V matematike a spracovaní je koncept analytického signálu (skrátene C, AC) komplexná funkcia, ktorá nemá záporné frekvenčné zložky. Skutočnou a imaginárnou časťou tohto javu sú reálne funkcie, ktoré spolu súvisia Hilbertovou transformáciou. Analytický signál je v chémii pomerne bežný jav, ktorého podstata je podobná matematickej definícii tohto pojmu.
Výkony
Analytická reprezentácia reálnej funkcie je analytický signál obsahujúci pôvodnú funkciu a jej Hilbertovu transformáciu. Táto reprezentácia uľahčuje mnohé matematické manipulácie. Hlavnou myšlienkou je, že negatívne frekvenčné zložky Fourierovej transformácie (alebo spektra) reálnej funkcie sú nadbytočné kvôli Hermitovej symetrii takéhoto spektra. Tieto negatívne frekvenčné zložky môžu byť vyradené bezstratu informácií za predpokladu, že sa namiesto toho chcete zaoberať komplexnou funkciou. To robí niektoré atribúty funkcií prístupnejšími a uľahčuje odvodenie modulačných a demodulačných techník, ako je SSB.
Negatívne zložky
Pokiaľ funkcia, s ktorou sa manipuluje, nemá žiadne negatívne frekvenčné zložky (tj je stále analytická), konverzia z komplexnej späť na reálnu je jednoducho záležitosťou odhodenia imaginárnej časti. Analytická reprezentácia je zovšeobecnením konceptu vektora: zatiaľ čo vektor je obmedzený na časovo invariantnú amplitúdu, fázu a frekvenciu, kvalitatívna analýza analytického signálu umožňuje časovo sa meniace parametre.
Okamžitá amplitúda, okamžitá fáza a frekvencia sa v niektorých aplikáciách používajú na meranie a detekciu lokálnych vlastností C. Ďalšia aplikácia analytického znázornenia sa týka demodulácie modulovaných signálov. Polárne súradnice pohodlne oddeľujú účinky AM a fázovej (alebo frekvenčnej) modulácie a účinne demodulujú určité druhy.
Potom môže jednoduchý dolnopriepustný filter so skutočnými koeficientmi odrezať časť záujmu. Ďalším motívom je zníženie maximálnej frekvencie, čím sa zníži minimálna frekvencia pre non-alias vzorkovanie. Frekvenčný posun neoslabuje matematickú užitočnosť reprezentácie. V tomto zmysle je teda downkonvertovaný stále analytický. Obnovenie však skutočného zobrazeniauž nie je jednoduchou záležitosťou jednoduchého extrahovania skutočného komponentu. Môže byť potrebná konverzia smerom nahor a ak je signál vzorkovaný (v diskrétnom čase), môže byť potrebná aj interpolácia (prevzorkovanie), aby sa predišlo aliasingu.
Premenné
Koncept je dobre definovaný pre jednotlivé premenné javy, ktoré sú zvyčajne dočasné. Táto dočasnosť mätie mnohých začínajúcich matematikov. Pre dve alebo viac premenných môže byť analytický C definovaný rôznymi spôsobmi a dva prístupy sú uvedené nižšie.
Skutočné a imaginárne časti tohto javu zodpovedajú dvom prvkom monogénneho signálu s vektorovou hodnotou, ako je definované pre podobné javy s jednou premennou. Monogénny však môže byť rozšírený na ľubovoľný počet premenných jednoduchým spôsobom, čím sa vytvorí (n + 1)-rozmerná vektorová funkcia pre prípad n-premenných signálov.
Konverzia signálu
Reálny signál môžete previesť na analytický pridaním imaginárnej (Q) zložky, čo je Hilbertova transformácia reálnej zložky.
Mimochodom, v digitálnom spracovaní to nie je novinka. Jeden z tradičných spôsobov generovania AM (single sideband, SSB) AM, fázovacia metóda, zahŕňa vytváranie signálov generovaním Hilbertovej transformácie audio signálu v analógovej sieti odpor-kondenzátor. Keďže má iba kladné frekvencie, je ľahké ho previesť na modulovaný RF signál iba s jedným postranným pásmom.
Vzorce definície
Výraz analytického signálu je holomorfná komplexná funkcia definovaná na hranici hornej komplexnej polroviny. Hranica hornej polroviny sa zhoduje s náhodnou, takže C je dané mapovaním fa: R → C. Od polovice minulého storočia, keď Denis Gabor v roku 1946 navrhol použiť tento jav na štúdium konštantnej amplitúdy a fázy, signál našiel mnoho aplikácií. Zvláštnosť tohto javu bola zdôraznená [Vak96], kde sa ukázalo, že iba kvalitatívna analýza analytického signálu zodpovedá fyzikálnym podmienkam pre amplitúdu, fázu a frekvenciu.
