Sekundy, dotyčnice – toto všetko bolo na hodinách geometrie počuť stokrát. Ale promócie školy sa skončili, roky plynú a všetky tieto vedomosti sú zabudnuté. Na čo treba pamätať?
Essence
Výraz „dotyčnica ku kruhu“pravdepodobne pozná každý. Je však nepravdepodobné, že každý bude schopný rýchlo sformulovať jeho definíciu. Medzitým je dotyčnica taká priamka ležiaca v rovnakej rovine s kružnicou, ktorá ju pretína iba v jednom bode. Môže ich existovať veľké množstvo, ale všetky majú rovnaké vlastnosti, o ktorých sa bude diskutovať nižšie. Ako asi tušíte, bod dotyku je miesto, kde sa kružnica a čiara pretínajú. V každom prípade je to jeden, ale ak ich je viac, bude to sekant.
História objavovania a štúdia
Koncept tangenty sa objavil už v staroveku. Konštrukcia týchto priamok, najprv ku kružnici, a potom k elipsám, parabolám a hyperbolám pomocou pravítka a kružidla, sa uskutočňovala už v počiatočných fázach vývoja geometrie. Samozrejme, história nezachovala meno objaviteľa, aleje zrejmé, že už v tom čase si ľudia celkom dobre uvedomovali vlastnosti dotyčnice ku kružnici.
V modernej dobe záujem o tento fenomén opäť vzrástol - začalo sa nové kolo štúdia tohto konceptu v kombinácii s objavovaním nových kriviek. Galileo teda predstavil koncept cykloidy a Fermat a Descartes k nemu postavili tangentu. Čo sa týka kruhov, zdá sa, že v tejto oblasti nezostali pre starých ľudí žiadne tajomstvá.
Vlastnosti
Polomer nakreslený k priesečníku bude kolmý na čiaru. Toto je
hlavná, ale nie jediná vlastnosť, ktorú má dotyčnica ku kružnici. Ďalšou dôležitou vlastnosťou sú už dve rovné čiary. Takže cez jeden bod ležiaci mimo kruhu možno nakresliť dve dotyčnice, pričom ich segmenty budú rovnaké. Na túto tému existuje ďalšia teoréma, ktorá sa však v rámci štandardného školského kurzu preberá len zriedka, hoci je mimoriadne vhodná na riešenie niektorých problémov. Znie to takto. Z jedného bodu, ktorý sa nachádza mimo kruhu, sa k nemu nakreslí dotyčnica a sečnica. Vznikajú segmenty AB, AC a AD. A je priesečník čiar, B je bod dotyku, C a D sú priesečníky. V tomto prípade bude platiť nasledujúca rovnosť: dĺžka dotyčnice ku kružnici na druhú sa bude rovnať súčinu segmentov AC a AD.
Z vyššie uvedeného vyplýva dôležitý dôsledok. Pre každý bod kruhu môžete postaviť dotyčnicu, ale iba jednu. Dôkaz toho je celkom jednoduchý: teoreticky pustením kolmice z polomeru na ňu zistíme, žetrojuholník nemôže existovať. A to znamená, že dotyčnica je jediná.
Building
Okrem iných problémov v geometrii existuje spravidla špeciálna kategória, nie
milujú žiaci a študenti. Na riešenie úloh z tejto kategórie potrebujete iba kružidlo a pravítko. Toto sú stavebné úlohy. Existujú aj metódy na zostrojenie dotyčnice.
Takže, ak je daný kruh a bod ležiaci mimo jeho hraníc. A cez ne je potrebné nakresliť dotyčnicu. Ako to spraviť? Najprv musíte nakresliť segment medzi stredom kruhu O a daným bodom. Potom ho pomocou kružidla rozdeľte na polovicu. Na to je potrebné nastaviť polomer – o niečo viac ako polovicu vzdialenosti medzi stredom pôvodnej kružnice a daným bodom. Potom musíte postaviť dva pretínajúce sa oblúky. Okrem toho nie je potrebné meniť polomer kompasu a stredom každej časti kruhu bude počiatočný bod a O. Priesečníky oblúkov musia byť spojené, čím sa segment rozdelí na polovicu. Na kompase nastavte polomer rovný tejto vzdialenosti. Potom so stredom v priesečníku nakreslite ďalší kruh. Bude na ňom ležať počiatočný bod aj bod O. V tomto prípade budú ďalšie dva priesečníky s kružnicou uvedenou v úlohe. Budú to kontaktné body pre pôvodne daný bod.
Zaujímavé
Bola to konštrukcia dotyčníc ku kruhu, ktorá viedla k zrodu
diferenciálny počet. Prvá práca na túto tému bolapublikoval slávny nemecký matematik Leibniz. Poskytol možnosť nájsť maximá, minimá a dotyčnice bez ohľadu na zlomkové a iracionálne hodnoty. Teraz sa používa aj na mnohé iné výpočty.
Okrem toho, dotyčnica ku kružnici súvisí s geometrickým významom dotyčnice. Odtiaľ pochádza jeho názov. V preklade z latinčiny znamená tangens "tangens". Tento pojem je teda spojený nielen s geometriou a diferenciálnym počtom, ale aj s trigonometriou.
