Nohy a prepona sú strany pravouhlého trojuholníka. Prvým sú segmenty, ktoré susedia s pravým uhlom, a prepona je najdlhšia časť obrázku a je oproti uhlu 90o. Pytagorovský trojuholník je trojuholník, ktorého strany sa rovnajú prirodzeným číslam; ich dĺžky sa v tomto prípade nazývajú „pytagorejská trojica“.
egyptský trojuholník
Aby sa súčasná generácia naučila geometriu v podobe, v akej sa teraz vyučuje na škole, vyvíja sa už niekoľko storočí. Základným bodom je Pytagorova veta. Strany pravouhlého trojuholníka (obrázok je známy po celom svete) sú 3, 4, 5.
Málokto nepozná vetu „Pytagorejské nohavice sú si vo všetkých smeroch rovné“. Veta však v skutočnosti znie takto: c2 (druhá mocnina prepony)=a2+b2(súčet štvorcových nôh).
Medzi matematikmi sa trojuholník so stranami 3, 4, 5 (cm, m atď.) nazýva „egyptský“. Je zaujímavé, že polomer kruhu, ktorý je vpísaný na obrázku, sa rovná jednej. Názov vznikol okolo 5. storočia pred Kristom, keď grécki filozofi cestovali do Egypta.
Pri stavbe pyramíd použili architekti a geodeti pomer 3:4:5. Takéto štruktúry sa ukázali byť proporcionálne, príjemné na pohľad a priestranné a tiež sa zriedka zrútili.
Na vytvorenie pravého uhla použili stavitelia lano, na ktorom bolo uviazaných 12 uzlov. V tomto prípade sa pravdepodobnosť zostrojenia pravouhlého trojuholníka zvýšila na 95 %.
Znaky rovnakých čísel
- Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku a veľká strana, ktoré sa rovnajú rovnakým prvkom v druhom trojuholníku, je nesporným znakom rovnosti čísel. Ak vezmeme do úvahy súčet uhlov, je ľahké dokázať, že aj druhé ostré uhly sú rovnaké. Trojuholníky sú teda v druhom prvku identické.
- Keď sú dve figúry na seba navrstvené, otočte ich tak, aby z nich vznikol jeden rovnoramenný trojuholník. Podľa jeho vlastnosti sú strany, alebo skôr prepony rovnaké, rovnako ako uhly v základni, čo znamená, že tieto čísla sú rovnaké.
Podľa prvého znamienka je veľmi ľahké dokázať, že trojuholníky sú skutočne rovnaké, hlavné je, že dve menšie strany (t.j. nohy) sú si navzájom rovné.
Trojuholníky budú rovnaké vo funkcii II, ktorej podstatou je rovnosť nohy a ostrý uhol.
Vlastnosti trojuholníka s pravým uhlom
Výška znížená z pravého uhla rozdeľuje postavu na dve rovnaké časti.
Strany pravouhlého trojuholníka a jeho stred sa dajú ľahko rozpoznať podľa pravidla: stred, ktorý je znížený k prepone, sa rovná jeho polovici. Plochu figúry možno nájsť ako pomocou Heronovho vzorca, tak aj tvrdením, že sa rovná polovici súčinu nôh.
V pravouhlom trojuholníku vlastnosti uhlov 30o, 45o a 60o.
- Pri uhle 30o nezabúdajte, že opačná noha sa bude rovnať 1/2 najväčšej strany.
- Ak je uhol 45o, potom druhý ostrý uhol je tiež 45o. To naznačuje, že trojuholník je rovnoramenný a jeho nohy sú rovnaké.
- Vlastnosťou uhla 60o je, že tretí uhol má mieru 30o.
Oblasť sa dá ľahko zistiť jedným z troch vzorcov:
- cez výšku a stranu, na ktorú padá;
- podľa Heronovho vzorca;
- na stranách a uhle medzi nimi.
Strany pravouhlého trojuholníka, alebo skôr nohy, sa zbiehajú s dvoma výškami. Aby sme našli tretí, je potrebné zvážiť výsledný trojuholník a potom pomocou Pytagorovej vety vypočítať požadovanú dĺžku. Okrem tohto vzorca existuje aj pomer dvojnásobku plochy a dĺžky prepony. Najbežnejší výraz medzi študentmi je prvý, pretože vyžaduje menej výpočtov.
Vety aplikované na obdĺžniktrojuholník
Geometria pravouhlého trojuholníka zahŕňa použitie viet ako:
- Pytagorova veta. Jeho podstata spočíva v tom, že štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh. V euklidovskej geometrii je tento vzťah kľúčový. Vzorec môžete použiť, ak je daný trojuholník, napríklad SNH. SN je prepona a treba ju nájsť. Potom SN2=NH2+HS2.
- Kosínusová veta. Zovšeobecňuje Pytagorovu vetu: g2=f2+s2-2fscos uhla medzi nimi. Napríklad, ak je daný trojuholník DOB. Noha DB a prepona DO sú známe, treba nájsť OB. Potom má vzorec tento tvar: OB2=DB2+DO2-2DBDO cos uhol D. Dôsledky sú tri: uhol trojuholníka bude ostrý, ak sa druhá mocnina dĺžky tretej odpočíta od súčtu druhých mocnín oboch strán, výsledok musí byť menší ako nula. Uhol je tupý, ak je tento výraz väčší ako nula. Uhol je pravý uhol, keď sa rovná nule.
- Sínusová veta. Ukazuje vzťah strán k opačným uhlom. Inými slovami, toto je pomer dĺžok strán k sínusom opačných uhlov. V trojuholníku HFB, kde prepona je HF, bude platiť: HF/sin uhla B=FB/sin uhla H=HB/sin uhla F.
