Pravdepodobne každý z nás pozná pojem derivát už od školy. Študenti majú zvyčajne problém pochopiť túto, nepochybne veľmi dôležitú vec. Aktívne sa používa v rôznych oblastiach života ľudí a mnohé technické pokroky boli založené práve na matematických výpočtoch získaných pomocou derivátu. Ale predtým, než pristúpime k analýze toho, čo sú derivácie čísel, ako ich vypočítať a kde sú pre nás užitočné, ponorme sa do histórie.
História
Koncept derivátu, ktorý je základom matematickej analýzy, objavil (lepšie by bolo povedať „vynájdený“, pretože v prírode ako taký neexistoval) Isaac Newton, ktorého všetci poznáme od objavu zákona univerzálnej gravitácie. Bol to on, kto prvýkrát aplikoval tento koncept vo fyzike na prepojenie povahy rýchlosti a zrýchlenia telies. A mnohí vedci stále chvália Newtona za tento veľkolepý vynález, pretože v skutočnosti vynašiel základ diferenciálneho a integrálneho počtu, v skutočnosti základ celej oblasti matematiky nazývanej „počet“. Ak by v tom čase bola Nobelova cena, Newton by ju s vysokou pravdepodobnosťou dostal niekoľkokrát.
Nie bez iných skvelých myslí. Okrem Newtonatakí významní matematickí géniovia ako Leonhard Euler, Louis Lagrange a Gottfried Leibniz pracovali na vývoji derivácie a integrálu. Práve vďaka nim sme dostali teóriu diferenciálneho počtu v podobe, v akej existuje dodnes. Mimochodom, bol to Leibniz, kto objavil geometrický význam derivácie, ktorá sa ukázala ako tangens sklonu dotyčnice ku grafu funkcie.
Čo sú deriváty čísel? Zopakujme si trochu, čím sme si prešli v škole.
Čo je to derivát?
Tento pojem možno definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi. Najjednoduchšie vysvetlenie je, že derivácia je rýchlosť zmeny funkcie. Predstavte si graf nejakej funkcie y z x. Ak nie je rovný, tak má v grafe nejaké krivky, obdobia nárastu a poklesu. Ak vezmeme nejaký nekonečne malý interval tohto grafu, bude to priamka. Takže pomer veľkosti tohto nekonečne malého segmentu pozdĺž súradnice y k veľkosti pozdĺž súradnice x bude deriváciou tejto funkcie v danom bode. Ak uvažujeme funkciu ako celok a nie v konkrétnom bode, dostaneme derivačnú funkciu, teda určitú závislosť y od x.
Okrem fyzikálneho významu derivácie ako rýchlosti zmeny funkcie existuje aj geometrický význam. Teraz sa o ňom porozprávame.
Geometrický zmysel
Samotné derivácie čísel predstavujú určité číslo, ktoré bez správneho pochopenia nenesienemá to cenu. Ukazuje sa, že derivácia ukazuje nielen rýchlosť rastu alebo poklesu funkcie, ale aj tangens sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode. Nie veľmi jasná definícia. Poďme si to rozobrať podrobnejšie. Povedzme, že máme graf funkcie (pre zaujímavosť si zoberme krivku). Má nekonečný počet bodov, no sú oblasti, kde má maximum alebo minimum iba jeden jediný bod. Cez akýkoľvek takýto bod je možné nakresliť čiaru, ktorá by bola kolmá na graf funkcie v tomto bode. Takáto čiara sa bude nazývať dotyčnica. Povedzme, že sme to strávili až po križovatku s osou OX. Takže uhol získaný medzi dotyčnicou a osou OX bude určený deriváciou. Presnejšie povedané, dotyčnica tohto uhla sa mu bude rovnať.
Porozprávajme sa trochu o špeciálnych prípadoch a analyzujme derivácie čísel.
Špeciálne prípady
Ako sme už povedali, derivácie čísel sú hodnoty derivácie v určitom bode. Vezmime si napríklad funkciu y=x2. Derivácia x je číslo a vo všeobecnom prípade funkcia rovná 2x. Ak potrebujeme vypočítať deriváciu, povedzme, v bode x0=1, dostaneme y'(1)=21=2. Všetko je veľmi jednoduché. Zaujímavým prípadom je derivácia komplexného čísla. Nebudeme sa púšťať do podrobného vysvetľovania toho, čo je komplexné číslo. Povedzme, že ide o číslo, ktoré obsahuje takzvanú imaginárnu jednotku – číslo, ktorého druhá mocnina je -1. Výpočet takéhoto derivátu je možný len vtedy, ak je splnené nasledovnépodmienky:
1) Musia existovať parciálne derivácie prvého rádu reálnych a imaginárnych častí vzhľadom na Y a X.
2) Cauchyho-Riemannove podmienky spojené s rovnosťou parciálnych derivácií popísaných v prvom odseku sú splnené.
Ďalší zaujímavý prípad, aj keď nie taký zložitý ako predchádzajúci, je derivácia záporného čísla. V skutočnosti môže byť akékoľvek záporné číslo vyjadrené ako kladné číslo vynásobené -1. Nuž, derivácia konštanty a funkcie sa rovná konštante vynásobenej deriváciou funkcie.
Bude zaujímavé dozvedieť sa o úlohe derivátu v každodennom živote a práve o tom teraz budeme diskutovať.
Aplikácia
Pravdepodobne sa každý z nás aspoň raz v živote pristihne pri myšlienke, že matematika mu pravdepodobne nebude užitočná. A taká komplikovaná vec, ako je derivát, pravdepodobne nemá žiadne uplatnenie. Matematika je v skutočnosti základná veda a všetky jej plody rozvíja najmä fyzika, chémia, astronómia a dokonca aj ekonómia. Derivácia bola začiatkom matematickej analýzy, ktorá nám dala možnosť vyvodzovať závery z grafov funkcií a vďaka nej sme sa naučili interpretovať prírodné zákony a premieňať ich vo svoj prospech.
Záver
Samozrejme, nie každý môže potrebovať derivát v reálnom živote. Ale matematika rozvíja logiku, ktorá bude určite potrebná. Nie nadarmo sa matematike hovorí kráľovná vied: tvorí základ pre pochopenie iných oblastí poznania.