Dva kruhy
Nie vždy dotyčnica ovplyvňuje iba jeden tvar. Ak je možné do jedného kruhu nakresliť veľké množstvo priamych čiar, tak prečo nie naopak? Môcť. Úloha je však v tomto prípade vážne komplikovaná, pretože dotyčnica dvoch kružníc nemusí prechádzať žiadnymi bodmi a relatívna poloha všetkých týchto útvarov môže byť veľmi
rôzne.
Typy a odrody
Pokiaľ ide o dva kruhy a jednu alebo viac čiar, aj keď je známe, že ide o dotyčnice, nie je hneď jasné, ako sú všetky tieto obrazce navzájom umiestnené. Na základe toho existuje niekoľko odrôd. Takže kruhy môžu mať jeden alebo dva spoločné body alebo ich nemajú vôbec. V prvom prípade sa budú pretínať a v druhom sa budú dotýkať. A tu sú dve odrody. Ak je jeden kruh akoby vložený do druhého, potom sa dotyk nazýva vnútorný, ak nie, potom vonkajší. pochopiť vzájomnéumiestnenie obrazcov je možné nielen na základe výkresu, ale aj informáciou o súčte ich polomerov a vzdialenosti medzi ich stredmi. Ak sú tieto dve množstvá rovnaké, potom sa kruhy dotýkajú. Ak je prvý väčší, pretínajú sa, a ak je menší, nemajú spoločné body.
To isté s rovnými čiarami. Pre akékoľvek dva kruhy, ktoré nemajú spoločné body, môžete
zostrojte štyri dotyčnice. Dve z nich sa budú pretínať medzi postavami, nazývajú sa vnútorné. Pár ďalších je externých.
Ak hovoríme o kruhoch, ktoré majú jeden spoločný bod, potom je úloha značne zjednodušená. Faktom je, že pre akékoľvek vzájomné usporiadanie v tomto prípade budú mať iba jednu tangentu. A prejde bodom ich priesečníka. Takže konštrukcia obtiažnosti nespôsobí.
Ak majú obrazce dva priesečníky, potom pre ne možno zostrojiť priamku, dotýkajúcu sa kružnice, jednej aj druhej, ale iba vonkajšej. Riešenie tohto problému je podobné tomu, o ktorom sa bude diskutovať nižšie.
Riešenie problémov
Vnútorné aj vonkajšie dotyčnice dvoch kružníc nie je také ľahké zostrojiť, aj keď tento problém možno vyriešiť. Faktom je, že sa na to používa pomocná figúrka, takže si túto metódu vymyslite sami
dosť problematické. Takže, dané dva kruhy s rôznymi polomermi a stredmi O1 a O2. Pre nich musíte postaviť dva páry dotyčníc.
V prvom rade blízko stredu väčšiehokruhy je potrebné postaviť pomocné. V tomto prípade musí byť rozdiel medzi polomermi dvoch počiatočných obrazcov stanovený na kompase. Tangenty k pomocnému kruhu sú postavené zo stredu menšieho kruhu. Potom sa od O1 a O2 nakreslia kolmice k týmto čiaram, až kým sa nepretnú s pôvodnými obrazcami. Ako vyplýva z hlavnej vlastnosti dotyčnice, požadované body sa nachádzajú na oboch kružniciach. Problém vyriešený, aspoň jeho prvá časť.
Aby ste mohli zostrojiť interné dotyčnice, budete musieť prakticky vyriešiť
podobná úloha. Opäť je potrebná pomocná figúrka, ale tentoraz sa jej polomer bude rovnať súčtu pôvodných. Tangenty sú k nemu zostrojené zo stredu jednej z daných kružníc. Ďalší priebeh riešenia možno pochopiť z predchádzajúceho príkladu.
Tečnica ku kružnici alebo dokonca dvom alebo viacerým nie je taká náročná úloha. Samozrejme, matematici už dávno prestali riešiť takéto problémy ručne a dôverujú výpočtom špeciálnym programom. Nemyslite si však, že teraz nie je potrebné, aby ste to dokázali sami, pretože na správne formulovanie úlohy pre počítač musíte urobiť a pochopiť veľa. Žiaľ, existujú obavy, že po definitívnom prechode na testovaciu formu ovládania vedomostí budú konštrukčné úlohy spôsobovať žiakom čoraz väčšie ťažkosti.
Pokiaľ ide o nájdenie spoločných dotyčníc pre viacero kruhov, nie je to vždy možné, aj keď ležia v rovnakej rovine. Ale v niektorých prípadoch môžete nájsť takúto priamku.
Príklady zo života
V praxi sa často stretávame so spoločnou dotyčnicou dvoch kružníc, aj keď nie vždy je to viditeľné. Dopravníky, blokové systémy, remene na prevod remeníc, napätie nite v šijacom stroji a dokonca aj reťaz na bicykli - to všetko sú príklady zo života. Nemyslite si teda, že geometrické problémy zostávajú len v teórii: v strojárstve, fyzike, stavebníctve a mnohých ďalších oblastiach nachádzajú praktické využitie.
