu loptičku, nemôžete získať modrú aj červenú naraz.
Označenie
Pojem pravdepodobnosti sa označuje latinským veľkým písmenom P. Ďalej v zátvorkách sú argumenty označujúce niektoré udalosti.
Vo vzorcoch vety o sčítaní, podmienenej pravdepodobnosti a vete o násobení uvidíte v zátvorkách výrazy, napríklad: A+B, AB alebo A|B. Budú sa počítať rôznymi spôsobmi, teraz sa k nim obrátime.
Dodatok
Uvažujme o prípadoch, keď sa používajú vzorce sčítania a násobenia.
Pre nekompatibilné udalosti je relevantný najjednoduchší vzorec sčítania: pravdepodobnosť ktoréhokoľvek z náhodných výsledkov sa bude rovnať súčtu pravdepodobností každého z týchto výsledkov.
Predpokladajme, že existuje krabica s 2 modrými, 3 červenými a 5 žltými balónikmi. V krabici je spolu 10 položiek. Aké je percento pravdivosti tvrdenia, že vytiahneme modrú alebo červenú guľu? Bude sa rovnať 2/10 + 3/10, t. j. päťdesiat percent.
V prípade nekompatibilných udalostí sa vzorec skomplikuje, pretože sa pridáva ďalší výraz. Vrátime sa k tomu v jednom odseku, po zvážení ešte jedného vzorca.
Násobenie
Sčítanie a násobenie pravdepodobnosti nezávislých udalostí sa používa v rôznych prípadoch. Ak sme podľa podmienok experimentu spokojní s jedným z dvoch možných výsledkov, vypočítame súčet; ak chceme získať dva určité výsledky jeden po druhom, uchýlime sa k použitiu iného vzorca.
Vráťme sa k príkladu z predchádzajúcej časti, chceme najprv nakresliť modrú guľu a potom červenú. Prvé číslo, ktoré poznáme, sú 2/10. Čo sa stane ďalej? Zostáva 9 loptičiek, stále rovnaký počet červených - tri kusy. Podľa výpočtov dostanete 3/9 alebo 1/3. Ale čo teraz robiť s dvoma číslami? Správna odpoveď je vynásobiť a získať 2/30.
Spoločné udalosti
Teraz môžeme prehodnotiť vzorec súčtu pre spoločné udalosti. Prečo odbočujeme od témy? Naučiť sa, ako sa násobia pravdepodobnosti. Teraz sa vám tieto znalosti budú hodiť.
Už vieme, aké budú prvé dva výrazy (rovnaké ako v predchádzajúcom vzorci na sčítanie), teraz musíme odčítaťsúčin pravdepodobností, ktorý sme sa práve naučili počítať. Pre prehľadnosť napíšeme vzorec: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Ukazuje sa, že v jednom výraze sa používa sčítanie aj násobenie pravdepodobností.
Povedzme, že na získanie úveru musíme vyriešiť jeden z týchto dvoch problémov. Prvý môžeme vyriešiť s pravdepodobnosťou 0,3 a druhý - 0,6 Riešenie: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Upozorňujeme, že len sčítanie čísel tu nebude stačiť.
Podmienená pravdepodobnosť
Nakoniec je tu koncept podmienenej pravdepodobnosti, ktorého argumenty sú uvedené v zátvorkách a oddelené zvislou čiarou. Záznam P(A|B) znie takto: „pravdepodobnosť udalosti A danej udalosti B“.
Pozrime sa na príklad: priateľ vám dá nejaké zariadenie, nech je to telefón. Môže byť zlomený (20%) alebo dobrý (80%). Akékoľvek zariadenie, ktoré sa vám dostane do rúk, ste schopní opraviť s pravdepodobnosťou 0,4 alebo to nedokážete (0,6). Nakoniec, ak je zariadenie v prevádzkovom stave, môžete osloviť správnu osobu s pravdepodobnosťou 0,7.
