Ak je lineárny pohyb telies opísaný v klasickej mechanike pomocou Newtonových zákonov, potom sa charakteristiky pohybu mechanických systémov po kruhových trajektóriách vypočítajú pomocou špeciálneho výrazu, ktorý sa nazýva rovnica momentov. O akých momentoch hovoríme a aký význam má táto rovnica? Tieto a ďalšie otázky sú uvedené v článku.
Moment sily
Každý dobre pozná newtonovskú silu, ktorá pôsobí na telo a vedie k tomu, že mu udeľuje zrýchlenie. Keď takáto sila pôsobí na objekt, ktorý je upevnený na určitej osi otáčania, potom sa táto charakteristika zvyčajne nazýva moment sily. Rovnicu momentu sily možno zapísať takto:
M¯=L¯F¯
Obrázok vysvetľujúci tento výraz je uvedený nižšie.
Tu môžete vidieť, že sila F¯ smeruje k vektoru L¯ pod uhlom Φ. Predpokladá sa, že samotný vektor L je nasmerovaný z osi rotácie (označenej šípkou) do bodu aplikácie. F¯.
Vyššie uvedený vzorec je súčinom dvoch vektorov, takže M¯ je tiež smerový. Kam sa otočí moment sily M¯? Dá sa to určiť pravidlom pravej ruky (štyri prsty sú nasmerované pozdĺž trajektórie od konca vektora L¯ po koniec F¯ a ľavý palec ukazuje smer M¯).
Na obrázku vyššie bude vyjadrenie momentu sily v skalárnej forme mať tvar:
M=LFsin(Φ)
Ak sa pozriete pozorne na obrázok, môžete vidieť, že Lsin(Φ)=d, potom máme vzorec:
M=dF
Hodnota d je dôležitou charakteristikou pri výpočte momentu sily, pretože odráža účinnosť aplikovaného F na systém. Táto hodnota sa nazýva páka sily.
Fyzikálny význam M spočíva v schopnosti sily otáčať systémom. Každý môže túto schopnosť pocítiť, ak otvorí dvere za kľučku, zatlačí ich v blízkosti pántov, alebo ak sa pokúsi odskrutkovať maticu krátkym a dlhým kľúčom.
Rovnováha systému
Koncept momentu sily je veľmi užitočný, keď uvažujeme o rovnováhe systému, na ktorý pôsobí viacero síl a má os alebo bod otáčania. V takýchto prípadoch použite vzorec:
∑iMi¯=0
To znamená, že systém bude v rovnováhe, ak súčet všetkých momentov síl, ktoré naň pôsobia, bude nulový. Všimnite si, že v tomto vzorci je vektorový znak nad momentom, to znamená, že pri riešení by ste nemali zabudnúť vziať do úvahy znak tohtomnožstvá. Všeobecne uznávaným pravidlom je, že pôsobiaca sila, ktorá otáča systém proti smeru hodinových ručičiek, vytvára kladné Mi¯.
Výrazným príkladom problémov tohto typu sú problémy s rovnováhou Archimedových pák.
Moment hybnosti
Toto je ďalšia dôležitá charakteristika kruhového pohybu. Vo fyzike sa opisuje ako súčin hybnosti a páky. Rovnica hybnosti vyzerá takto:
T¯=r¯p¯
Tu p¯ je vektor hybnosti, r¯ je vektor spájajúci bod rotujúceho materiálu s osou.
Tento výraz ilustruje obrázok nižšie.
Tu ω je uhlová rýchlosť, ktorá sa ďalej objaví v momentovej rovnici. Všimnite si, že smer vektora T¯ sa nachádza podľa rovnakého pravidla ako M¯. Na obrázku vyššie sa T¯ v smere zhoduje s vektorom uhlovej rýchlosti ω¯.
Fyzikálny význam T¯ je rovnaký ako charakteristika p¯ v prípade lineárneho pohybu, t.j. moment hybnosti popisuje veľkosť rotačného pohybu (uložená kinetická energia).
Moment zotrvačnosti
Tretou dôležitou charakteristikou, bez ktorej nie je možné formulovať pohybovú rovnicu rotujúceho objektu, je moment zotrvačnosti. Vo fyzike sa objavuje ako výsledok matematických transformácií vzorca pre moment hybnosti hmotného bodu. Ukážeme vám, ako sa to robí.
Predstavme si hodnotuT¯ takto:
T¯=r¯mv¯, kde p¯=mv¯
Pomocou vzťahu medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou môžeme tento výraz prepísať takto:
T¯=r¯mr¯ω¯, kde v¯=r¯ω¯
Napíšte posledný výraz takto:
T¯=r2mω¯
Hodnota r2m je moment zotrvačnosti I pre hmotný bod m, ktorý vykonáva kruhový pohyb okolo osi vo vzdialenosti r od nej. Tento špeciálny prípad nám umožňuje zaviesť všeobecnú rovnicu momentu zotrvačnosti pre teleso ľubovoľného tvaru:
I=∫m (r2dm)
I je aditívna veličina, ktorej význam spočíva v zotrvačnosti rotujúceho systému. Čím väčšie ja, tým ťažšie je roztočiť telo a jeho zastavenie si vyžaduje značné úsilie.
Momentová rovnica
Uvažovali sme o troch veličinách, ktorých názov začína slovom „moment“. Bolo to urobené zámerne, pretože všetky sú spojené v jednom výraze, ktorý sa nazýva 3-momentová rovnica. Poďme na to.
Zvážte výraz pre moment hybnosti T¯:
T¯=Iω¯
Zistite, ako sa mení hodnota T¯ v čase, máme:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Vzhľadom na to, že derivácia uhlovej rýchlosti sa rovná derivácii lineárnej rýchlosti delenej r, a rozšírením hodnoty I, dospejeme k výrazu:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, kde a¯=dv¯/dt je lineárne zrýchlenie.
Všimnite si, že súčin hmotnosti a zrýchlenia nie je nič iné ako pôsobiaca vonkajšia sila F¯. Výsledkom je:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Došli sme k zaujímavému záveru: zmena momentu hybnosti sa rovná momentu pôsobiacej vonkajšej sily. Tento výraz sa zvyčajne píše v mierne odlišnej forme:
M¯=Iα¯, kde α¯=dω¯/dt - uhlové zrýchlenie.
Táto rovnosť sa nazýva rovnica momentov. Umožňuje vám vypočítať akúkoľvek charakteristiku rotujúceho telesa, pričom poznáte parametre systému a veľkosť vonkajšieho vplyvu naň.
Zákon o ochrane T¯
Záver získaný v predchádzajúcom odseku naznačuje, že ak je vonkajší moment síl rovný nule, moment hybnosti sa nezmení. V tomto prípade napíšeme výraz:
T¯=konšt. alebo I1ω1¯=I2ω2 ¯
Tento vzorec sa nazýva zákon zachovania T¯. To znamená, že žiadne zmeny v systéme nemenia celkový moment hybnosti.
Túto skutočnosť využívajú krasokorčuliari a baletky pri svojich vystúpeniach. Používa sa tiež, ak je potrebné otočiť umelý satelit pohybujúci sa v priestore okolo svojej osi.
