Inverzné goniometrické funkcie tradične spôsobujú školákom ťažkosti. Schopnosť vypočítať arkus tangens čísla môže byť potrebná v úlohách USE v planimetrii a stereometrii. Ak chcete úspešne vyriešiť rovnicu a problém s parametrom, musíte poznať vlastnosti funkcie arkustangens.
Definícia
Arkustangens čísla x je číslo y, ktorého dotyčnica je x. Toto je matematická definícia.
Funkcia arkustangens je napísaná ako y=arctg x.
Vo všeobecnosti: y=Carctg (kx + a).
Výpočet
Ak chcete pochopiť, ako funguje inverzná goniometrická funkcia arkustangensu, musíte si najprv zapamätať, ako sa určuje hodnota tangensu čísla. Poďme sa na to pozrieť bližšie.
Dotyčnica x je pomer sínusu x ku kosínusu x. Ak je známa aspoň jedna z týchto dvoch veličín, potom modul druhej možno získať zo základnej trigonometrickej identity:
sin2 x + cos2 x=1.
Samozrejme, na odomknutie modulu bude potrebné hodnotenie.
Akje známe samotné číslo a nie jeho trigonometrické charakteristiky, potom je vo väčšine prípadov potrebné približne odhadnúť tangens čísla podľa Bradisovej tabuľky.
Výnimkou sú takzvané štandardné hodnoty.
Sú uvedené v nasledujúcej tabuľke:
Okrem vyššie uvedeného možno za štandardné považovať akékoľvek hodnoty získané z údajov pridaním čísla v tvare ½πк (к - ľubovoľné celé číslo, π=3, 14).
Presne to isté platí pre arkus tangens: približnú hodnotu možno najčastejšie vidieť z tabuľky, no s istotou je známych len niekoľko hodnôt:
V praxi je pri riešení úloh školskej matematiky zvykom uvádzať odpoveď vo forme výrazu obsahujúceho arkustangens a nie jej približný odhad. Napríklad arctg 6, arctg (-¼).
Vykreslenie grafu
Keďže tangens môže nadobúdať akúkoľvek hodnotu, doménou funkcie arkustangens je celá číselná os. Poďme si to vysvetliť podrobnejšie.
Rovnaká dotyčnica zodpovedá nekonečnému počtu argumentov. Napríklad nielen dotyčnica nuly sa rovná nule, ale aj dotyčnica ľubovoľného čísla v tvare π k, kde k je celé číslo. Preto sa matematici dohodli na výbere hodnôt pre arkus tangens z intervalu od -½ π do ½ π. Treba to chápať takto. Rozsah funkcie arkustangens je interval (-½ π; ½ π). Konce medzery nie sú zahrnuté, pretože dotyčnica -½p a ½p neexistujú.
V zadanom intervale je dotyčnica spojitázvyšuje. To znamená, že aj inverzná funkcia arkustangens plynule rastie na celej číselnej osi, ale ohraničená zhora a zdola. Výsledkom je, že má dve horizontálne asymptoty: y=-½ π a y=½ π.
V tomto prípade tg 0=0, ostatné body priesečníka s osou x, okrem (0;0), graf nemôže mať kvôli zvýšeniu.
Ako vyplýva z parity funkcie tangens, arkustangens má podobnú vlastnosť.
Ak chcete zostaviť graf, zoberte niekoľko bodov zo štandardných hodnôt:
Derivácia funkcie y=arctg x v ľubovoľnom bode sa vypočíta podľa vzorca:
Všimnite si, že jeho derivát je všade pozitívny. To je v súlade s predchádzajúcim záverom o nepretržitom zvyšovaní funkcie.
Druhá derivácia arkustangensu zaniká v bode 0, je záporná pre kladné hodnoty argumentu a naopak.
To znamená, že graf funkcie arkustangens má inflexný bod na nule a je smerom dole konvexný na intervale (-∞; 0] a smerom hore konvexný na intervale [0; +∞).
