Matematické problémy sa používajú v mnohých vedách. Patria sem nielen fyzika, chémia, inžinierstvo a ekonómia, ale aj medicína, ekológia a ďalšie odbory. Jedným z dôležitých konceptov, ktoré je potrebné zvládnuť, aby ste našli riešenia dôležitých dilem, je derivácia funkcie. Jeho fyzikálny význam nie je vôbec také ťažké vysvetliť, ako sa nezasvätenému v podstate problému môže zdať. Stačí na to nájsť vhodné príklady v reálnom živote a bežných každodenných situáciách. V skutočnosti každý motorista rieši podobnú úlohu každý deň, keď sa pozrie na tachometer a určí rýchlosť svojho auta v konkrétnom okamihu pevného času. Koniec koncov, práve v tomto parametri je podstata fyzikálneho významu derivátu.
Ako zistiť rýchlosť
Určiť rýchlosť osoby na ceste, pričom pozná prejdenú vzdialenosť a čas cesty, ktorý môže ľahko určiť každý žiak piatej triedy. Na tento účel sa prvá z daných hodnôt vydelí druhou. alenie každý mladý matematik vie, že práve nachádza pomer prírastkov funkcie a argumentu. Skutočne, ak si predstavíme pohyb vo forme grafu, vykresľujúceho cestu pozdĺž osi y a čas pozdĺž úsečky, bude to presne takto.
Rýchlosť chodca alebo akéhokoľvek iného objektu, ktorý určíme na veľkej časti cesty, vzhľadom na rovnomerný pohyb, sa však môže zmeniť. Vo fyzike existuje mnoho foriem pohybu. Dá sa vykonávať nielen s konštantným zrýchľovaním, ale ľubovoľným spôsobom spomaľovať a zvyšovať. Treba poznamenať, že v tomto prípade čiara opisujúca pohyb už nebude priamka. Graficky dokáže zaujať aj tie najzložitejšie konfigurácie. Ale pre ktorýkoľvek z bodov v grafe môžeme vždy nakresliť dotyčnicu reprezentovanú lineárnou funkciou.
Pre objasnenie parametra zmeny posunu v závislosti od času je potrebné skrátiť merané segmenty. Keď sa stanú nekonečne malými, vypočítaná rýchlosť bude okamžitá. Táto skúsenosť nám pomáha definovať derivát. Z takéhoto uvažovania logicky vyplýva aj jeho fyzikálny význam.
Pokiaľ ide o geometriu
Je známe, že čím väčšia je rýchlosť telesa, tým strmší je graf závislosti posunu od času, a tým aj uhla sklonu dotyčnice ku grafu v určitom bode. Indikátorom takýchto zmien môže byť dotyčnica uhla medzi osou x a dotyčnicou. Len určuje hodnotu derivácie a vypočíta sa pomerom dĺžokoproti susednej nohe v pravouhlom trojuholníku tvorenom kolmicou spadnutou z nejakého bodu na os x.
Toto je geometrický význam prvej derivácie. Ten fyzický sa odhaľuje v tom, že hodnota opačnej nohy je v našom prípade prejdená vzdialenosť a susednej je čas. Ich pomerom je rýchlosť. A opäť prichádzame k záveru, že okamžitá rýchlosť, určená vtedy, keď obe medzery majú tendenciu byť nekonečne malé, je podstatou konceptu derivácie, čo naznačuje jej fyzikálny význam. Druhou deriváciou v tomto príklade bude zrýchlenie tela, ktoré zase demonštruje rýchlosť zmeny rýchlosti.
Príklady hľadania derivátov vo fyzike
Derivácia je indikátorom rýchlosti zmeny akejkoľvek funkcie, aj keď nehovoríme o pohybe v doslovnom zmysle slova. Aby sme to jasne demonštrovali, uveďme niekoľko konkrétnych príkladov. Predpokladajme, že sila prúdu sa v závislosti od času mení podľa nasledujúceho zákona: I=0, 4t2. Je potrebné nájsť hodnotu rýchlosti, ktorou sa tento parameter mení na konci 8. sekundy procesu. Všimnite si, že samotná požadovaná hodnota, ako možno usúdiť z rovnice, neustále rastie.
