Bertrandov paradox je problémom klasickej interpretácie teórie pravdepodobnosti. Joseph to uviedol vo svojom diele Calcul des probabilités (1889) ako príklad toho, že pravdepodobnosti nemožno dobre definovať, ak mechanizmus alebo metóda vytvára náhodnú premennú.
Problémové vyhlásenie
Bertrandov paradox je nasledovný.
Najprv zvážte rovnostranný trojuholník vpísaný do kruhu. V tomto prípade je priemer zvolený náhodne. Aká je pravdepodobnosť, že je dlhší ako strana trojuholníka?
Bertrand uviedol tri argumenty, z ktorých všetky sa zdajú byť správne, no dávajú iné výsledky.
Metóda náhodného koncového bodu
Musíte vybrať dve miesta na kruhu a nakresliť oblúk, ktorý ich spája. Na výpočet sa berie do úvahy Bertrandov pravdepodobnostný paradox. Je potrebné si predstaviť, že trojuholník je otočený tak, že jeho vrchol sa zhoduje s jedným z koncových bodov tetivy. Oplatí sa zaplatiťVšimnite si, že ak je druhá časť na oblúku medzi dvoma miestami, kruh je dlhší ako strana trojuholníka. Dĺžka oblúka je jedna tretina kruhu, takže pravdepodobnosť, že náhodný akord bude dlhší, je 1/3.
Spôsob výberu
Je potrebné vybrať polomer kruhu a bod na ňom. Potom musíte cez toto miesto postaviť tetivu kolmú na priemer. Na výpočet uvažovaného paradoxu Bertranda teórie pravdepodobnosti si treba predstaviť, že trojuholník je otočený tak, že strana je kolmá na polomer. Tetiva je dlhšia ako noha, ak je vybraný bod bližšie k stredu kruhu. A v tomto prípade strana trojuholníka pretína polomer. Preto je pravdepodobnosť, že tetiva je dlhšia ako strana vpísanej figúry, 1/2.
Náhodné akordy
Metóda stredného bodu. Je potrebné vybrať miesto na kruhu a vytvoriť tetivu s daným stredom. Os je dlhšia ako okraj vpísaného trojuholníka, ak je zvolené miesto v sústrednej kružnici s polomerom 1/2. Plocha menšieho kruhu je jedna štvrtina väčšieho obrázku. Preto je pravdepodobnosť náhodného akordu dlhšia ako strana vpísaného trojuholníka a rovná sa 1/4.
Ako je uvedené vyššie, metódy výberu sa líšia v hmotnosti, ktorú dávajú určitým tetivám, čo sú priemery. V metóde 1 možno každú tetivu vybrať presne jedným spôsobom, či už ide o priemer alebo nie.
V metóde 2 možno každú priamku vybrať dvoma spôsobmi. Zatiaľ čo akýkoľvek iný akord bude vybranýlen jedna z možností.
V metóde 3 má každý výber stredu jeden parameter. Okrem stredu kruhu, ktorý je stredom všetkých priemerov. Týmto problémom sa dá vyhnúť „usporiadaním“všetkých otázok tak, aby sa vylúčili parametre bez ovplyvnenia výsledných pravdepodobností.
Výber metód je možné zobraziť aj nasledovne. Tetiva, ktorá nie je priemerom, je jednoznačne identifikovaná svojim stredom. Každá z troch vyššie uvedených selekčných metód vytvára inú distribúciu stredu. A možnosti 1 a 2 poskytujú dve rôzne nerovnomerné oddiely, zatiaľ čo metóda 3 poskytuje rovnomerné rozdelenie.
Klasický paradox riešenia Bertrandovho problému závisí od metódy, ktorou je akord vybraný „náhodne“. Ukazuje sa, že ak je vopred špecifikovaná metóda náhodného výberu, problém má presne definované riešenie. Je to preto, že každá jednotlivá metóda má svoje vlastné rozloženie akordov. Tri rozhodnutia, ktoré ukázal Bertrand, zodpovedajú rôznym spôsobom výberu a pri absencii ďalších informácií nie je dôvod uprednostňovať jeden pred druhým. Uvedený problém teda nemá jediné riešenie.
