Je nemožné tvrdiť, že ovládate matematiku, ak neviete, ako kresliť grafy, kresliť nerovnosti na súradnicovej čiare a pracovať so súradnicovými osami. Vizuálna zložka vo vede je životne dôležitá, pretože bez vizuálnych príkladov vo vzorcoch a výpočtoch môžete byť niekedy veľmi zmätení. V tomto článku uvidíme, ako pracovať so súradnicovými osami a naučíme sa vytvárať jednoduché grafy funkcií.
Aplikácia
Súradnicová čiara je základom najjednoduchších typov grafov, s ktorými sa študent stretáva na svojej vzdelávacej ceste. Používa sa takmer v každej matematickej téme: pri výpočte rýchlosti a času, premietaní veľkosti objektov a výpočte ich plochy, v trigonometrii pri práci so sínusmi a kosínusmi.
Hlavnou hodnotou takejto priamej linky je viditeľnosť. Pretože matematika je veda, ktorá si vyžaduje vysokú úroveň abstraktného myslenia, grafy pomáhajú pri znázornení objektu v reálnom svete. Ako sa správa? V ktorom bode priestoru budepár sekúnd, minút, hodín? Čo sa o ňom dá povedať v porovnaní s inými objektmi? Aká je jeho rýchlosť v náhodne zvolenom čase? Ako charakterizovať jeho pohyb?
A o rýchlosti hovoríme z nejakého dôvodu – často sa zobrazuje pomocou funkčných grafov. A dokážu zobraziť aj zmeny teploty či tlaku vo vnútri objektu, jeho veľkosť, orientáciu voči horizontu. Preto je budovanie súradnicovej čiary často potrebné aj vo fyzike.
Jednorozmerný graf
Existuje koncept multidimenzionality. V jednorozmernom priestore stačí na určenie polohy bodu iba jedno číslo. To je presne prípad použitia súradnicovej čiary. Ak je priestor dvojrozmerný, potom sú potrebné dve čísla. Grafy tohto typu sa používajú oveľa častejšie a určite sa nad nimi v článku trochu neskôr zamyslíme.
Čo možno vidieť pomocou bodov na osi, ak existuje iba jedna os? Môžete vidieť veľkosť objektu, jeho polohu v priestore vzhľadom na nejakú "nulu", t.j. bod vybraný ako referenčný bod.
Zmena parametrov v priebehu času nebude viditeľná, pretože všetky namerané hodnoty budú zobrazené pre jeden konkrétny okamih. Niekde však začať treba! Tak začnime.
Ako zostaviť súradnicovú os
Najprv musíte nakresliť vodorovnú čiaru – to bude naša os. Na pravej strane ho „zaostrite“tak, aby vyzeral ako šíp. Naznačíme teda smer, ktorým budú čísla smerovaťzvýšiť. V smere nadol šípka zvyčajne nie je umiestnená. Tradične os smeruje doprava, takže sa budeme riadiť týmto pravidlom.
Nastavme značku nuly, ktorá zobrazí pôvod súradníc. Toto je práve miesto, z ktorého sa odpočítava, či už ide o veľkosť, hmotnosť, rýchlosť alebo čokoľvek iné. Okrem nuly musíme nevyhnutne určiť aj takzvanú deliacu cenu, teda zaviesť jednotkovú normu, podľa ktorej budeme na osi vykresľovať určité veličiny. Toto je potrebné urobiť, aby ste mohli nájsť dĺžku segmentu na súradnicovej čiare.
V rovnakej vzdialenosti od seba umiestnite na čiaru bodky alebo „zárezy“a pod ne napíšte 1, 2, 3 atď. A teraz je všetko pripravené. Ale s výsledným rozvrhom sa stále musíte naučiť pracovať.