Najnovšie úspechy
Počas posledných desaťročí vzrástol záujem o štúdium signálu v mnohých dimenziách, motivovaný problémami vznikajúcimi v oblastiach od spracovania obrazu/videa až po multidimenzionálne oscilačné procesy vo fyzike, ako sú seizmické, elektromagnetické a gravitačné vlny. Všeobecne sa uznáva, že na správne zovšeobecnenie analytického C (kvalitatívna analýza) na prípad niekoľkých dimenzií sa treba spoliehať na algebraickú konštrukciu, ktorá rozširuje bežné komplexné čísla pohodlným spôsobom. Takéto konštrukcie sa zvyčajne nazývajú hyperkomplexné čísla [SKE].
Nakoniec by malo byť možné zostrojiť hyperkomplexný analytický signál fh: Rd → S, kde je reprezentovaný nejaký všeobecný hyperkomplexný algebraický systém, ktorý prirodzene rozširuje všetky požadované vlastnosti na získanie okamžitej amplitúdy afáza.
Štúdia
Množstvo článkov je venovaných rôznym problémom súvisiacim so správnym výberom hyperkomplexnej číselnej sústavy, definíciou hyperkomplexnej Fourierovej transformácie a zlomkových Hilbertových transformácií na štúdium okamžitej amplitúdy a fázy. Väčšina tejto práce bola založená na vlastnostiach rôznych priestorov, ako sú Cd, kvaternióny, Clearonove algebry a Cayley-Dixonove konštrukcie.
Ďalej uvedieme len niektoré práce venované štúdiu signálu v mnohých dimenziách. Pokiaľ vieme, prvé práce o multivariačnej metóde boli získané začiatkom 90. rokov 20. storočia. Patrí medzi ne Ellova práca [Ell92] o hyperkomplexných transformáciách; Bulowova práca na zovšeobecnení metódy analytickej reakcie (analytický signál) na mnohé merania [BS01] a práca Felsberga a Sommera o monogénnych signáloch.
Ďalšie vyhliadky
Očakáva sa, že hyperkomplexný signál rozšíri všetky užitočné vlastnosti, ktoré máme v prípade 1D. V prvom rade musíme byť schopní extrahovať a zovšeobecniť okamžitú amplitúdu a fázu na merania. Po druhé, Fourierovo spektrum komplexného analytického signálu sa udržiava iba pri pozitívnych frekvenciách, takže očakávame, že hyperkomplexná Fourierova transformácia bude mať svoje vlastné hypervaluované spektrum, ktoré sa bude udržiavať iba v nejakom pozitívnom kvadrante hyperkomplexného priestoru. Pretože je to veľmi dôležité.
Po tretie, konjugované časti komplexného konceptuanalytického signálu súvisí s Hilbertovou transformáciou a môžeme očakávať, že konjugované zložky v hyperkomplexnom priestore musia tiež súvisieť s nejakou kombináciou Hilbertových transformácií. A napokon, hyperkomplexný signál musí byť definovaný ako rozšírenie nejakej hyperkomplexnej holomorfnej funkcie niekoľkých hyperkomplexných premenných definovaných na hranici nejakej formy v hyperkomplexnom priestore.
Tieto problémy riešime postupne. Najprv sa pozrieme na Fourierov integrálny vzorec a ukážeme, že Hilbertova transformácia na 1-D súvisí s modifikovaným Fourierovým integrálnym vzorcom. Táto skutočnosť nám umožňuje definovať okamžitú amplitúdu, fázu a frekvenciu bez akéhokoľvek odkazu na hyperkomplexné číselné systémy a holomorfné funkcie.
Úprava integrálov
Pokračujeme rozšírením upraveného Fourierovho integrálneho vzorca na niekoľko dimenzií a určíme všetky potrebné fázovo posunuté zložky, ktoré môžeme zhromaždiť do okamžitej amplitúdy a fázy. Po druhé, obrátime sa na otázku existencie holomorfných funkcií niekoľkých hyperkomplexných premenných. Po [Sch93] sa ukazuje, že komutatívna a asociatívna hyperkomplexná algebra generovaná množinou eliptických (e2i=−1) generátorov je vhodným priestorom pre život hyperkomplexného analytického signálu, takúto hyperkomplexnú algebru nazývame Schaefersov priestor a toSd.
Preto je hyperkomplex analytických signálov definovaný ako holomorfná funkcia na hranici polydisku / hornej polovice roviny v nejakom hyperkomplexnom priestore, ktorý nazývame všeobecný Schaefersov priestor a označujeme ho Sd. Potom pozorujeme platnosť Cauchyho integrálneho vzorca pre funkcie Sd → Sd, ktoré sú vypočítané nad hyperpovrchom vo vnútri polydisku v Sd, a odvodíme zodpovedajúce frakčné Hilbertove transformácie, ktoré súvisia s hyperkomplexnými konjugovanými komponentmi. Nakoniec sa ukazuje, že Fourierova transformácia s hodnotami v Schaefersovom priestore je podporovaná iba pri nezáporných frekvenciách. Vďaka tomuto článku ste sa naučili, čo je analytický signál.