Príkladom, ako urobiť všeobecnú odpoveď jedinečnou, je určiť, že koncové body tetivy sú rovnomerne rozmiestnené medzi 0 a c, kde c je obvod kruhu. Toto rozdelenie je rovnaké ako v prvom Bertrandovom argumente a výsledná jedinečná pravdepodobnosť bude 1/3.
Tento paradox Bertranda Russella a ďalšie unikáty klasikyinterpretácie možností odôvodňujú prísnejšie formulácie. Vrátane frekvencie pravdepodobnosti a subjektivistickej bayesovskej teórie.
Čo je základom Bertrandovho paradoxu
Vo svojom článku z roku 1973 „The Well-posed Problem“Edwin Jaynes ponúkol svoje jedinečné riešenie. Poznamenal, že Bertrandov paradox je založený na premise založenej na princípe "maximálnej nevedomosti". To znamená, že by ste nemali používať žiadne informácie, ktoré nie sú uvedené vo vyhlásení o probléme. Jaynes poukázal na to, že Bertrandov problém neurčuje polohu ani veľkosť kruhu. A tvrdil, že preto každé definitívne a objektívne rozhodnutie musí byť „ľahostajné“k veľkosti a polohe.
Pre ilustráciu
Za predpokladu, že sú všetky akordy umiestnené náhodne na 2 cm kruhu, teraz naň musíte z diaľky hádzať slamky.
Potom musíte vziať ďalší kruh s menším priemerom (napríklad 1 centimeter), ktorý sa hodí na väčšiu postavu. Potom by rozloženie akordov na tomto menšom kruhu malo byť rovnaké ako na maximálnom kruhu. Ak sa aj druhá postava pohybuje v prvej, pravdepodobnosť by sa v zásade meniť nemala. Je veľmi ľahké vidieť, že pre metódu 3 nastane nasledujúca zmena: rozloženie akordov na malom červenom kruhu bude kvalitatívne odlišné od rozloženia na veľkom kruhu.
To isté platí pre metódu 1. Aj keď je to ťažšie vidieť v grafickom zobrazení.
Metóda 2 je jedináčo sa ukáže ako škálový aj prekladový invariant.
Metóda číslo 3 sa zdá byť jednoducho rozšíriteľná.
Metóda 1 nie je ani jedno ani druhé.
Avšak Janes nepoužila invarianty ľahko na prijatie alebo odmietnutie týchto metód. To by ponechalo možnosť, že existuje iná nepopísaná metóda, ktorá by vyhovovala jej aspektom primeraného významu. Jaynes aplikoval integrálne rovnice opisujúce invariancie. Na priame určenie rozdelenia pravdepodobnosti. V jeho probléme majú integrálne rovnice skutočne jedinečné riešenie, a to je presne to, čo sa vyššie nazvalo druhou metódou náhodného polomeru.
V článku z roku 2015 Alon Drory tvrdí, že Jaynesov princíp môže priniesť aj dve ďalšie Bertrandove riešenia. Autor ubezpečuje, že matematická implementácia vyššie uvedených vlastností invariantnosti nie je jedinečná, ale závisí od základného postupu náhodného výberu, ktorý sa človek rozhodne použiť. Ukazuje, že každé z troch Bertrandových riešení možno získať pomocou rotačnej, škálovacej a translačnej invariantnosti. Zároveň dochádza k záveru, že Jaynesov princíp podlieha výkladu rovnako ako samotný spôsob ľahostajnosti.
Fyzikálne experimenty
Metóda 2 je jediné riešenie, ktoré spĺňa transformačné invarianty, ktoré sú prítomné v špecifických fyziologických konceptoch, ako je štatistická mechanika a štruktúra plynu. Aj v navrhovanomJanesov experiment hádzania slamiek z malého kruhu.
Dajú sa však navrhnúť aj iné praktické experimenty, ktoré poskytnú odpovede podľa iných metód. Napríklad, ak chcete dospieť k riešeniu prvej metódy náhodného koncového bodu, môžete pripojiť počítadlo do stredu oblasti. A nech výsledky dvoch nezávislých rotácií zvýraznia konečné miesta akordu. Aby sme dospeli k riešeniu tretieho spôsobu, môžeme kruh pokryť napríklad melasou a označiť prvý bod, na ktorý mucha pristane, ako strednú tetivu. Niekoľko kontemplátorov vytvorilo štúdie na vyvodenie rôznych záverov a empiricky potvrdili výsledky.