Typy bodov na súradnicovej čiare
Už pri prvom pohľade na nákresy navrhnuté v učebniciach je jasné: body na osi môžu byť vyplnené alebo nevyplnené. Myslíte si, že je to náhoda? Vôbec nie! "Plná" bodka sa používa pre neprísnu nerovnosť - nerovnosť, ktorá sa číta ako "väčšia alebo rovná". Ak potrebujeme striktne obmedziť interval (napríklad „x“môže nadobúdať hodnoty od nuly do jedna, ale nezahŕňa ho), použijeme „dutý“bod, teda v skutočnosti malý kruh. na osi. Treba poznamenať, že študenti nemajú veľmi radi prísne nerovnosti, pretože sa s nimi ťažšie pracuje.
V závislosti od toho, aké body mátepoužiť na grafe, budú sa volať aj zostavené intervaly. Ak nerovnosť na oboch stranách nie je prísna, dostaneme segment. Ak sa na jednej strane ukáže, že je „otvorený“, bude sa to nazývať polovičný interval. Nakoniec, ak je časť priamky ohraničená na oboch stranách dutými bodmi, bude sa nazývať interval.
Lietadlo
Pri konštrukcii dvoch priamych čiar na súradnicovej rovine už môžeme uvažovať o grafoch funkcií. Povedzme, že vodorovná čiara je časová os a vertikálna čiara je vzdialenosť. A teraz sme schopní určiť, akú vzdialenosť objekt prekoná za minútu alebo hodinu cesty. Práca s rovinou teda umožňuje sledovať zmenu stavu objektu. Je to oveľa zaujímavejšie ako skúmanie statického stavu.
Najjednoduchším grafom na takejto rovine je priamka, odráža funkciu Y(X)=aX + b. Ohýba sa čiara? To znamená, že objekt počas štúdie mení svoje charakteristiky.
Predstavte si, že stojíte na streche budovy a vo svojej natiahnutej ruke držíte kameň. Keď ho pustíte, zletí dole a začne sa pohybovať od nulovej rýchlosti. Ale za sekundu prekoná 36 kilometrov za hodinu. Kameň sa bude ďalej zrýchľovať a aby ste mohli zakresliť jeho pohyb do mapy, budete musieť zmerať jeho rýchlosť v niekoľkých časových bodoch nastavením bodov na osi na príslušné miesta.
Značky na horizontálnej súradnicovej čiare sú štandardne pomenované X1, X2, X3 a na zvislej - Y1, Y2, Y3. premietanieich do roviny a nájdením priesečníkov nájdeme fragmenty výsledného vzoru. Keď ich spojíme jednou čiarou, dostaneme graf funkcie. V prípade padajúceho kameňa bude kvadratická funkcia vyzerať takto: Y(X)=aXX + bX + c.
Scale
Samozrejme, nie je potrebné uvádzať celočíselné hodnoty vedľa delenia priamkou. Ak uvažujete o pohybe slimáka, ktorý sa plazí rýchlosťou 0,03 metra za minútu, nastavte ako hodnoty na súradnicovom zlomku. V tomto prípade nastavte interval stupnice na 0,01 metra.
Je obzvlášť vhodné vykonávať takéto kresby v notebooku v klietke - tu môžete okamžite zistiť, či je na hárku dostatok miesta pre váš graf, ak prekročíte okraje. Nie je ťažké vypočítať vašu silu, pretože šírka bunky v takomto notebooku je 0,5 centimetra. Trvalo - zmenšil obrázok. Zmeny v mierke grafu nespôsobia stratu alebo zmenu vlastností.
Súradnice bodu a segmentu
Keď je na hodine zadaná matematická úloha, môže obsahovať parametre rôznych geometrických tvarov, a to ako v podobe dĺžky strán, obvodu, plochy, tak aj vo forme súradníc. V tomto prípade možno budete musieť vytvoriť tvar a získať s ním spojené údaje. Vzniká otázka: ako nájsť požadované informácie na súradnicovej línii? A ako vytvoriť tvar?
