Polynóm alebo polynóm - jedna zo základných algebraických štruktúr, ktorá sa nachádza v školskej a vyššej matematike. Štúdium polynómu je najdôležitejšou témou v kurze algebry, pretože na jednej strane sú polynómy pomerne jednoduché v porovnaní s inými typmi funkcií a na druhej strane sa široko používajú pri riešení problémov matematickej analýzy.. Čo je teda polynóm?
Definícia
Definícia pojmu polynóm môže byť daná pojmom monomial alebo monomial.
Jednočlen je vyjadrením tvaru cx1i1x2 i2 …x in. Tu je с konštanta, x1, x2, … x - premenné, i1, i2, … v - exponenty premenných. Potom je polynóm ľubovoľný konečný súčet monočlenov.
Ak chcete pochopiť, čo je polynóm, môžete sa pozrieť na konkrétne príklady.
Štvorcový trojčlen, o ktorom sa podrobne hovorí v matematickom kurze 8. ročníka, je polynóm: ax2+bx+c.
Polynóm s dvoma premennými môže vyzerať takto: x2-xy+y2. Takétopolynóm sa nazýva aj neúplná druhá mocnina rozdielu medzi x a y.
Klasifikácia polynómov
Polynomický stupeň
Pre každý monomický polynóm nájdite súčet exponentov i1+i2+…+in. Najväčší zo súčtov sa nazýva exponent polynómu a monomický člen zodpovedajúci tomuto súčtu sa nazýva najvyšší člen.
Mimochodom, akúkoľvek konštantu možno považovať za polynóm nultého stupňa.
Redukované a neredukované polynómy
Ak sa koeficient c rovná 1 pre najvyšší člen, potom je daný polynóm, inak nie je.
Napríklad výraz x2+2x+1 je redukovaný polynóm a 2x2+2x+1 nie je redukovaný.
Homogénne a nehomogénne polynómy
Ak sú stupne všetkých členov polynómu rovnaké, potom hovoríme, že takýto polynóm je homogénny. Všetky ostatné polynómy sa považujú za nehomogénne.
Homogénne polynómy: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogénne: x+1, x2+y.
Pre polynóm zložený z dvoch a troch pojmov existujú špeciálne názvy: binomický a trojčlenný.
Polynómy jednej premennej sú zaradené do samostatnej kategórie.
Aplikácia polynómu jednej premennej
Polynómy jednej premennej aproximujú dobre spojité funkcie rôznej zložitosti z jedného argumentu.
Faktom je, že takéto polynómy možno považovať za čiastočné súčty mocninného radu a spojitú funkciu možno reprezentovať ako rad s ľubovoľne malou chybou. Rozširujúce rady funkcie sa nazývajú Taylorove rady a ichčiastočné súčty vo forme polynómov - Taylorove polynómy.
Grafické štúdium správania funkcie jej aproximáciou pomocou nejakého polynómu je často jednoduchšie ako skúmanie tej istej funkcie priamo alebo pomocou radu.
Je ľahké hľadať deriváty polynómov. Na nájdenie koreňov polynómov 4. a nižšieho stupňa existujú hotové vzorce a na prácu s vyššími stupňami sa používajú vysoko presné približné algoritmy.
Je tu aj zovšeobecnenie opísaných polynómov pre funkcie viacerých premenných.
Newtonov binomický znak
Slávne polynómy sú Newtonove polynómy odvodené vedcami, aby našli koeficienty výrazu (x + y).
Stačí sa pozrieť na niekoľko prvých mocnín binomického rozkladu, aby ste sa uistili, že vzorec je netriviálny:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Pre každý koeficient existuje výraz, ktorý vám ho umožňuje vypočítať. Zapamätať si ťažkopádne vzorce a zakaždým vykonávať potrebné aritmetické operácie by však bolo mimoriadne nepohodlné pre tých matematikov, ktorí takéto rozšírenia často potrebujú. Pascalov trojuholník im výrazne uľahčil život.
Postava je postavená podľa nasledujúceho princípu. 1 je napísané v hornej časti trojuholníka a v každom ďalšom riadku sa stáva ďalšou číslicou, 1 je umiestnená na okrajoch a stred riadku je vyplnený súčtom dvoch susedných čísel z predchádzajúceho.
Keď sa pozriete na ilustráciu, všetko bude jasné.
Používanie polynómov v matematike sa samozrejme neobmedzuje len na uvedené príklady, tie najznámejšie.