Na vyriešenie musíte nájsť prvú deriváciu, ktorej fyzikálny význam sme uvažovali skôr. Tu dl / dt=0,8 t. Ďalej to zistíme pri t \u003d 8, dostaneme, že rýchlosť, ktorou sa mení sila prúdu, je 6,4 A / c. Tu sa to považujeprúd sa meria v ampéroch a čas v sekundách.
Všetko sa mení
Viditeľný okolitý svet, pozostávajúci z hmoty, neustále prechádza zmenami a je v pohybe rôznych procesov, ktoré v ňom prebiehajú. Na ich popis je možné použiť rôzne parametre. Ak ich spája závislosť, potom sú matematicky zapísané ako funkcia, ktorá jasne ukazuje ich zmeny. A tam, kde je pohyb (v akejkoľvek forme, v ktorej je vyjadrený), existuje aj derivát, ktorého fyzikálny význam v súčasnosti uvažujeme.
Pri tejto príležitosti nasledujúci príklad. Predpokladajme, že sa telesná teplota mení podľa zákona T=0, 2 t 2. Rýchlosť jeho ohrevu by ste mali nájsť na konci 10. sekundy. Problém sa rieši podobným spôsobom ako v predchádzajúcom prípade. To znamená, že nájdeme deriváciu a do nej dosadíme hodnotu t \u003d 10, dostaneme T \u003d 0, 4 t \u003d 4. To znamená, že konečná odpoveď je 4 stupne za sekundu, to znamená proces zahrievania a zmena teploty, meraná v stupňoch, nastáva presne pri takejto rýchlosti.
Riešenie praktických problémov
Samozrejme, v skutočnom živote je všetko oveľa komplikovanejšie ako v teoretických problémoch. V praxi sa hodnota veličín zvyčajne zisťuje počas experimentu. V tomto prípade sa používajú prístroje, ktoré dávajú hodnoty počas meraní s určitou chybou. Preto sa pri výpočtoch treba zaoberať približnými hodnotami parametrov a uchýliť sa k zaokrúhľovaniu nepohodlných čísel,ako aj ďalšie zjednodušenia. Keď to vezmeme do úvahy, opäť pristúpime k problémom o fyzikálnom význame derivácie, keďže ide len o akýsi matematický model najzložitejších procesov vyskytujúcich sa v prírode.
Výbuch sopky
Predstavme si, že vybuchne sopka. Aký nebezpečný môže byť? Na zodpovedanie tejto otázky je potrebné zvážiť veľa faktorov. Pokúsime sa vyhovieť jednému z nich.
Z úst „ohnivého monštra“sú kamene hádzané kolmo nahor, pričom počiatočná rýchlosť od okamihu, keď vyjdú von, je 120 m/s. Je potrebné vypočítať, akú môžu dosiahnuť maximálnu výšku.
Na nájdenie požadovanej hodnoty zostavíme rovnicu pre závislosť výšky H meranej v metroch od iných hodnôt. Medzi ne patrí počiatočná rýchlosť a čas. Hodnota zrýchlenia sa považuje za známu a približne rovná 10 m/s2.
Čiastočný derivát
Teraz sa pozrime na fyzikálny význam derivácie funkcie z trochu iného uhla, pretože samotná rovnica môže obsahovať nie jednu, ale niekoľko premenných. Napríklad v predchádzajúcom probléme bola závislosť výšky kameňov vyvrhnutých z prieduchu sopky určená nielen zmenou časových charakteristík, ale aj hodnotou počiatočnej rýchlosti. Ten bol považovaný za konštantnú, pevnú hodnotu. No v iných úlohách s úplne inými podmienkami mohlo byť všetko inak. Ak množstvá, na ktorých komplexniekoľko funkcií, výpočty sa vykonávajú podľa nižšie uvedených vzorcov.