Hovoríme napríklad o bode. Potom sa v podmienke úlohy objaví veľké písmeno a v zátvorkách sa objaví niekoľko čísel, najčastejšie dve (to znamená, že budeme počítať v dvojrozmernom priestore). Ak sú v zátvorkách tri čísla oddelené bodkočiarkou alebo čiarkou, ide o trojrozmerný priestor. Každá z hodnôt je súradnica na zodpovedajúcej osi: najprv pozdĺž horizontály (X), potom pozdĺž vertikálnej (Y).
Pamätáš si, ako sa kreslí segment? Preniesol si to na geometriu. Ak existujú dva body, potom je možné medzi nimi nakresliť čiaru. Ich súradnice sú uvedené v zátvorkách, ak sa v probléme objaví segment. Napríklad: A(15, 13) - B(1, 4). Ak chcete vytvoriť takúto čiaru, musíte nájsť a označiť body na rovine súradníc a potom ich spojiť. To je ono!
A ako viete, pomocou segmentov sa dajú nakresliť akékoľvek polygóny. Problém vyriešený.
Výpočty
Povedzme, že existuje nejaký objekt, ktorého poloha pozdĺž osi X je charakterizovaná dvoma číslami: začína v bode so súradnicou (-3) a končí na (+2). Ak chceme poznať dĺžku tohto objektu, musíme odpočítať menšie číslo od väčšieho čísla. Všimnite si, že záporné číslo absorbuje znamienko odčítania, pretože „mínus krát mínus sa rovná plus“. Takže pridáme (2+3) a dostaneme 5. Toto je požadovaný výsledok.
Ďalší príklad: dostaneme koncový bod a dĺžku objektu, ale nie počiatočný bod (a musíme ho nájsť). Nech je poloha známeho bodu (6) a veľkosť skúmaného objektu je (4). Odčítaním dĺžky od výslednej súradnice dostaneme odpoveď. Celkom: (6 – 4)=2.
Záporné čísla
V praxi sa často vyžaduje pracovať so zápornými hodnotami. V tomto prípade budemeposuňte sa doľava pozdĺž súradnicovej osi. Napríklad predmet vysoký 3 centimetre pláva vo vode. Jedna tretina je ponorená v kvapaline, dve tretiny sú vo vzduchu. Potom, keď za os vyberieme vodnú hladinu, získame pomocou najjednoduchších aritmetických výpočtov dve čísla: horný bod objektu má súradnicu (+2) a spodný bod - (-1) centimeter.
Je ľahké vidieť, že v prípade roviny máme štyri štvrtiny súradnicovej čiary. Každý z nich má svoje vlastné číslo. V prvej (pravej hornej) časti budú body s dvoma kladnými súradnicami, v druhej - vľavo hore - hodnoty na osi X budú záporné a pozdĺž osi Y - pozitívne. Tretí a štvrtý sa počítajú ďalej proti smeru hodinových ručičiek.
Dôležitá vlastnosť
Viete, že čiara môže byť vyjadrená ako nekonečný počet bodov. Môžeme si prezerať ľubovoľný počet hodnôt v každom smere osi tak pozorne, ako sa nám páči, ale s opakujúcimi sa nestretneme. Zdá sa to naivné a pochopiteľné, ale toto tvrdenie vyplýva z dôležitého faktu: každé číslo zodpovedá jednému a iba jednému bodu na súradnici.
Záver
Pamätajte, že všetky osi, figúry a, ak je to možné, grafika musia byť postavené na pravítku. Jednotky merania nevymyslel človek náhodou - ak sa pri kreslení pomýlite, riskujete, že uvidíte iný obrázok, ako mal byť.
Pri kreslení a výpočtoch buďte opatrní a presní. Ako každá veda študovaná v škole, aj matematika miluje presnosť. Dajte si trochu úsilia a dobrehodnotenia na seba nenechajú dlho čakať.
