Fourierova transformácia je transformácia, ktorá porovnáva funkcie nejakej reálnej premennej. Táto operácia sa vykonáva zakaždým, keď vnímame rôzne zvuky. Ucho vykonáva automatický „výpočet“, ktorý je naše vedomie schopné vykonať až po preštudovaní zodpovedajúcej časti vyššej matematiky. Ľudský sluchový orgán vytvára transformáciu, v dôsledku ktorej sa zvuk (oscilačný pohyb podmienených častíc v elastickom prostredí, ktoré sa šíria vo forme vĺn v pevnom, kvapalnom alebo plynnom prostredí) poskytuje vo forme spektra po sebe nasledujúcich hodnôt. úrovne hlasitosti tónov rôznych výšok. Potom mozog premení tieto informácie na zvuk známy každému.
Matematická Fourierova transformácia
Transformácia zvukových vĺn alebo iné oscilačné procesy (od svetelného žiarenia a oceánskeho prílivu po cykly hviezdnej alebo slnečnej aktivity) sa môžu vykonávať aj pomocou matematických metód. Takže pomocou týchto techník je možné rozložiť funkcie reprezentovaním oscilačných procesov ako súboru sínusových komponentov, to znamená vlnitých kriviek, ktoréísť z nízkej na vysokú, potom späť na nízku, ako morská vlna. Fourierova transformácia - transformácia, ktorej funkcia popisuje fázu alebo amplitúdu každej sínusoidy zodpovedajúcej určitej frekvencii. Fáza je počiatočný bod krivky a amplitúda je jej výška.
Furierova transformácia (príklady sú uvedené na fotografii) je veľmi výkonný nástroj, ktorý sa používa v rôznych oblastiach vedy. V niektorých prípadoch sa používa ako prostriedok na riešenie pomerne zložitých rovníc, ktoré opisujú dynamické procesy, ktoré sa vyskytujú pod vplyvom svetelnej, tepelnej alebo elektrickej energie. V ostatných prípadoch umožňuje určiť pravidelné zložky v zložitých oscilačných signáloch, vďaka čomu môžete správne interpretovať rôzne experimentálne pozorovania v chémii, medicíne a astronómii.
Historické pozadie
Prvým, kto použil túto metódu, bol francúzsky matematik Jean Baptiste Fourier. Transformácia, neskôr pomenovaná po ňom, sa pôvodne používala na opis mechanizmu vedenia tepla. Fourier strávil celý svoj dospelý život štúdiom vlastností tepla. Obrovským spôsobom prispel k matematickej teórii určovania koreňov algebraických rovníc. Fourier bol profesorom analýzy na Polytechnickej škole, tajomníkom Ústavu egyptológie, bol v cisárskych službách, kde sa vyznamenal pri stavbe cesty do Turína (pod jeho vedením bolo vyše 80-tisíc štvorcových kilometrov malarickéhomočiare). Všetka táto energická činnosť však vedcovi nezabránila v matematickej analýze. V roku 1802 odvodil rovnicu, ktorá popisuje šírenie tepla v pevných látkach. V roku 1807 tento vedec objavil metódu riešenia tejto rovnice, ktorá sa volala „Fourierova transformácia“.
Analýza tepelnej vodivosti
Vedec použil matematickú metódu na opísanie mechanizmu vedenia tepla. Vhodným príkladom, pri ktorom nie sú problémy s výpočtom, je šírenie tepelnej energie cez železný kruh ponorený v jednej časti do ohňa. Na uskutočnenie experimentov Fourier zahrial časť tohto prstenca do červena a zahrabal ho do jemného piesku. Potom vykonal meranie teploty na jeho opačnej strane. Spočiatku je rozloženie tepla nepravidelné: časť prstenca je studená a druhá horúca, medzi týmito zónami je možné pozorovať prudký teplotný gradient. V procese šírenia tepla po celom povrchu kovu sa však stáva rovnomernejším. Takže tento proces čoskoro nadobudne formu sínusoidy. Graf sa najskôr plynule zväčšuje a aj plynulo znižuje, presne podľa zákonov zmeny funkcie kosínus alebo sínus. Vlna sa postupne vyrovnáva a výsledkom je, že teplota sa na celom povrchu prstenca rovná.
