V roku 1900 jeden z najväčších vedcov minulého storočia, David Hilbert, zostavil zoznam 23 nevyriešených problémov v matematike. Práca na nich mala obrovský vplyv na rozvoj tejto oblasti ľudského poznania. O 100 rokov neskôr Clay Mathematical Institute predstavil zoznam 7 problémov známych ako problémy tisícročia. Každému z nich bola ponúknutá odmena 1 milión $.
Jediný problém, ktorý sa objavil medzi oboma zoznamami hádaniek, ktoré prenasledujú vedcov už viac ako jedno storočie, bola Riemannova hypotéza. Stále čaká na svoje rozhodnutie.
Krátka životopisná poznámka
Georg Friedrich Bernhard Riemann sa narodil v roku 1826 v Hannoveri vo veľkej rodine chudobného pastora a žil iba 39 rokov. Podarilo sa mu vydať 10 diel. Riemann bol však už za svojho života považovaný za nástupcu svojho učiteľa Johanna Gaussa. Mladý vedec vo veku 25 rokov obhájil dizertačnú prácu „Základy teórie funkcií komplexnej premennej“. Neskôr sformulovaljeho slávna hypotéza.
Prvočísla
Matematika sa objavila, keď sa človek naučil počítať. Zároveň vznikli prvé predstavy o číslach, ktoré sa neskôr snažili klasifikovať. Bolo pozorované, že niektoré z nich majú spoločné vlastnosti. Najmä medzi prirodzenými číslami, t. j. tými, ktoré sa používali pri počítaní (číslovaní) alebo označovaní počtu predmetov, sa rozlišovala skupina deliteľná len jedným a samými sebou. Nazývajú sa jednoduché. Elegantný dôkaz vety o nekonečnosti množiny takýchto čísel podal Euklides vo svojich Prvkoch. V súčasnosti ich pátranie pokračuje. Konkrétne, najväčšie už známe číslo je 274 207 281 – 1.
Eulerov vzorec
Popri koncepte nekonečnosti množiny prvočísel Euklides určil aj druhú vetu o jedinom možnom rozklade na prvočísla. Podľa nej je každé kladné celé číslo súčinom iba jednej množiny prvočísel. V roku 1737 veľký nemecký matematik Leonhard Euler vyjadril prvú Euklidovu vetu o nekonečne ako vzorec nižšie.
Nazýva sa to funkcia zeta, kde s je konštanta a p má všetky prvočísla. Z toho priamo vyplývalo Euklidovo vyhlásenie o jedinečnosti expanzie.
Funkcia Riemann Zeta
Eulerov vzorec je pri bližšom skúmaní úplnýprekvapivé, pretože definuje vzťah medzi prvočíslami a celými číslami. Koniec koncov, nekonečne veľa výrazov, ktoré závisia iba od prvočísel, je vynásobených na jeho ľavej strane a súčet spojený so všetkými kladnými celými číslami je umiestnený na pravej strane.
Riemann zašiel ďalej ako Euler. Aby našiel kľúč k problému rozdelenia čísel, navrhol definovať vzorec pre reálne aj komplexné premenné. Práve ona následne dostala názov funkcie Riemann zeta. V roku 1859 vedec publikoval článok s názvom „O počte prvočísel, ktoré nepresahujú danú hodnotu“, kde zhrnul všetky svoje myšlienky.
Riemann navrhol použiť sériu Euler, ktorá konverguje pre akýkoľvek skutočný s>1. Ak sa rovnaký vzorec použije pre komplex s, potom rad bude konvergovať pre akúkoľvek hodnotu tejto premennej s reálnou časťou väčšou ako 1. Riemann aplikoval postup analytického pokračovania, pričom rozšíril definíciu zeta (s) na všetky komplexné čísla, ale „vyhodiť“jednotku. Bolo to vylúčené, pretože pri s=1 sa funkcia zeta zvyšuje do nekonečna.
Praktický zmysel
Vyvstáva logická otázka: prečo je funkcia zeta, ktorá je kľúčová v Riemannovej práci o nulovej hypotéze, zaujímavá a dôležitá? Ako viete, v súčasnosti nebol identifikovaný žiadny jednoduchý vzorec, ktorý by popisoval rozdelenie prvočísel medzi prirodzené čísla. Riemannovi sa podarilo zistiť, že počet pi(x) prvočísel, ktorý nepresahuje x, je vyjadrený z hľadiska rozdelenia netriviálnych núl funkcie zeta. Navyše, Riemannova hypotéza jenevyhnutná podmienka na preukázanie časových odhadov pre fungovanie niektorých kryptografických algoritmov.
Riemannova hypotéza
Jedna z prvých formulácií tohto matematického problému, ktorá dodnes nebola dokázaná, znie takto: netriviálne 0 zeta funkcie sú komplexné čísla s reálnou časťou rovnou ½. Inými slovami, nachádzajú sa na čiare Re s=½.
Existuje aj zovšeobecnená Riemannova hypotéza, čo je rovnaké tvrdenie, ale pre zovšeobecnenia zeta funkcií, ktoré sa bežne nazývajú Dirichletove L-funkcie (pozri fotografiu nižšie).
Vo vzorci χ(n) - nejaký číselný znak (modulo k).
Riemannovské tvrdenie sa považuje za takzvanú nulovú hypotézu, pretože bolo testované na konzistenciu s existujúcimi vzorovými údajmi.
