Pytagorova veta: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhej mocniny

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Každý študent vie, že druhá mocnina prepony sa vždy rovná súčtu nôh, z ktorých každá je druhá mocnina. Toto tvrdenie sa nazýva Pytagorova veta. Je to jedna z najznámejších teorém v trigonometrii a matematike všeobecne. Zvážte to podrobnejšie.

Koncept pravouhlého trojuholníka

Predtým, ako pristúpime k úvahe o Pytagorovej vete, v ktorej sa druhá mocnina prepony rovná súčtu ramien, ktoré sú na druhú mocninu, mali by sme zvážiť koncepciu a vlastnosti pravouhlého trojuholníka, pre ktorý platí veta je platné.

Trojuholník je plochá postava s tromi uhlami a tromi stranami. Pravý trojuholník, ako už názov napovedá, má jeden pravý uhol, to znamená, že tento uhol je 90o.

Zo všeobecných vlastností pre všetky trojuholníky je známe, že súčet všetkých troch uhlov tohto obrázku je 180^o, čo znamená, že pre pravouhlý trojuholník je súčet dva uhly, ktoré nie sú správne, je 180^o -90^o=90^o. Posledná skutočnosť znamená, že akýkoľvek uhol v pravouhlom trojuholníku, ktorý nie je pravým uhlom, bude vždy menší ako 90^o.

Strana, ktorá leží oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona. Ďalšie dve strany sú nohy trojuholníka, môžu sa navzájom rovnať alebo sa môžu líšiť. Z trigonometrie je známe, že čím väčší je uhol, proti ktorému leží strana trojuholníka, tým väčšia je dĺžka tejto strany. To znamená, že v pravouhlom trojuholníku prepona (leží oproti uhlu 90^o) bude vždy väčšia ako ktorákoľvek z ramien (leží oproti uhlom < 90^o).

Matematický zápis Pytagorovej vety

Táto veta hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu ramien, z ktorých každá bola predtým umocnená na druhú. Aby sme túto formuláciu napísali matematicky, uvažujme pravouhlý trojuholník, v ktorom strany a, b a c sú dve nohy a prepona. V tomto prípade teorém, ktorý je uvedený ako druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, môže byť vyjadrený nasledujúcim vzorcom: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Odtiaľto sa dajú získať ďalšie vzorce dôležité pre precvičenie: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c} 2 ^{- a}2^{) a c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Všimnite si, že v prípade pravouhlého rovnostranného trojuholníka, teda a=b, platí formulácia: druhá mocnina prepony sa rovná súčtu ramien, z ktorých každána druhú, matematicky napísané ako: c²=a² + b²=2a ^{2, čo znamená rovnosť: c=a√2.}

Historické pozadie

Pytagorova veta, ktorá hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu nôh, z ktorých každá je druhá mocnina, bola známa dávno predtým, ako jej venoval pozornosť známy grécky filozof. Mnohé papyrusy starovekého Egypta, ako aj hlinené tabuľky Babylončanov, potvrdzujú, že tieto národy používali známu vlastnosť strán pravouhlého trojuholníka. Napríklad jedna z prvých egyptských pyramíd, Khafreho pyramída, ktorej stavba sa datuje do 26. storočia pred Kristom (2000 rokov pred životom Pytagoras), bola postavená na základe znalosti pomeru strán v pravouhlom trojuholníku 3x4x5.

Prečo je teda veta teraz pomenovaná po Grékovi? Odpoveď je jednoduchá: Pytagoras je prvý, kto matematicky dokázal túto vetu. Dochované babylonské a egyptské spisy uvádzajú iba jeho použitie, ale neposkytujú žiadny matematický dôkaz.

Verí sa, že Pytagoras dokázal uvažovanú vetu pomocou vlastností podobných trojuholníkov, ktoré získal nakreslením výšky v pravouhlom trojuholníku od uhla 90o do prepona.

Príklad použitia Pytagorovej vety

Zvážte jednoduchý problém: je potrebné určiť dĺžku šikmého schodiska L, ak je známe, že má výšku H=3metrov a vzdialenosť od steny, o ktorú sa rebrík opiera, k jeho nohe je P=2,5 metra.

V tomto prípade sú H a P nohy a L je prepona. Keďže dĺžka prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, dostaneme: L²=H² + P 2^{, odkiaľ L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=3,905 metra alebo 3 metre a 90,5 cm.}