Jednou z oblastí matematiky, s ktorou sa školáci stretávajú s najväčšími ťažkosťami, je trigonometria. Niet divu: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť číslo pí vo výpočtoch. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť použiť trigonometriu, čo si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodiť zložité logické reťazce.
Počiatky trigonometrie
Úvod do tejto vedy by mal začať definíciou sínusu, kosínusu a tangens uhla, ale najprv musíte prísť na to, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.
Historicky boli pravouhlé trojuholníky hlavným predmetom výskumu v tejto časti matematickej vedy. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú dvestrany a jeden roh alebo dva rohy a jedna strana na určenie hodnôt všetkých parametrov príslušného obrázku. V minulosti si ľudia všimli tento vzor a začali ho aktívne používať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.
Počiatok
Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v každodennom živote tejto časti matematiky.
Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlým trojuholníkom, po ktorom získané vedomosti využívajú študenti vo fyzike a riešení abstraktných goniometrických rovníc, práca s ktorými sa začína už na strednej škole.
Sférická trigonometria
Neskôr, keď veda dosiahla ďalšiu úroveň vývoja, sa vzorce so sínusom, kosínusom, tangensom, kotangensom začali používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy väčší ako 180 stupňov. Táto časť sa v škole neštuduje, ale je potrebné o jej existencii vedieť, prinajmenšom preto, že zemský povrch, ale aj povrch akejkoľvek inej planéty, je konvexný, čo znamená, že akékoľvek označenie povrchu bude „oblúkovité“. v trojrozmernom priestore.
Vezmite si glóbus a vlákno. Pripojte niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - získala tvar oblúka. Zaoberá sa takýmito formamisférická geometria používaná v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných oblastiach.
Pravý trojuholník
Keď sme sa už trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty možno s ich pomocou vykonávať a aké vzorce použiť.
V prvom rade musíte pochopiť pojmy súvisiace s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jej číselná hodnota rovná odmocnine súčtu druhých mocnín ostatných dvoch strán.
Ak sú napríklad dve strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.
Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme je 180 stupňov.
Definícia
Nakoniec, keď dobre rozumieme geometrickej základni, môžeme prejsť k definícii sínusu, kosínusu a tangens uhla.
Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (tj strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlej vetvy k prepone.
Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo?Pretože prepona je štandardne najdlhšou stranou pravouhlého trojuholníka. Bez ohľadu na to, aká dlhá je noha, bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na úlohu dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo uvažovaní. Táto odpoveď je zjavne nesprávna.
Nakoniec, dotyčnica uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Rovnaký výsledok poskytne delenie sínusu kosínusom. Pozrite sa: podľa vzorca delíme dĺžku strany preponou, potom delíme dĺžkou druhej strany a násobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký pomer ako pri definícii dotyčnice.
Kotangens je pomer strany priľahlej k rohu k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednotky dotyčnicou.
Zvážili sme teda definície toho, čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme sa zaoberať vzorcami.
Jednoduché vzorce
V trigonometrii sa bez vzorcov nezaobídete – ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? Ale to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.
Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začínate študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak potrebujete zistiť hodnotu uhla, nie strany.
Mnohí študenti si nepamätajú ani druhý vzorecobľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednej a druhej mocniny dotyčnice uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: ide predsa o rovnaký výrok ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia robí trigonometrický vzorec úplne nerozoznateľným. Pamätajte si: s vedomím, čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens, s pravidlami prevodu a niekoľkými základnými vzorcami, môžete kedykoľvek nezávisle odvodiť požadované zložitejšie vzorce na kus papiera.
Vzorce s dvojitým uhlom a sčítanie argumentov
Dva ďalšie vzorce, ktoré sa treba naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu súčtu a rozdielu uhlov. Sú znázornené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.
S argumentmi dvojitého uhla sú spojené aj vzorce. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - v praxi si ich skúste získať sami, pričom uhol alfa sa rovná uhlu beta.
Na záver si všimnite, že vzorce pre dvojitý uhol možno previesť, aby sa znížil stupeň sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.
Vety
Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorém môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda oblasť čísla a veľkosťkaždá strana atď.
Sínusová veta hovorí, že ako výsledok delenia dĺžky každej zo strán trojuholníka hodnotou opačného uhla dostaneme rovnaké číslo. Navyše sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, t.j. kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.
Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odčítajte ich súčin, vynásobený dvojitým kosínusom uhla susediaceho s nimi - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.
Chyby spôsobené nepozornosťou
Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangens, je ľahké urobiť chybu v dôsledku roztržitosti alebo chyby v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa takýmto chybám vyhli, poďme sa pozrieť na tie najpopulárnejšie.
V prvom rade nekonvertujte bežné zlomky na desatinné miesta skôr, ako získate konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať ako bežný zlomok, pokiaľ nie je v podmienke uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba pamätať na to, že v každej fáze úlohy sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa myšlienky autora mali znížiť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty, ako je odmocnina troch alebo dvoch, pretože sa vyskytujú v úlohách na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie."Škaredé" čísla.
Ďalej si všimnite, že kosínusová veta platí pre akýkoľvek trojuholník, ale nie pre Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie témy. Toto je horšie ako chyba z nepozornosti.
Po tretie, nezamieňajte hodnoty pre uhly 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, dotyčnice, kotangensy. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zamiešať a nevyhnutne dostanete chybný výsledok.
Aplikácia
Mnohí študenti sa neponáhľajú začať študovať trigonometriu, pretože nerozumejú jej aplikovanému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A toto sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.
Na záver
Takže viete, čo sú sínus, kosínus, tangens. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské problémy.
Celá pointatrigonometria sa redukuje na to, že podľa známych parametrov trojuholníka je potrebné vypočítať neznáme. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžky troch strán a veľkosti troch uhlov. Celý rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú dané rôzne vstupné údaje.
Ako nájsť sínus, kosínus, tangens na základe známych dĺžok nôh alebo prepony, už viete. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom goniometrickej úlohy je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže bežná školská matematika.