Autor tejto metódy navrhol, že počiatočné nepravidelné rozdelenie možno rozložiť na množstvo elementárnych sínusoidov. Každý z nich bude mať svoju fázu (počiatočnú polohu) a vlastnú teplotumaximálne. Okrem toho sa každý takýto komponent zmení z minima na maximum a späť pri kompletnej otáčke okolo prstenca niekoľkonásobne celé číslo. Zložka s jednou periódou sa nazývala základná harmonická a hodnota s dvoma alebo viacerými periódami sa nazývala druhá atď. Takže matematická funkcia, ktorá popisuje teplotné maximum, fázu alebo polohu, sa nazýva Fourierova transformácia distribučnej funkcie. Vedec zredukoval jedinú zložku, ktorú je ťažké matematicky opísať, na ľahko použiteľný nástroj – kosínusový a sínusový rad, ktorých súčet dáva pôvodné rozdelenie.
Podstata analýzy
Aplikovaním tejto analýzy na transformáciu šírenia tepla cez pevný objekt, ktorý má prstencový tvar, matematik usúdil, že zväčšovanie periód sínusového komponentu by viedlo k jeho rýchlemu rozpadu. To je jasne vidieť na základnej a druhej harmonickej. V druhom prípade teplota dosiahne maximálne a minimálne hodnoty dvakrát v jednom priechode a v prvom prípade iba raz. Ukazuje sa, že vzdialenosť prejdená teplom v druhej harmonickej bude polovičná ako v základnej. Navyše, stúpanie v druhom bude tiež dvakrát strmšie ako v prvom. Preto, keďže intenzívnejší tepelný tok prejde vzdialenosť dvakrát kratšiu, bude táto harmonická klesať štyrikrát rýchlejšie ako základná ako funkcia času. V budúcnosti bude tento proces ešte rýchlejší. Matematik veril, že táto metóda vám umožňuje vypočítať proces počiatočného rozloženia teploty v čase.
Výzva pre súčasníkov
Algoritmus Fourierovej transformácie spochybnil vtedajšie teoretické základy matematiky. Začiatkom devätnásteho storočia väčšina významných vedcov vrátane Lagrangea, Laplacea, Poissona, Legendra a Biota neprijala jeho tvrdenie, že počiatočné rozloženie teploty sa rozkladá na zložky vo forme základnej harmonickej a vyšších frekvencií. Akadémia vied však nemohla ignorovať výsledky získané matematikom a udelila mu cenu za teóriu zákonov vedenia tepla, ako aj za porovnanie s fyzikálnymi experimentmi. Vo Fourierovom prístupe bola hlavnou námietkou skutočnosť, že nespojitá funkcia je reprezentovaná súčtom niekoľkých sínusových funkcií, ktoré sú spojité. Koniec koncov, opisujú roztrhané rovné a zakrivené čiary. Súčasníci vedca sa nikdy nestretli s podobnou situáciou, keď boli nespojité funkcie opísané kombináciou spojitých, ako je kvadratická, lineárna, sínusoida alebo exponenciála. V prípade, že by mal matematik vo svojich tvrdeniach pravdu, tak súčet nekonečného radu goniometrickej funkcie treba zredukovať na presný krokový. V tom čase sa takéto vyhlásenie zdalo absurdné. Napriek pochybnostiam však niektorí výskumníci (napr. Claude Navier, Sophie Germain) rozšírili rozsah výskumu a posunuli ho nad rámec analýzy distribúcie tepelnej energie. Medzitým matematici naďalej zápasili s otázkou, či možno súčet niekoľkých sínusových funkcií zredukovať na presnú reprezentáciu nespojitej.
