Neriešiteľné problémy je 7 najzaujímavejších matematických problémov. Každá z nich bola navrhnutá známymi vedcami, spravidla vo forme hypotéz. Po mnoho desaťročí si matematici na celom svete lámali hlavu nad ich riešením. Tí, ktorí uspejú, budú odmenení miliónom amerických dolárov, ktoré ponúka Clay Institute.
Pozadie
V roku 1900 predstavil veľký nemecký matematik David Hilbert zoznam 23 problémov.
Výskum na ich vyriešenie mal obrovský vplyv na vedu 20. storočia. V súčasnosti väčšina z nich prestala byť záhadou. Medzi nevyriešenými alebo čiastočne vyriešenými boli:
- problém konzistentnosti aritmetických axióm;
- všeobecný zákon reciprocity na priestore ľubovoľného číselného poľa;
- matematické štúdium fyzikálnych axióm;
- štúdium kvadratických foriem pre ľubovoľnú algebraickú numerickú hodnotukurz;
- problém rigorózneho zdôvodnenia výpočtovej geometrie Fyodora Schuberta;
- atd.
Nepreskúmané sú: problém rozšírenia známej Kroneckerovej vety na akúkoľvek algebraickú oblasť racionality a Riemannova hypotéza.
The Clay Institute
Toto je názov súkromnej neziskovej organizácie so sídlom v Cambridge v štáte Massachusetts. V roku 1998 ju založili harvardský matematik A. Jeffey a podnikateľ L. Clay. Cieľom ústavu je popularizovať a rozvíjať matematické poznatky. Na dosiahnutie tohto cieľa organizácia udeľuje ocenenia vedcom a sponzorom sľubným výskumom.
Začiatkom 21. storočia ponúkol Clay Institute of Mathematics cenu tým, ktorí vyriešia takzvané najťažšie neriešiteľné problémy, pričom ich zoznam nazval Problémy tisícročnej ceny. Do Hilbertovho zoznamu bola zahrnutá iba Riemannova hypotéza.
Výzvy milénia
Zoznam The Clay Institute pôvodne obsahoval:
- hypotéza Hodgeovho cyklu;
- kvantové rovnice Yang-Millsovej teórie;
- Poincarého hypotéza;
- problém rovnosti tried P a NP;
- Riemannova hypotéza;
- Navier-Stokesove rovnice o existencii a hladkosti ich riešení;
- Birch-Swinnerton-Dyer problém.
Tieto otvorené matematické problémy sú veľmi zaujímavé, pretože môžu mať mnoho praktických implementácií.
Čo dokázal Grigory Perelman
V roku 1900 slávny filozof Henri Poincaré navrhol, že každé jednoducho spojené kompaktné 3-roztočenie bez hraníc je homeomorfné na 3-rozmernú guľu. Jeho dôkaz vo všeobecnom prípade sa nenašiel celé storočie. Len v rokoch 2002-2003 publikoval petrohradský matematik G. Perelman množstvo článkov s riešením Poincarého problému. Mali efekt vybuchujúcej bomby. V roku 2010 bola Poincarého hypotéza vylúčená zo zoznamu „Nevyriešených problémov“Clay Institute a samotnému Perelmanovi bola ponúknutá značná odmena, ktorá mu patrí, čo však tento odmietol bez toho, aby vysvetlil dôvody svojho rozhodnutia.
Najzrozumiteľnejšie vysvetlenie toho, čo sa ruskému matematikovi podarilo dokázať, možno poskytnúť tak, že si predstavíme, že gumený kotúč sa natiahne na šišku (torus) a potom sa pokúsia stiahnuť okraje jej kruhu do jedného bodu. Očividne to nie je možné. Ďalšia vec, ak urobíte tento experiment s loptou. V tomto prípade zdanlivo trojrozmerná guľa, ktorá je výsledkom disku, ktorého obvod bol pritiahnutý do bodu hypotetickou šnúrou, by bola trojrozmerná v chápaní bežného človeka, ale dvojrozmerná z hľadiska matematiky.
Poincare navrhol, že trojrozmerná guľa je jediným trojrozmerným „objektom“, ktorého povrch sa dá stiahnuť do jedného bodu, a Perelmanovi sa to podarilo dokázať. Zoznam „Neriešiteľných problémov“teda dnes pozostáva zo 6 problémov.
Yang-Millsova teória
Tento matematický problém navrhli jeho autori v roku 1954. Vedecká formulácia teórie je nasledovná:pre akúkoľvek jednoduchú kompaktnú meraciu skupinu existuje kvantová priestorová teória vytvorená Yangom a Millsom a zároveň má nulový hmotnostný defekt.
Vzťahy medzi prírodnými objektmi (častice, telesá, vlny, atď.) sú rozdelené do 4 typov: elektromagnetické, gravitačné, slabé a silné. Fyzici sa dlhé roky pokúšali vytvoriť všeobecnú teóriu poľa. Mal by sa stať nástrojom na vysvetlenie všetkých týchto interakcií. Yang-Millsova teória je matematický jazyk, pomocou ktorého bolo možné opísať 3 zo 4 hlavných prírodných síl. Neplatí pre gravitáciu. Preto nemožno uvažovať, že Yangovi a Millsovi sa podarilo vytvoriť teóriu poľa.
