Ozhegov's Explanatory Dictionary uvádza, že päťuholník je geometrický útvar ohraničený piatimi pretínajúcimi sa priamkami tvoriacimi päť vnútorných uhlov, ako aj akýkoľvek predmet podobného tvaru. Ak má daný mnohouholník rovnaké strany a uhly, potom sa nazýva pravidelný (päťuholník).
Čo je zaujímavé na pravidelnom päťuholníku?
V tejto podobe bola postavená známa budova Ministerstva obrany Spojených štátov amerických. Z objemných pravidelných mnohostenov má tváre päťuholníkové iba dvanásťsten. A v prírode úplne chýbajú kryštály, ktorých tváre by pripomínali obyčajný päťuholník. Okrem toho je tento obrázok mnohouholník s minimálnym počtom rohov, ktoré nemožno použiť na dlaždice oblasti. Len päťuholník má rovnaký počet uhlopriečok ako jeho strany. Súhlasím, je to zaujímavé!
Základné vlastnosti a vzorce
Používanie vzorcov preľubovoľný pravidelný mnohouholník, môžete určiť všetky potrebné parametre, ktoré má päťuholník.
- Stredový uhol α=360 / n=360/5=72°.
- Vnútorný uhol β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. V súlade s tým je súčet vnútorných uhlov 540°.
- Pomer uhlopriečky k strane je (1+√5) /2, teda „zlatý rez“(približne 1 618).
- Dĺžku strany, ktorú má bežný päťuholník, možno vypočítať pomocou jedného z troch vzorcov v závislosti od toho, ktorý parameter je už známy:
- ak je kružnica opísaná okolo nej a jej polomer R je známy, potom a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
- v prípade, že kružnica s polomerom r je vpísaná do pravidelného päťuholníka, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
- stane sa, že namiesto polomerov je známa hodnota uhlopriečky D, potom sa strana určí takto: a ≈ D/1, 618.
- Oblasť pravidelného päťuholníka je určená opäť podľa toho, aký parameter poznáme:
- ak je tam vpísaný alebo opísaný kruh, potom sa použije jeden z dvoch vzorcov:
S=(nar)/2=2, 5ar alebo S=(nR2sin α)/2 ≈ 2, 3776R2;
oblasť možno určiť aj tak, že poznáte iba dĺžku strany a:
S=(5a2tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a2.
Pravidelný päťuholník: konštrukcia
Tento geometrický obrazec možno postaviť rôznymi spôsobmi. Napríklad ho vpíšte do kruhu s daným polomerom alebo ho postavte na základe danej bočnej strany. Postupnosť akcií bola opísaná v Euklidových prvkoch okolo roku 300 pred Kristom. V každom prípade potrebujeme kružidlo a pravítko. Zvážte metódu konštrukcie pomocou daného kruhu.
1. Vyberte ľubovoľný polomer a nakreslite kruh, pričom jeho stred označte písmenom O.
2. Na kružnici vyberte bod, ktorý bude slúžiť ako jeden z vrcholov nášho päťuholníka. Nech je to bod A. Spojte body O a A priamkou.
3. Nakreslite čiaru cez bod O kolmú na čiaru OA. Označte priesečník tejto priamky s priamkou kruhu ako bod B.
4. V strede vzdialenosti medzi bodmi O a B postavte bod C.
5. Teraz nakreslite kružnicu, ktorej stred bude v bode C a ktorá bude prechádzať bodom A. Miestom jej priesečníka s priamkou OB (bude vo vnútri úplne prvej kružnice) bude bod D.
6. Zostrojte kružnicu prechádzajúcu cez D, ktorej stred bude v A. Miesta jej priesečníka s pôvodnou kružnicou musia byť označené bodmi E a F.
7. Teraz zostrojte kružnicu, ktorej stred bude v E. Musíte to urobiť tak, aby prechádzala cez A. Jej ďalší priesečník pôvodnej kružnice musí byť označený bodom G.
8. Nakoniec nakreslite kružnicu cez A so stredom v bode F. Označte ďalší priesečník pôvodnej kružnice s bodom H.
9. Teraz doľavastačí spojiť vrcholy A, E, G, H, F. Náš bežný päťuholník bude pripravený!
