Vo fyzike sa zvažovanie problémov s rotujúcimi telesami alebo systémami, ktoré sú v rovnováhe, vykonáva pomocou konceptu „momentu sily“. Tento článok sa bude zaoberať vzorcom pre moment sily, ako aj jeho použitím na riešenie tohto typu problému.
Moment sily vo fyzike
Ako bolo uvedené v úvode, tento článok sa zameria na systémy, ktoré sa môžu otáčať okolo osi alebo okolo bodu. Zvážte príklad takéhoto modelu, ktorý je znázornený na obrázku nižšie.
Vidíme, že sivá páka je upevnená na osi otáčania. Na konci páky je čierna kocka nejakej hmoty, na ktorú pôsobí sila (červená šípka). Je intuitívne jasné, že výsledkom tejto sily bude otáčanie páky okolo osi proti smeru hodinových ručičiek.
Moment sily je vo fyzike veličina, ktorá sa rovná vektorovému súčinu polomeru spájajúceho os rotácie a bodu pôsobenia sily (zelený vektor na obrázku) a vonkajšej sily sám. To znamená, že vzorec pre moment sily okolo osi je napísanýtakto:
M¯=r¯F¯
Výsledkom tohto produktu je vektor M¯. Jeho smer je určený na základe znalosti multiplikačných vektorov, teda r¯ a F¯. Podľa definície krížového súčinu M¯ musí byť kolmé na rovinu tvorenú vektormi r¯ a F¯ a musí smerovať v súlade s pravidlom pravej ruky (ak sú štyri prsty pravej ruky umiestnené pozdĺž prvého vynásobeného vektor ku koncu sekundy, potom palec ukazuje, kam smeruje požadovaný vektor). Na obrázku môžete vidieť, kam smeruje vektor M¯ (modrá šípka).
Skalárna notácia M¯
Na obrázku v predchádzajúcom odseku sila (červená šípka) pôsobí na páku pod uhlom 90o. Vo všeobecnom prípade môže byť aplikovaný úplne v akomkoľvek uhle. Zvážte obrázok nižšie.
Tu vidíme, že sila F už pôsobí na páku L pod určitým uhlom Φ. Pre tento systém bude mať vzorec pre moment sily vo vzťahu k bodu (znázornenému šípkou) v skalárnom tvare:
M=LFsin(Φ)
Z výrazu vyplýva, že moment sily M bude tým väčší, čím bližšie bude smer pôsobenia sily F k uhlu 90o vzhľadom na L Naopak, ak F pôsobí pozdĺž L, potom sin(0)=0 a sila nevytvára žiadny moment (M=0).
Pri zvažovaní momentu sily v skalárnej forme sa často používa pojem „páka sily“. Táto hodnota je vzdialenosť medzi osou (bodrotácia) a vektor F. Aplikovaním tejto definície na obrázok vyššie môžeme povedať, že d=Lsin(Φ) je páka sily (rovnosť vyplýva z definície goniometrickej funkcie "sínus"). Pomocou páky sily možno vzorec pre moment M prepísať takto:
M=dF
Fyzický význam M
Uvažovaná fyzikálna veličina určuje schopnosť vonkajšej sily F vyvíjať rotačný účinok na systém. Aby sa teleso dostalo do rotačného pohybu, je potrebné mu oznámiť nejaký moment M.
Výborným príkladom tohto procesu je otváranie alebo zatváranie dverí do miestnosti. Držiac kľučku, osoba vynaloží úsilie a otočí dvere na pántoch. Zvládne to každý. Ak sa pokúsite otvoriť dvere tak, že na ne budete pôsobiť v blízkosti pántov, budete musieť vynaložiť veľké úsilie, aby ste ich pohli.
Ďalším príkladom je uvoľnenie matice pomocou kľúča. Čím kratší je tento kľúč, tým ťažšie je dokončiť úlohu.
Uvedené vlastnosti demonštruje vzorec momentu sily cez rameno, ktorý bol uvedený v predchádzajúcom odseku. Ak sa M považuje za konštantnú hodnotu, potom čím menšie d, tým väčšie F musí byť použité na vytvorenie daného momentu sily.
Niekoľko pôsobiacich síl v systéme
Vyššie uvedené prípady boli uvažované, keď na systém schopný rotácie pôsobí iba jedna sila F, ale čo ak existuje niekoľko takýchto síl? V skutočnosti je táto situácia častejšia, pretože na systém môžu pôsobiť silyrôzneho charakteru (gravitačné, elektrické, trecie, mechanické a iné). Vo všetkých týchto prípadoch je možné výsledný moment sily M¯ získať pomocou vektorového súčtu všetkých momentov Mi¯, t.j.:
M¯=∑i(Mi¯), kde i je číslo sily Fi
Z vlastnosti aditivity momentov vyplýva dôležitý záver, ktorý sa nazýva Varignonova veta, pomenovaná podľa matematika konca 17. – začiatku 18. storočia – Francúza Pierra Varignona. Znie: "Súčet momentov všetkých síl pôsobiacich na uvažovaný systém možno znázorniť ako moment jednej sily, ktorý sa rovná súčtu všetkých ostatných a pôsobí na určitý bod." Matematicky možno vetu napísať takto:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Táto dôležitá veta sa v praxi často používa na riešenie problémov o rotácii a rovnováhe telies.
