Šesťhranný hranol a jeho hlavné charakteristiky

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Priestorová geometria je štúdium hranolov. Ich dôležitými charakteristikami sú objem v nich obsiahnutý, plocha povrchu a počet prvkov. V článku zvážime všetky tieto vlastnosti pre šesťhranný hranol.

O akom hranole hovoríme?

Šesťhranný hranol je obrazec tvorený dvoma polygónmi so šiestimi stranami a šiestimi uhlami a šiestimi rovnobežníkmi spájajúcimi označené šesťuholníky do jedného geometrického útvaru.

Na obrázku je príklad tohto hranola.

Šesťuholník označený červenou farbou sa nazýva základňa obrázku. Je zrejmé, že počet jeho základov je rovný dvom a obe sú totožné. Žltozelené strany hranola sa nazývajú jeho strany. Na obrázku sú znázornené štvorcami, ale vo všeobecnosti sú to rovnobežníky.

Šesťhranný hranol môže byť naklonený a rovný. V prvom prípade uhly medzi základňou a stranami nie sú rovné, v druhom prípade sú rovné 90o. Aj tento hranol môže byť správny a nesprávny. Pravidelný šesťuholníkhranol musí byť rovný a mať na základni pravidelný šesťuholník. Vyššie uvedený hranol na obrázku spĺňa tieto požiadavky, preto sa nazýva správny. Ďalej v článku budeme študovať iba jeho vlastnosti ako všeobecný prípad.

Elements

Pre každý hranol sú jeho hlavnými prvkami hrany, plochy a vrcholy. Výnimkou nie je ani šesťhranný hranol. Vyššie uvedený obrázok vám umožňuje spočítať počet týchto prvkov. Dostaneme teda 8 plôch alebo strán (dve základne a šesť bočných rovnobežníkov), počet vrcholov je 12 (6 vrcholov pre každú základňu), počet hrán šesťhranného hranolu je 18 (šesť bočných a 12 základov).

V 50. rokoch 18. storočia Leonhard Euler (švajčiarsky matematik) zaviedol pre všetky mnohosteny, ktoré zahŕňajú hranol, matematický vzťah medzi číslami označených prvkov. Tento vzťah vyzerá takto:

počet hrán=počet plôch + počet vrcholov - 2.

Vyššie uvedené čísla spĺňajú tento vzorec.

Uhlopriečky hranolov

Všetky uhlopriečky šesťhranného hranolu možno rozdeliť do dvoch typov:

• tie, ktoré ležia v rovinách jeho tvárí;
• tie, ktoré patria do celého objemu postavy.

Na obrázku nižšie sú zobrazené všetky tieto uhlopriečky.

Je vidieť, že D₁ je bočná uhlopriečka, D₂ a D₃ sú uhlopriečky celý hranol, D₄ a D_{5 - uhlopriečky základne.}

Dĺžky uhlopriečok strán sú navzájom rovnaké. Je ľahké ich vypočítať pomocou známej Pytagorovej vety. Nech a je dĺžka strany šesťuholníka, b dĺžka bočnej hrany. Potom má uhlopriečka dĺžku:

D₁=√(a² + b^2).

Uhlopriečku D₄ je tiež ľahké určiť. Ak si spomenieme, že pravidelný šesťuholník zapadá do kruhu s polomerom a, potom D_{4 je priemer tohto kruhu, to znamená, že dostaneme nasledujúci vzorec:}

D_4=2a.

Uhlopriečka D₅základne je o niečo ťažšie nájsť. Na tento účel zvážte rovnostranný trojuholník ABC (pozri obr.). Pre neho AB=BC=a je uhol ABC 120^{o. Ak znížime výšku z tohto uhla (bude to tiež stred a stred), polovica základne AC sa bude rovnať:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

Strana AC je uhlopriečka D_{5, takže dostaneme:}

D_5=AC=√3a.

Teraz zostáva nájsť uhlopriečky D₂ a D_{3 pravidelného šesťhranného hranola. Aby ste to dosiahli, musíte vidieť, že sú to prepony zodpovedajúcich pravouhlých trojuholníkov. Pomocou Pytagorovej vety dostaneme:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Pre všetky hodnoty aab je teda najväčšia uhlopriečkaD_2.

Povrch

Ak chcete pochopiť, čo je v stávke, najjednoduchším spôsobom je zvážiť vývoj tohto hranola. Je zobrazený na obrázku.

Je vidieť, že na určenie plochy všetkých strán uvažovaného obrázku je potrebné vypočítať plochu štvoruholníka a plochu šesťuholníka oddelene a potom ich vynásobiť zodpovedajúcimi celými číslami rovnými počtu každého n-uholníka v hranole a výsledky sčítajte. Šesťuholníky 2, obdĺžniky 6.

Pre plochu obdĺžnika dostaneme:

S_1=ab.

Potom je plocha bočného povrchu:

S_2=6ab.

Na určenie plochy šesťuholníka je najjednoduchším spôsobom použiť zodpovedajúci vzorec, ktorý vyzerá takto:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Dosadením čísla n rovného 6 do tohto výrazu dostaneme obsah jedného šesťuholníka:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Tento výraz by sa mal vynásobiť dvomi, aby sme dostali plochu základne hranola:

S_os=3√3a^2.

Zostáva pridať S_os a S_{2, aby ste získali celkovú plochu obrázku:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Objem hranolu

Po vzorci preplochy šesťhrannej základne je výpočet objemu obsiahnutého v predmetnom hranole rovnako jednoduchý ako lúskanie hrušiek. Aby ste to dosiahli, stačí vynásobiť plochu základne (šesťuholník) výškou postavy, ktorej dĺžka sa rovná dĺžke bočného okraja. Dostaneme vzorec:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Všimnite si, že súčin základne a výšky udáva hodnotu objemu absolútne akéhokoľvek hranola, vrátane šikmého. V druhom prípade je však výpočet výšky komplikovaný, pretože sa už nebude rovnať dĺžke bočného rebra. Pokiaľ ide o pravidelný šesťhranný hranol, hodnota jeho objemu je funkciou dvoch premenných: strán a a b.