Kruh je hlavná postava v geometrii, o ktorej vlastnostiach sa uvažuje v škole v 8. ročníku. Jedným z typických problémov spojených s kruhom je nájsť oblasť nejakej jeho časti, ktorá sa nazýva kruhový sektor. Článok poskytuje vzorce pre oblasť sektora a dĺžku jeho oblúka, ako aj príklad ich použitia na riešenie konkrétneho problému.
Koncept kruhu a kruhu
Pred uvedením vzorca pre oblasť kruhového sektora sa pozrime na to, aký je uvedený údaj. Podľa matematickej definície sa kruhom rozumie taký útvar na rovine, ktorého všetky body sú rovnako vzdialené od niektorého bodu (stredu).
Pri zvažovaní kruhu sa používa nasledujúca terminológia:
- Polomer – segment, ktorý je nakreslený od centrálneho bodu ku krivke kruhu. Zvyčajne sa označuje písmenom R.
- Priemer je úsečka, ktorá spája dva body kruhu, ale prechádza aj stredom obrázku. Zvyčajne sa označuje písmenom D.
- Oblúk je súčasťou zakriveného kruhu. Meria sa buď v jednotkách dĺžky alebo pomocou uhlov.
Kruh je ďalší dôležitý geometrický útvar, je to súbor bodov, ktorý je ohraničený zakriveným kruhom.
Oblasť kruhu a obvod
Hodnoty uvedené v názve položky sa vypočítajú pomocou dvoch jednoduchých vzorcov. Sú uvedené nižšie:
- Obvod: L=2piR.
- Oblasť kruhu: S=piR2.
V týchto vzorcoch je pi nejaká konštanta nazývaná Pi. Je to iracionálne, to znamená, že sa to nedá presne vyjadriť ako jednoduchý zlomok. Pi je približne 3,1416.
Ako môžete vidieť z vyššie uvedených výrazov, na výpočet plochy a dĺžky stačí poznať iba polomer kruhu.
Oblasť sektora kruhu a dĺžka jeho oblúka
Pred zvážením zodpovedajúcich vzorcov si pripomenieme, že uhol v geometrii sa zvyčajne vyjadruje dvoma hlavnými spôsobmi:
- v šesťdesiatich stupňoch a úplná rotácia okolo svojej osi je 360o;
- v radiánoch, vyjadrené ako zlomky pi a vztiahnuté na stupne podľa nasledujúcej rovnice: 2pi=360o.
Sektor kruhu je obrazec ohraničený tromi čiarami: oblúkom kruhu a dvoma polomermi umiestnenými na koncoch tohto oblúka. Príklad kruhového sektora je zobrazený na fotografii nižšie.
Získať predstavu o tom, čo je sektor pre kruh, je jednoduchépochopiť, ako vypočítať jeho plochu a dĺžku zodpovedajúceho oblúka. Z obrázku vyššie je možné vidieť, že oblúk sektora zodpovedá uhlu θ. Vieme, že celý kruh zodpovedá 2pi radiánom, takže vzorec pre oblasť kruhového sektora bude mať tvar: S1=Sθ/(2 pi)=piR 2θ/(2pi)=θR2/2. Tu je uhol θ vyjadrený v radiánoch. Podobný vzorec pre oblasť sektora, ak sa uhol θ meria v stupňoch, bude vyzerať takto: S1=piθR2 /360.
Dĺžka oblúka tvoriaceho sektor sa vypočíta podľa vzorca: L1=θ2piR/(2pi)=θR. A ak je θ známe v stupňoch, potom: L1=piθR/180.
Príklad riešenia problému
Na príklade jednoduchého problému si ukážeme, ako použiť vzorce pre oblasť výseče kruhu a dĺžku jeho oblúka.
Je známe, že koleso má 12 lúčov. Keď koleso vykoná jednu úplnú otáčku, prejde vzdialenosť 1,5 metra. Aká je plocha medzi dvoma susednými lúčmi kolesa a aká je dĺžka oblúka medzi nimi?
Ako môžete vidieť z príslušných vzorcov, na ich použitie potrebujete poznať dve veličiny: polomer kruhu a uhol oblúka. Polomer sa dá vypočítať zo znalosti obvodu kolesa, pretože mu presne zodpovedá vzdialenosť, ktorú prejde za jednu otáčku. Máme: 2Rpi=1,5, odkiaľ: R=1,5/(2pi)=0,2387 metra. Uhol medzi najbližšími lúčmi je možné určiť na základe poznania ich počtu. Za predpokladu, že všetkých 12 lúčov rozdelí kruh rovnomerne na rovnaké sektory, dostaneme 12 rovnakých sektorov. V súlade s tým je uhlová miera oblúka medzi dvoma lúčmi: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 radiánu.
Našli sme všetky potrebné hodnoty, teraz ich možno dosadiť do vzorcov a vypočítať hodnoty požadované stavom problému. Získame: S1=0,5236(0,2387)2/2=0,0149 m2, alebo 149 cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m alebo 12,5 cm.