Najnovšie udalosti
Vo svojom článku z roku 2007 „The Bertrand Paradox and the Infference Principle“Nicholas Shackel tvrdí, že o viac ako storočie neskôr tento problém stále zostáva nevyriešený. Ďalej vyvracia princíp ľahostajnosti. Okrem toho Darrell R. Robottom vo svojom dokumente z roku 2013 „The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical“ukazuje, že všetky navrhované rozhodnutia nemajú nič spoločné s jeho vlastnou otázkou. Ukázalo sa teda, že tento paradox by bolo oveľa ťažšie vyriešiť, ako sa doteraz predpokladalo.
Shackel zdôrazňuje, že doteraz sa mnohí vedci a ľudia ďaleko od vedy pokúšali vyriešiť Bertrandov paradox. Stále sa to dá prekonať pomocou dvoch rôznych prístupov.
Tie, v ktorých sa bral do úvahy rozdiel medzi neekvivalentnými problémami a problémami, v ktorých sa problém vždy považoval za správny. Shackel cituje Louisa vo svojich kniháchMarinoff (ako typický predstaviteľ stratégie diferenciácie) a Edwin Jaynes (ako autor dobre premyslenej teórie).
Vo svojej nedávnej práci Solving a Complex Problem však Diederik Aerts a Massimiliano Sassoli de Bianchi veria, že na vyriešenie Bertrandovho paradoxu je potrebné hľadať premisy v zmiešanej stratégii. Podľa týchto autorov je prvým krokom vyriešenie problému jasným uvedením povahy entity, ktorá je randomizovaná. A až po tomto vykonaní možno akýkoľvek problém považovať za správny. To si myslí Janes.
Takže na vyriešenie sa dá použiť princíp maximálnej nevedomosti. Za týmto účelom, a keďže problém nešpecifikuje, ako by sa mal akord vybrať, princíp sa neuplatňuje na úrovni rôznych možností, ale na oveľa hlbšej úrovni.
Výber dielov
Táto časť problému vyžaduje výpočet meta-priemeru zo všetkých možných spôsobov, ktorý autori nazývajú univerzálny priemer. Na riešenie tohto problému používajú metódu diskretizácie. Inšpirovaný tým, čo sa robí pri definovaní zákona pravdepodobnosti vo Wienerových procesoch. Ich výsledok je v súlade s numerickým dôsledkom Jaynesa, hoci ich dobre položený problém sa líši od problému pôvodného autora.
V ekonómii a obchode popisuje Bertrandov paradox, pomenovaný po svojom tvorcovi Josephovi Bertrandovi, situáciu, v ktorej dvaja hráči (firmy) dosiahnu Nashovu rovnováhu. Keď obe firmy stanovia cenu rovnajúcu sa hraničným nákladom(MS).
Bertrandov paradox je založený na premise. Spočíva v tom, že v modeloch, ako je Cournotova súťaž, je nárast počtu firiem spojený s konvergenciou cien s hraničnými nákladmi. V týchto alternatívnych modeloch je Bertrandov paradox v oligopole malého počtu firiem, ktoré dosahujú kladné zisky účtovaním cien nad náklady.
Na začiatok stojí za to predpokladať, že dve firmy A a B predávajú homogénny produkt, pričom každá z nich má rovnaké výrobné a distribučné náklady. Z toho vyplýva, že kupujúci si vyberajú produkt výlučne na základe ceny. To znamená, že dopyt je nekonečne cenovo elastický. Ani A, ani B nenastavia vyššiu cenu ako ostatní, pretože by to spôsobilo kolaps celého Bertrandovho paradoxu. Jeden z účastníkov trhu ustúpi svojmu konkurentovi. Ak stanovia rovnakú cenu, spoločnosti si rozdelia zisky.
Na druhej strane, ak ktorákoľvek firma čo i len mierne zníži cenu, získa celý trh a výrazne vyšší výnos. Keďže A a B to vedia, budú sa snažiť podliezť konkurenciu, kým sa produkt nepredá s nulovým ekonomickým ziskom.
Nedávna práca ukázala, že v Bertrandovom paradoxe zmiešanej stratégie môže existovať dodatočná rovnováha s pozitívnymi ekonomickými ziskami za predpokladu, že monopolná suma je nekonečná. V prípade konečného zisku sa ukázalo, že pozitívny nárast v rámci cenovej konkurencie nie je možný v zmiešaných rovnováhách a dokonca ani vo všeobecnejšom prípadekorelované systémy.