200 rokov starýhistória
Táto teória sa vyvíjala dve storočia, dnes sa konečne sformovala. S jeho pomocou sa priestorové alebo časové funkcie delia na sínusové zložky, ktoré majú svoju frekvenciu, fázu a amplitúdu. Táto transformácia sa získa dvoma rôznymi matematickými metódami. Prvý z nich sa používa, keď je pôvodná funkcia spojitá, a druhá - keď je reprezentovaná súborom diskrétnych individuálnych zmien. Ak je výraz získaný z hodnôt, ktoré sú definované diskrétnymi intervalmi, možno ho rozdeliť na niekoľko sínusových výrazov s diskrétnymi frekvenciami - od najnižšej a potom dvakrát, trikrát atď. vyššej ako hlavná. Takýto súčet sa nazýva Fourierov rad. Ak je počiatočnému výrazu daná hodnota pre každé reálne číslo, potom ho možno rozložiť na niekoľko sínusoidov všetkých možných frekvencií. Bežne sa nazýva Fourierov integrál a riešenie zahŕňa integrálne transformácie funkcie. Bez ohľadu na spôsob získania prevodu musia byť pre každú frekvenciu špecifikované dve čísla: amplitúda a frekvencia. Tieto hodnoty sú vyjadrené ako jedno komplexné číslo. Teória vyjadrenia komplexných premenných spolu s Fourierovou transformáciou umožnila vykonávať výpočty pri návrhu rôznych elektrických obvodov, analýzu mechanických vibrácií, štúdium mechanizmu šírenia vĺn a ďalšie.
Fourier Transform Today
Dnes sa štúdium tohto procesu obmedzuje hlavne na hľadanie efektívnehometódy prechodu z funkcie do jej transformovanej podoby a naopak. Toto riešenie sa nazýva priama a inverzná Fourierova transformácia. Čo to znamená? Na určenie integrálu a vytvorenie priamej Fourierovej transformácie je možné použiť matematické metódy alebo analytické metódy. Napriek tomu, že pri ich používaní v praxi vznikajú určité ťažkosti, väčšina integrálov už bola nájdená a zahrnutá v matematických referenčných knihách. Numerické metódy možno použiť na výpočet výrazov, ktorých forma je založená na experimentálnych údajoch, alebo funkcií, ktorých integrály nie sú dostupné v tabuľkách a je ťažké ich prezentovať v analytickej forme.
Pred príchodom počítačov boli výpočty takýchto transformácií veľmi zdĺhavé, vyžadovali si manuálne vykonávanie veľkého množstva aritmetických operácií, ktoré záviseli od počtu bodov popisujúcich vlnovú funkciu. Na uľahčenie výpočtov dnes existujú špeciálne programy, ktoré umožňujú implementovať nové analytické metódy. Takže v roku 1965 James Cooley a John Tukey vytvorili softvér, ktorý sa stal známym ako „Fast Fourier Transform“. Umožňuje vám ušetriť čas na výpočty znížením počtu násobení pri analýze krivky. Metóda rýchlej Fourierovej transformácie je založená na rozdelení krivky na veľký počet jednotných hodnôt vzorky. V súlade s tým sa počet násobení zníži na polovicu pri rovnakom znížení počtu bodov.
Použitie Fourierovej transformácie
Totoproces sa používa v rôznych oblastiach vedy: v teórii čísel, fyzike, spracovaní signálov, kombinatorike, teórii pravdepodobnosti, kryptografii, štatistike, oceánológii, optike, akustike, geometrii a iných. Bohaté možnosti jeho aplikácie sú založené na množstve užitočných funkcií, ktoré sa nazývajú „vlastnosti Fourierovej transformácie“. Zvážte ich.