Okrem toho, nelinearita navrhovaných rovníc spôsobuje, že je extrémne ťažké ich vyriešiť. Pre malé väzbové konštanty ich možno približne vyriešiť vo forme série poruchových teórií. Zatiaľ však nie je jasné, ako je možné tieto rovnice vyriešiť silnou väzbou.
Navier-Stokesove rovnice
Tieto výrazy popisujú procesy ako prúdenie vzduchu, prúdenie tekutín a turbulencie. Pre niektoré špeciálne prípady už boli nájdené analytické riešenia Navier-Stokesovej rovnice, ale zatiaľ sa to nikomu nepodarilo pre všeobecnú. Numerické simulácie pre konkrétne hodnoty rýchlosti, hustoty, tlaku, času atď. môžu zároveň dosiahnuť vynikajúce výsledky. Zostáva dúfať, že niekto bude schopný aplikovať Navier-Stokesove rovnice naopaksmer, t. j. vypočítajte pomocou nich parametre alebo dokážte, že neexistuje žiadna metóda riešenia.
Birch-Swinnerton-Dyer problem
Kategória „Nevyriešené problémy“zahŕňa aj hypotézu, ktorú navrhli britskí vedci z University of Cambridge. Dokonca pred 2300 rokmi dal staroveký grécky vedec Euclid úplný popis riešení rovnice x2 + y2=z2.
Ak pre každé prvočíslo spočítame počet bodov na krivke modulo it, dostaneme nekonečnú množinu celých čísel. Ak to konkrétne „nalepíte“do 1 funkcie komplexnej premennej, dostanete Hasse-Weilovu zeta funkciu pre krivku tretieho rádu, označovanú písmenom L. Obsahuje informácie o správaní modulo všetkých prvočísel naraz.
Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer predpokladali o eliptických krivkách. Podľa nej štruktúra a počet množiny jej racionálnych riešení súvisí so správaním L-funkcie pri identite. V súčasnosti nepreukázaná Birch-Swinnerton-Dyerova domnienka závisí od popisu algebraických rovníc 3. stupňa a je jediným relatívne jednoduchým všeobecným spôsobom na výpočet poradia eliptických kriviek.
Aby sme pochopili praktický význam tejto úlohy, stačí povedať, že v modernej kryptografii je celá trieda asymetrických systémov založená na eliptických krivkách a domáce štandardy digitálneho podpisu sú založené na ich aplikácii.
Rovnosť tried p a np
Ak sú ostatné výzvy milénia čisto matematické, potom táto mávzťah k aktuálnej teórii algoritmov. Problém týkajúci sa rovnosti tried p a np, známy aj ako Cooke-Levinov problém, možno formulovať v zrozumiteľnom jazyku nasledovne. Predpokladajme, že kladnú odpoveď na určitú otázku možno skontrolovať dostatočne rýchlo, t. j. v polynomiálnom čase (PT). Je potom správne tvrdenie, že odpoveď naň možno nájsť pomerne rýchlo? Tento problém znie ešte jednoduchšie takto: naozaj nie je ťažšie skontrolovať riešenie problému, ako ho nájsť? Ak sa niekedy preukáže rovnosť tried p a np, potom je možné vyriešiť všetky výberové úlohy pre PV. V súčasnosti mnohí odborníci pochybujú o pravdivosti tohto tvrdenia, hoci nevedia dokázať opak.
Riemannova hypotéza
Do roku 1859 sa nenašiel žiadny vzor, ktorý by popisoval, ako sú prvočísla rozdelené medzi prirodzené čísla. Možno to bolo spôsobené tým, že veda sa zaoberala inými problémami. V polovici 19. storočia sa však situácia zmenila a stali sa jedným z najrelevantnejších, čím sa matematika začala zaoberať.
Riemannova hypotéza, ktorá sa objavila počas tohto obdobia, je predpokladom, že v distribúcii prvočísel existuje určitý vzorec.
Dnes sa mnohí moderní vedci domnievajú, že ak sa to preukáže, bude potrebné zrevidovať mnohé zo základných princípov modernej kryptografie, ktoré tvoria základ významnej časti mechanizmov elektronického obchodu.
Podľa Riemannovej hypotézy charakterrozloženie prvočísel môže byť výrazne odlišné od toho, čo sa v súčasnosti predpokladá. Faktom je, že doteraz nebol objavený žiadny systém v rozdeľovaní prvočísel. Napríklad je tu problém „dvojičiek“, medzi ktorými je rozdiel 2. Tieto čísla sú 11 a 13, 29. Ostatné prvočísla tvoria zhluky. Sú to 101, 103, 107 atď. Vedci už dlho predpokladajú, že takéto zhluky existujú medzi veľmi veľkými prvočíslami. Ak sa nájdu, sila moderných krypto kľúčov bude otázna.
hypotéza Hodgeovho cyklu
Tento stále nevyriešený problém bol sformulovaný v roku 1941. Hodgeova hypotéza naznačuje možnosť priblíženia tvaru akéhokoľvek predmetu „zlepením“jednoduchých telies vyšších rozmerov. Táto metóda je známa a úspešne používaná už dlho. Nie je však známe, do akej miery je možné vykonať zjednodušenie.
Teraz už viete, aké neriešiteľné problémy momentálne existujú. Sú predmetom výskumu tisícok vedcov po celom svete. Zostáva dúfať, že budú v blízkej budúcnosti vyriešené a ich praktická aplikácia pomôže ľudstvu vstúpiť do nového kola technologického rozvoja.