V skutočnosti je Bertrandov paradox v ekonómii v praxi viditeľný len zriedka, pretože skutočné produkty sú takmer vždy odlíšené iným spôsobom ako cenou (napríklad preplatením etikety). Firmy majú limity na svoju schopnosť vyrábať a distribuovať. To je dôvod, prečo majú dve firmy len zriedka rovnaké náklady.
Bertrandov výsledok je paradoxný, pretože ak sa počet firiem zvýši z jednej na dve, cena klesne z monopolnej na konkurenčnú a zostane na rovnakej úrovni ako počet firiem, ktoré sa potom zvýšia. To nie je príliš realistické, pretože v skutočnosti trhy s malým počtom firiem s trhovou silou majú tendenciu účtovať ceny nad hraničné náklady. Empirická analýza ukazuje, že väčšina odvetví s dvoma konkurentmi vytvára kladné zisky.
V modernom svete sa vedci snažia nájsť riešenia paradoxu, ktoré sú viac v súlade s Cournotovým modelom konkurencie. Kde dve firmy na trhu dosahujú pozitívne zisky, ktoré sú niekde medzi dokonale konkurenčnou a monopolnou úrovňou.
Niektoré dôvody, prečo Bertrandov paradox priamo nesúvisí s ekonómiou:
- Obmedzenia kapacity. Niekedy firmy nemajú dostatočnú kapacitu na uspokojenie všetkého dopytu. Tento bod ako prvý nastolil Francis Edgeworth a dal vznik modelu Bertrand-Edgeworth.
- Celé ceny. Ceny nad MC sú vylúčené, pretože jedna firma môže náhodne podhodnotiť druhú.malé množstvo. Ak sú ceny diskrétne (napríklad musia mať celočíselné hodnoty), potom jedna firma musí podhodnotiť druhú aspoň o jeden rubeľ. To znamená, že hodnota drobnej meny je nad MC. Ak iná firma nastaví cenu vyššiu, iná firma ju môže znížiť a podmaniť si celý trh, práve v tom spočíva Bertrandov paradox. Neprinesie jej to žiaden zisk. Tento podnik uprednostní zdieľanie predaja v pomere 50/50 s inou firmou a získa čisto kladný príjem.
- Rozlíšenie produktov. Ak sa produkty rôznych firiem navzájom líšia, spotrebitelia nemusia úplne prejsť na produkty s nižšou cenou.
- Dynamická súťaž. Opakovaná interakcia alebo opakovaná cenová konkurencia môže viesť k rovnováhe hodnoty.
- Viac položiek za vyššiu sumu. Vyplýva to z opakovanej interakcie. Ak jedna spoločnosť nastaví cenu o niečo vyššie, stále získa približne rovnaký počet nákupov, ale väčší zisk na položku. Preto druhá spoločnosť zvýši svoju prirážku atď. (Len pri opakovaní, inak ide dynamika opačným smerom).
Oligopoly
Ak sa dve spoločnosti dokážu dohodnúť na cene, je v ich dlhodobom záujme dohodu dodržať: príjmy zo zníženia hodnoty sú menšie ako dvojnásobok príjmov z dodržiavania dohody a trvajú len dovtedy, kým druhá firma nezníži svoje vlastné ceny.
Teóriapravdepodobnosti (ako zvyšok matematiky) je v skutočnosti nedávny vynález. A vývoj nebol hladký. Prvé pokusy o formalizáciu výpočtu pravdepodobnosti urobil markíz de Laplace, ktorý navrhol definovať pojem ako pomer počtu udalostí vedúcich k výsledku.
To, samozrejme, dáva zmysel len vtedy, ak je počet všetkých možných udalostí konečný. A okrem toho, všetky udalosti sú rovnako pravdepodobné.
V tom čase sa teda zdalo, že tieto koncepty nemajú pevný základ. Pokusy rozšíriť definíciu na prípad nekonečného počtu udalostí viedli k ešte väčším ťažkostiam. Bertrandov paradox je jedným z takýchto objavov, ktorý prinútil matematikov obávať sa celého konceptu pravdepodobnosti.