Fyzikálny význam častej derivácie by sa mal určiť ako v bežnom prípade. Toto je rýchlosť, ktorou sa funkcia mení v určitom konkrétnom bode, keď sa zvyšuje parameter premennej. Vypočítava sa tak, že všetky ostatné zložky sa berú ako konštanty, iba jedna sa považuje za premennú. Potom sa všetko deje podľa zvyčajných pravidiel.
Nenahraditeľný poradca v mnohých otázkach
Pochopenie fyzikálneho významu derivácie nie je ťažké uviesť príklady riešenia zložitých a zložitých problémov, v ktorých možno nájsť odpoveď s takýmito znalosťami. Ak máme funkciu, ktorá popisuje spotrebu paliva v závislosti od rýchlosti auta, vieme vypočítať, pri akých parametroch bude spotreba benzínu najmenšia.
V medicíne môžete predpovedať, ako bude ľudské telo reagovať na liek, ktorý vám predpíše lekár. Užívanie lieku ovplyvňuje celý rad fyziologických parametrov. Patria sem zmeny krvného tlaku, srdcovej frekvencie, telesnej teploty a pod. Všetky závisia od dávky prijatej drogy. Tieto výpočty pomáhajú predpovedať priebeh liečby ako pri priaznivých prejavoch, tak aj pri nežiaducich nehodách, ktoré môžu fatálne ovplyvniť zmeny v tele pacienta.
Nepochybne je dôležité pochopiť fyzikálny význam derivátu v technickomproblémy, najmä v oblasti elektrotechniky, elektroniky, dizajnu a konštrukcie.
Brzdná dráha
Pozrime sa na ďalší problém. Auto idúce konštantnou rýchlosťou muselo 10 sekúnd pred vjazdom spomaliť, keďže vodič si všimol dopravnú značku zakazujúcu pohyb rýchlosťou vyššou ako 36 km/h. Porušil vodič pravidlá, ak sa dá brzdná dráha opísať vzorcom S=26t - t2?
Výpočtom prvej derivácie nájdeme vzorec pre rýchlosť, dostaneme v=28 – 2t. Potom do zadaného výrazu nahraďte hodnotu t=10.
Keďže táto hodnota bola vyjadrená v sekundách, rýchlosť je 8 m/s, čo znamená 28,8 km/h. To umožňuje pochopiť, že vodič začal včas spomaľovať a neporušil pravidlá cestnej premávky, a teda aj obmedzenie uvedené na rýchlostnej značke.
To dokazuje dôležitosť fyzikálneho významu derivátu. Príklad riešenia tohto problému demonštruje šírku využitia tohto konceptu v rôznych sférach života. Vrátane každodenných situácií.
Derivát v ekonómii
Ekonómovia sa do 19. storočia väčšinou pohybovali v priemere, či už išlo o produktivitu práce alebo cenu produkcie. Ale od istého bodu sa limitné hodnoty stali potrebnejšími na vytváranie efektívnych predpovedí v tejto oblasti. Patria sem hraničná užitočnosť, príjem alebo náklady. Pochopenie tohto dalo impulz k vytvoreniu úplne nového nástroja v ekonomickom výskume,ktorý existuje a vyvíja sa viac ako sto rokov.
Na uskutočnenie takýchto výpočtov, kde prevládajú pojmy ako minimum a maximum, je jednoducho potrebné pochopiť geometrický a fyzikálny význam derivácie. Medzi tvorcami teoretických východísk týchto disciplín možno menovať takých významných anglických a rakúskych ekonómov, akými sú US Jevons, K. Menger a ďalší. Samozrejme, medzné hodnoty v ekonomických výpočtoch nie je vždy vhodné použiť. A napríklad štvrťročné správy nemusia nevyhnutne zapadať do existujúcej schémy, ale napriek tomu je aplikácia takejto teórie v mnohých prípadoch užitočná a efektívna.