Funguje chvíľka sily?
Analýzou vyššie uvedených vzorcov v skalárnej alebo vektorovej forme môžeme konštatovať, že hodnota M je nejaká práca. Jeho rozmer je skutočne Nm, čo v SI zodpovedá joulu (J). Momentom sily v skutočnosti nie je práca, ale iba množstvo, ktoré je toho schopné. Aby sa tak stalo, je potrebný kruhový pohyb v systéme a dlhodobé pôsobenie M. Preto je vzorec pre prácu momentu sily napísaný takto:
A=Mθ
BV tomto výraze je θ uhol, o ktorý sa otáčal moment sily M. Výsledkom je, že jednotku práce možno zapísať ako Nmrad alebo Jrad. Napríklad hodnota 60 Jrad znamená, že pri otočení o 1 radián (približne 1/3 kruhu) sila F, ktorá vytvára moment M, vykonala 60 joulov práce. Tento vzorec sa často používa pri riešení problémov v systémoch, kde pôsobia trecie sily, ako bude uvedené nižšie.
Moment sily a moment hybnosti
Ako je znázornené, vplyv momentu M na systém vedie k vzniku rotačného pohybu v ňom. Ten sa vyznačuje veličinou nazývanou „hybnosť“. Dá sa vypočítať pomocou vzorca:
L=Iω
I je moment zotrvačnosti (hodnota, ktorá hrá rovnakú úlohu pri rotácii ako hmotnosť pri lineárnom pohybe telesa), ω je uhlová rýchlosť, súvisí s lineárnou rýchlosťou podľa vzorca ω=v/r.
Oba momenty (hybnosť a sila) sú vo vzájomnom vzťahu nasledujúcim výrazom:
M=Iα, kde α=dω / dt je uhlové zrýchlenie.
Uveďme si ďalší vzorec, ktorý je dôležitý pre riešenie problémov pre pôsobenie momentov síl. Pomocou tohto vzorca môžete vypočítať kinetickú energiu rotujúceho telesa. Vyzerá takto:
Ek=1/2Iω2
Ďalej uvádzame dva problémy s riešeniami, kde ukážeme, ako používať uvažované fyzikálne vzorce.
Rovnováha niekoľkých telies
Prvá úloha súvisí s rovnováhou systému, v ktorom pôsobí viacero síl. NaNa obrázku nižšie je znázornený systém, na ktorý pôsobia tri sily. Je potrebné vypočítať, akú hmotnosť musí byť objekt na tejto páke zavesený a v akom bode to treba urobiť, aby bol tento systém v rovnováhe.
Z podmienok problému môžeme pochopiť, že na jeho vyriešenie je potrebné použiť Varignonovu vetu. Prvá časť problému môže byť zodpovedaná okamžite, pretože hmotnosť predmetu, ktorý sa má zavesiť na páku, bude:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
Tieto znaky sú zvolené s ohľadom na to, že sila, ktorá otáča pákou proti smeru hodinových ručičiek, vytvára negatívny moment.
Pozícia bodu d, kde má byť toto závažie zavesené, sa vypočíta podľa vzorca:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Všimnite si, že pomocou vzorca pre moment gravitácie sme vypočítali ekvivalentnú hodnotu M tej, ktorú vytvorili tri sily. Aby bol systém v rovnováhe, je potrebné zavesiť teleso s hmotnosťou 35 N v bode 4, 714 m od osi na druhej strane páky.
Problém s pohyblivým diskom
Riešenie nasledujúceho problému je založené na použití vzorca pre moment sily trenia a kinetickú energiu rotačného telesa. Úloha: Daný kotúč s polomerom r=0,3 metra, ktorý sa otáča rýchlosťou ω=1 rad/s. Je potrebné vypočítať, ako ďaleko môže prejsť na povrchu, ak je koeficient valivého trenia Μ=0,001.
Tento problém je najjednoduchšie vyriešiť, ak použijete zákon zachovania energie. Máme počiatočnú kinetickú energiu disku. Keď sa začne valiť, všetka táto energia sa vynaloží na zahrievanie povrchu v dôsledku pôsobenia trecej sily. Porovnaním oboch veličín dostaneme výraz:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Prvá časť vzorca je kinetická energia disku. Druhá časť je práca momentu trecej sily F=ΜN/r, pôsobiacej na okraj disku (M=Fr).
Vzhľadom na to, že N=mg a I=1/2 mr2, vypočítame θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Keďže 2pi radiány zodpovedajú dĺžke 2pir, potom dostaneme, že požadovaná vzdialenosť, ktorú disk prejde, je:
s=θr=2,293580,3=0,688 m alebo približne 69 cm
Všimnite si, že hmotnosť disku neovplyvňuje tento výsledok.