1. Transformácia funkcie je lineárny operátor a s príslušnou normalizáciou je unitárna. Táto vlastnosť je známa ako Parsevalova veta alebo vo všeobecnosti Plancherelova veta alebo Pontryaginov dualizmus.
2. Transformácia je reverzibilná. Navyše, opačný výsledok má takmer rovnakú formu ako v priamom riešení.
3. Sínusové bázové výrazy sú vlastné diferencované funkcie. To znamená, že takáto reprezentácia mení lineárne rovnice s konštantným koeficientom na obyčajné algebraické.
4. Podľa „konvolučného“teorému tento proces premení komplexnú operáciu na elementárne násobenie.
5. Diskrétnu Fourierovu transformáciu možno rýchlo vypočítať na počítači pomocou „rýchlej“metódy.
Odrody Fourierovej transformácie
1. Najčastejšie sa tento výraz používa na označenie spojitej transformácie, ktorá poskytuje akýkoľvek štvorcový integrovateľný výraz ako súčet komplexných exponenciálnych výrazov so špecifickými uhlovými frekvenciami a amplitúdami. Tento druh má niekoľko rôznych foriem, ktoré môžusa líšia konštantnými koeficientmi. Priebežná metóda zahŕňa prevodnú tabuľku, ktorú možno nájsť v matematických referenčných knihách. Zovšeobecnený prípad je zlomková transformácia, pomocou ktorej možno daný proces povýšiť na požadovanú skutočnú mocnosť.
2. Spojitý režim je zovšeobecnením ranej techniky Fourierových radov definovaných pre rôzne periodické funkcie alebo výrazy, ktoré existujú v obmedzenej oblasti a reprezentujú ich ako série sínusoidov.
3. Diskrétna Fourierova transformácia. Táto metóda sa používa vo výpočtovej technike na vedecké výpočty a na digitálne spracovanie signálov. Na uskutočnenie tohto typu výpočtu je potrebné mať funkcie, ktoré definujú jednotlivé body, periodické alebo ohraničené oblasti na diskrétnej množine namiesto spojitých Fourierových integrálov. Transformácia signálu je v tomto prípade reprezentovaná ako súčet sínusoidov. Použitie „rýchlej“metódy zároveň umožňuje aplikovať diskrétne riešenia na akékoľvek praktické problémy.
4. Okienková Fourierova transformácia je zovšeobecnenou formou klasickej metódy. Na rozdiel od štandardného riešenia, kedy sa využíva spektrum signálu, ktoré sa berie v celom rozsahu existencie danej premennej, tu je zaujímavé len lokálne frekvenčné rozloženie za predpokladu, že sa zachová pôvodná premenná (čas)..
5. Dvojrozmerná Fourierova transformácia. Táto metóda sa používa na prácu s dvojrozmernými dátovými poľami. V tomto prípade sa transformácia najskôr vykoná v jednom smere a potom viné.
Záver
V súčasnosti je Fourierova metóda pevne zakorenená v rôznych oblastiach vedy. Napríklad v roku 1962 bol pomocou Fourierovej analýzy v kombinácii s röntgenovou difrakciou objavený tvar dvojitej špirály DNA. Tie boli zamerané na kryštály vlákien DNA, v dôsledku čoho sa obraz získaný difrakciou žiarenia zaznamenal na film. Tento obrázok poskytol informáciu o hodnote amplitúdy pri použití Fourierovej transformácie na danú kryštálovú štruktúru. Fázové údaje sa získali porovnaním difrakčnej mapy DNA s mapami získanými z analýzy podobných chemických štruktúr. V dôsledku toho biológovia obnovili kryštálovú štruktúru - pôvodnú funkciu.
Fourierove transformácie hrajú obrovskú úlohu pri štúdiu vesmíru, fyziky polovodičov a plazmy, mikrovlnnej akustiky, oceánografie, radaru, seizmológie a lekárskych prieskumov.
