Svet je usporiadaný tak, že riešenie veľkého množstva problémov vedie k nájdeniu koreňov kvadratickej rovnice. Korene rovníc sú dôležité pre popis rôznych vzorcov. Vedeli to dokonca aj geodeti starovekého Babylonu. Astronómovia a inžinieri boli tiež nútení riešiť takéto problémy. V 6. storočí nášho letopočtu vyvinul indický vedec Aryabhata základy hľadania koreňov kvadratickej rovnice. Vzorce boli dokončené v 19. storočí.
Všeobecné pojmy
Pozývame vás, aby ste sa zoznámili so základnými zákonitosťami kvadratickej rovnosti. Vo všeobecnosti možno rovnosť zapísať takto:
ax2 + bx + c=0, Počet koreňov kvadratickej rovnice sa môže rovnať jednej alebo dvom. Rýchla analýza sa dá urobiť pomocou konceptu diskriminantu:
D=b2 - 4ac
V závislosti od vypočítanej hodnoty dostaneme:
- Keď D > 0, existujú dva rôzne korene. Všeobecný vzorec na určenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto (-b± √D) / (2a).
- D=0, v tomto prípade je koreň jedna a zodpovedá hodnote x=-b / (2a)
- D < 0, pre zápornú hodnotu diskriminantu neexistuje riešenie rovnice.
Poznámka: ak je diskriminant záporný, rovnica nemá korene iba v oblasti reálnych čísel. Ak sa algebra rozšíri na koncept komplexných koreňov, potom rovnica má riešenie.
Uveďme reťazec akcií, ktoré potvrdzujú vzorec na hľadanie koreňov.
Zo všeobecného tvaru rovnice vyplýva:
ax2 + bx=-c
Vynásobíme pravú a ľavú časť číslom 4a a pridáme b2, dostaneme
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Premeňte ľavú stranu na druhú mocninu polynómu (2ax + b)2. Extrahujeme druhú odmocninu oboch strán rovnice 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), prenesieme koeficient b na pravú stranu, dostaneme:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
Odtiaľto:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Čo bolo potrebné ukázať.
Špeciálny prípad
V niektorých prípadoch možno riešenie problému zjednodušiť. Takže pre párny koeficient b dostaneme jednoduchší vzorec.
Označ k=1/2b, potom vzorec všeobecného tvaru koreňov kvadratickej rovnice nadobudne tvar:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Keď D=0, dostaneme x=-k / a
Ďalším špeciálnym prípadom je riešenie rovnice s a=1.
Pre tvar x2 + bx + c=0 budú korene x=-k ± √(k2 - c) s diskriminantom väčším ako 0. Pre prípad, keď D=0, bude koreň určený jednoduchým vzorcom: x=-k.
Použiť grafy
Každá osoba bez toho, aby o tom vedela, neustále čelí fyzikálnym, chemickým, biologickým a dokonca aj sociálnym javom, ktoré sú dobre opísané kvadratickou funkciou.
Poznámka: krivka vytvorená na základe kvadratickej funkcie sa nazýva parabola.
Tu je niekoľko príkladov.
- Pri výpočte trajektórie strely sa používa vlastnosť pohybu pozdĺž paraboly telesa vystreleného pod uhlom k horizontu.
- Vlastnosť paraboly rovnomerne rozložiť zaťaženie je v architektúre široko používaná.
Pochopiac dôležitosť parabolickej funkcie, poďme prísť na to, ako použiť graf na preskúmanie jej vlastností pomocou pojmov „diskriminant“a „korene kvadratickej rovnice“.
V závislosti od hodnoty koeficientov a a b existuje len šesť možností polohy krivky:
- Diskriminant je kladný, a a b majú rôzne znamienka. Vetvy paraboly sa pozerajú hore, kvadratická rovnica má dve riešenia.
- Diskriminant a koeficient b sa rovnajú nule, koeficient a je väčší ako nula. Graf je v kladnej zóne, rovnica má 1 koreň.
- Diskriminant a všetky koeficienty sú kladné. Kvadratická rovnica nemá riešenie.
- Diskriminant a koeficient a sú záporné, b je väčšie ako nula. Vetvy grafu smerujú nadol, rovnica má dva korene.
- Diskriminačné akoeficient b sa rovnajú nule, koeficient a je záporný. Parabola sa pozerá dole, rovnica má jeden koreň.
- Hodnoty diskriminantu a všetkých koeficientov sú záporné. Neexistujú žiadne riešenia, funkčné hodnoty sú úplne v zápornej zóne.
Poznámka: možnosť a=0 neprichádza do úvahy, pretože v tomto prípade parabola degeneruje do priamky.
Všetko uvedené je dobre znázornené na obrázku nižšie.
Príklady riešenia problémov
Podmienka: pomocou všeobecných vlastností vytvorte kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú rovnaké.
Riešenie:
podľa stavu problému x1 =x2 alebo -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Zjednodušenie zápisu:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, otvorte zátvorky a uveďte podobné výrazy. Rovnica sa stáva 2√(b2 - 4ac)=0. Toto tvrdenie je pravdivé, keď b2 - 4ac=0, teda b 2=4ac, potom hodnotu b=2√(ac) dosadíme do rovnice
ax2 + 2√(ac)x + c=0, v redukovanom tvare dostaneme x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Odpoveď:
pre a, ktoré sa nerovná 0 a ľubovoľné c, existuje len jedno riešenie, ak b=2√(c / a).
Kvadrické rovnice majú pri všetkej svojej jednoduchosti veľký význam v inžinierskych výpočtoch. Takmer každý fyzikálny proces môže byť opísaný s určitou aproximáciou pomocoumocenské funkcie rádu č. Kvadratická rovnica bude prvou takouto aproximáciou.