Je ľahké vidieť, ako v tomto prípade funguje podmienená pravdepodobnosť: nemôžete sa spojiť s osobou, ak je telefón pokazený, a ak je dobrý, nemusíte ho opravovať. Ak teda chcete získať nejaké výsledky na „druhej úrovni“, musíte vedieť, aká udalosť bola vykonaná na prvej úrovni.
Výpočty
Uvažujme príklady riešenia problémov sčítania a násobenia pravdepodobností pomocou údajov z predchádzajúceho odseku.
Najprv nájdime pravdepodobnosť, že vyopraviť zariadenie, ktoré ste dostali. Aby ste to dosiahli, po prvé, musí byť chybný a po druhé, musíte sa vyrovnať s opravou. Toto je typický problém násobenia: dostaneme 0,20,4=0,08.
Aká je pravdepodobnosť, že sa okamžite dostanete k správnej osobe? Jednoduchšie ako jednoduché: 0,80,7=0,56. V tomto prípade ste zistili, že telefón funguje a úspešne ste uskutočnili hovor.
Nakoniec zvážte tento scenár: dostali ste pokazený telefón, opravili ste ho, potom vytočili číslo a osoba na opačnom konci odpovedala na telefón. Tu sa už vyžaduje násobenie troch zložiek: 0, 20, 40, 7=0, 056.
A čo ak máte dva nefunkčné telefóny naraz? Aká je pravdepodobnosť, že opravíte aspoň jeden z nich? Ide o problém sčítania a násobenia pravdepodobností, keďže sa používajú spoločné udalosti. Riešenie: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Používanie opatrne
Ako bolo spomenuté na začiatku článku, použitie teórie pravdepodobnosti by malo byť premyslené a vedomé.
Čím väčšia je séria experimentov, tým viac sa teoreticky predpokladaná hodnota približuje k praktickej. Napríklad si hodíme mincou. Teoreticky, keď vieme o existencii vzorcov na sčítanie a násobenie pravdepodobností, môžeme predpovedať, koľkokrát vypadnú hlavy a chvosty, ak experiment vykonáme 10-krát. Urobili sme experiment aZhodou okolností bol pomer vypadnutých strán 3 ku 7. Ak však vykonáte sériu 100, 1 000 alebo viac pokusov, ukáže sa, že graf rozdelenia sa čoraz viac približuje k teoretickému: 44 ku 56, 482 ku 518 a tak ďalej.
Teraz si predstavte, že tento experiment sa nerobí s mincou, ale s výrobou nejakej novej chemickej látky, ktorej pravdepodobnosť nepoznáme. Uskutočnili by sme 10 experimentov a ak by sme nedosiahli úspešný výsledok, mohli by sme zovšeobecniť: „látku nie je možné získať“. Ale ktovie, keby sme to urobili na jedenásty pokus, dosiahli by sme cieľ alebo nie?
Ak teda idete do neznáma, nepreskúmanej sféry, teória pravdepodobnosti nemusí platiť. Každý nasledujúci pokus v tomto prípade môže byť úspešný a zovšeobecnenia ako „X neexistuje“alebo „X je nemožné“budú predčasné.
Záverečné slovo
Pozreli sme sa teda na dva typy sčítania, násobenia a podmienenej pravdepodobnosti. Pri ďalšom štúdiu tejto oblasti je potrebné naučiť sa rozlišovať situácie, kedy sa používa každý konkrétny vzorec. Okrem toho musíte pochopiť, či sú pravdepodobnostné metódy všeobecne použiteľné na riešenie vášho problému.
Ak cvičíte, po chvíli začnete vykonávať všetky požadované operácie výlučne vo svojej mysli. Pre tých, ktorí majú radi kartové hry, možno túto zručnosť zvážiťmimoriadne cenné – výrazne zvýšite svoje šance na výhru, už len výpočtom pravdepodobnosti vypadnutia konkrétnej karty alebo farby. Nadobudnuté vedomosti však možno ľahko aplikovať v iných oblastiach činnosti.