Ako tvrdil Riemann
Poznámka nemeckého matematika bola pôvodne formulovaná dosť nenútene. Faktom je, že v tom čase sa vedec chystal dokázať vetu o rozdelení prvočísel a v tomto kontexte táto hypotéza nemala osobitný význam. Jeho úloha pri riešení mnohých iných problémov je však obrovská. Preto je Riemannov predpoklad v súčasnosti uznávaný mnohými vedcami ako najdôležitejší z nedokázaných matematických problémov.
Ako už bolo spomenuté, na dokázanie distribučnej vety nie je potrebná úplná Riemannova hypotéza a stačí logicky zdôvodniť, že skutočná časť akejkoľvek netriviálnej nuly funkcie zeta je vmedzi 0 a 1. Z tejto vlastnosti vyplýva, že súčet všetkých 0 funkcie zeta, ktorý sa objavuje v presnom vzorci vyššie, je konečná konštanta. Pri veľkých hodnotách x sa môže úplne stratiť. Jediný člen vzorca, ktorý zostáva rovnaký aj pre veľmi veľké x, je samotné x. Zvyšné komplexné členy v porovnaní s ním zanikajú asymptoticky. Takže vážený súčet má tendenciu x. Túto okolnosť možno považovať za potvrdenie pravdivosti vety o rozdelení prvočísel. Nuly Riemannovej zeta funkcie majú teda špeciálnu úlohu. Spočíva v dokázaní, že takéto hodnoty nemôžu významne prispieť k rozkladovému vzorcu.
Nasledovníci Riemanna
Tragická smrť na tuberkulózu nedovolila tomuto vedcovi doviesť svoj program do logického konca. Od neho to však prevzal Sh-Zh. de la Vallée Poussin a Jacques Hadamard. Nezávisle od seba odvodili vetu o rozdelení prvočísel. Hadamardovi a Poussinovi sa podarilo dokázať, že všetky netriviálne 0 zeta funkcie sú v kritickom pásme.
Vďaka práci týchto vedcov sa objavil nový smer v matematike - analytická teória čísel. Neskôr iní výskumníci získali niekoľko primitívnejších dôkazov vety, na ktorej Riemann pracoval. Najmä Pal Erdős a Atle Selberg dokonca objavili veľmi zložitý logický reťazec, ktorý to potvrdil, ktorý si nevyžadoval použitie komplexnej analýzy. V tomto bode však niekoľko dôležitýchteorémy, vrátane aproximácií mnohých funkcií teórie čísel. V tomto smere nová práca Erdősa a Atleho Selberga prakticky nič neovplyvnila.
Jeden z najjednoduchších a najkrajších dôkazov tohto problému našiel v roku 1980 Donald Newman. Bol založený na slávnej Cauchyho vete.
Ohrozuje Riemannova hypotéza základy modernej kryptografie
Šifrovanie údajov vzniklo spolu s objavením sa hieroglyfov, presnejšie ich samotné možno považovať za prvé kódy. V súčasnosti existuje celá oblasť digitálnej kryptografie, ktorá vyvíja šifrovacie algoritmy.
Prvočísla a „polo-prvočísla“, teda tie, ktoré sú deliteľné iba 2 ďalšími číslami z rovnakej triedy, tvoria základ systému verejného kľúča známeho ako RSA. Má najširšie uplatnenie. Používa sa najmä pri generovaní elektronického podpisu. V pojmoch prístupných pre figuríny, Riemannova hypotéza tvrdí existenciu systému v distribúcii prvočísel. Tým sa výrazne znižuje sila kryptografických kľúčov, od ktorých závisí bezpečnosť online transakcií v oblasti elektronického obchodu.
Iné nevyriešené matematické úlohy
Oplatí sa dokončiť článok venovaním niekoľkých slov iným cieľom tisícročia. Patria sem:
- Rovnosť tried P a NP. Problém je formulovaný takto: ak je kladná odpoveď na konkrétnu otázku kontrolovaná v polynomiálnom čase, potom je pravda, že samotná odpoveď na túto otázkudá sa rýchlo nájsť?
- Hodgeova domnienka. Jednoducho povedané, možno to sformulovať takto: pre niektoré typy projektívnych algebraických variet (priestorov) sú Hodgeove cykly kombináciami objektov, ktoré majú geometrickú interpretáciu, t. j. algebraické cykly.
- Poincarého domnienka. Toto je jediná výzva Millennium Challenge, ktorá sa doteraz osvedčila. Podľa nej musí byť každý 3-rozmerný objekt, ktorý má špecifické vlastnosti 3-rozmernej gule, guľou až do deformácie.
- Potvrdenie kvantovej teórie Yang - Mills. Je potrebné dokázať, že kvantová teória predložená týmito vedcami pre priestor R 4 existuje a má nulovú hmotnostnú chybu pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú kalibračnú skupinu G.
- Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza. Toto je ďalší problém súvisiaci s kryptografiou. Dotýka sa eliptických kriviek.
- Problém existencie a hladkosti riešení Navier-Stokesových rovníc.
Teraz poznáte Riemannovu hypotézu. Jednoducho povedané, sformulovali sme niektoré ďalšie výzvy milénia. Že sa vyriešia alebo sa dokáže, že riešenie nemajú, je otázkou času. Navyše je nepravdepodobné, že to bude musieť čakať príliš dlho, pretože matematika čoraz viac využíva výpočtové schopnosti počítačov. Nie všetko však podlieha technológiám a v prvom rade je na riešenie vedeckých problémov potrebná intuícia a kreativita.
