Valec je jedným z jednoduchých trojrozmerných útvarov, ktoré sa študujú v školskom kurze geometrie (časť objemová geometria). V tomto prípade často vznikajú problémy pri výpočte objemu a hmotnosti valca, ako aj pri určovaní jeho povrchu. Odpovede na označené otázky sú uvedené v tomto článku.
Čo je to valec?
Predtým, ako pristúpime k odpovedi na otázku, aká je hmotnosť valca a jeho objem, stojí za zváženie, aký je tento priestorový obrazec. Hneď je potrebné poznamenať, že valec je trojrozmerný objekt. To znamená, že v priestore môžete merať tri jeho parametre pozdĺž každej z osí v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme. V skutočnosti na jednoznačné určenie rozmerov valca stačí poznať iba dva jeho parametre.
Valec je trojrozmerná postava tvorená dvoma kruhmi a valcovou plochou. Na jasnejšie znázornenie tohto objektu stačí vziať obdĺžnik a začať ho otáčať okolo ktorejkoľvek jeho strany, ktorá bude osou otáčania. V tomto prípade bude rotujúci obdĺžnik popisovať tvarrotácia - valec.
Dve okrúhle plochy sa nazývajú základne valca, vyznačujú sa určitým polomerom. Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška. Dve základne sú navzájom spojené valcovou plochou. Čiara prechádzajúca stredmi oboch kružníc sa nazýva os valca.
Objem a plocha
Ako môžete vidieť z vyššie uvedeného, valec je definovaný dvoma parametrami: výškou h a polomerom jeho základne r. Po znalosti týchto parametrov je možné vypočítať všetky ostatné charakteristiky uvažovaného telesa. Nižšie sú uvedené hlavné:
- Rozloha základní. Táto hodnota sa vypočíta podľa vzorca: S1=2pir2, kde pi je pí rovné 3, 14. Číslica 2 vo vzorci sa objaví, pretože valec má dve rovnaké základne.
- Valcový povrch. Dá sa vypočítať takto: S2=2pirh. Tento vzorec je ľahké pochopiť: ak sa valcový povrch rozreže vertikálne z jednej základne na druhú a roztiahne sa, získa sa obdĺžnik, ktorého výška sa bude rovnať výške valca a šírka bude zodpovedať obvod základne trojrozmernej postavy. Pretože plocha výsledného obdĺžnika je súčinom jeho strán, ktoré sa rovnajú h a 2pir, získame vyššie uvedený vzorec.
- Plocha valca. Rovná sa súčtu oblastí S1 a S2, dostaneme: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Objem. Túto hodnotu nájdete ľahko, stačí vynásobiť plochu jednej základne výškou postavy: V=(S1/2)h=pir 2 h.
Určenie hmotnosti valca
Nakoniec stojí za to prejsť priamo k téme článku. Ako určiť hmotnosť valca? Aby ste to dosiahli, musíte poznať jeho objem, vzorec na výpočet, ktorý bol uvedený vyššie. A hustota látky, z ktorej sa skladá. Hmotnosť je určená jednoduchým vzorcom: m=ρV, kde ρ je hustota materiálu, ktorý tvorí predmetný predmet.
Pojem hustota charakterizuje hmotnosť látky, ktorá je v jednotkovom objeme priestoru. Napríklad. Je známe, že železo má vyššiu hustotu ako drevo. To znamená, že v prípade rovnakých objemov železa a drevnej hmoty bude mať prvé z nich oveľa väčšiu hmotnosť ako druhé (približne 16-krát).
Výpočet hmotnosti medeného valca
Zamyslite sa nad jednoduchým problémom. Je potrebné nájsť hmotnosť valca vyrobeného z medi. Pre istotu nech má valec priemer 20 cm a výšku 10 cm.
Skôr ako začnete problém riešiť, mali by ste sa zaoberať zdrojovými údajmi. Polomer valca sa rovná polovici jeho priemeru, čo znamená r=20/2=10 cm, pričom výška je h=10 cm. Keďže valec uvažovaný v úlohe je vyrobený z medi, potom podľa referenčné údaje, zapíšeme hodnotu hustoty tohto materiálu: ρ=8, 96 g/cm3 (pre teplotu 20 °C).
Teraz môžete začať riešiť problém. Najprv vypočítame objem: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Potom bude hmotnosť valca: m=ρV=8,963140=28134 gramov alebo približne 28 kilogramov.
Pri použití v príslušných vzorcoch by ste mali venovať pozornosť rozmerom jednotiek. Takže v probléme boli všetky parametre uvedené v centimetroch a gramoch.
Homogénne a duté valce
Z výsledku získaného vyššie je možné vidieť, že medený valec s relatívne malými rozmermi (10 cm) má veľkú hmotnosť (28 kg). Je to dané nielen tým, že je vyrobený z ťažkého materiálu, ale aj tým, že je homogénny. Túto skutočnosť je dôležité pochopiť, pretože vyššie uvedený vzorec na výpočet hmotnosti možno použiť iba vtedy, ak je valec úplne (zvonka aj zvnútra) vyrobený z rovnakého materiálu, to znamená, že je homogénny.
V praxi sa často používajú duté valce (napríklad valcové sudy na vodu). To znamená, že sú vyrobené z tenkých plátov nejakého materiálu, ale vo vnútri sú prázdne. Pre dutý valec nie je možné použiť uvedený vzorec na výpočet hmotnosti.
Výpočet hmotnosti dutého valca
Je zaujímavé vypočítať, akú hmotnosť bude mať medený valec, ak je vnútri prázdny. Napríklad nech je vyrobený z tenkého medeného plechu s hrúbkou len d=2 mm.
Na vyriešenie tohto problému musíte nájsť objem samotnej medi, z ktorej je predmet vyrobený. Nie objem valca. Pretože hrúbkaplech je malý v porovnaní s rozmermi valca (d=2 mm a r=10 cm), potom objem medi, z ktorej je predmet vyrobený, možno zistiť vynásobením celej plochy valca číslom hrúbka medeného plechu, dostaneme: V=dS 3=d2pir(r+h). Dosadením údajov z predchádzajúceho problému dostaneme: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Hmotnosť dutého valca je možné získať vynásobením získaného objemu medi, ktorý bol potrebný na jeho výrobu, hustotou medi: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g alebo 2,3 kg. To znamená, že uvažovaný dutý valec váži 12 (28, 1/2, 3) krát menej ako homogénny valec.
