Nerovnosti a systémy nerovností sú jednou z tém, ktoré sa vyučujú v stredoškolskej algebre. Z hľadiska náročnosti nie je najťažšia, pretože má jednoduché pravidlá (o nich trochu neskôr). Riešenie sústav nerovníc sa školáci učia spravidla pomerne ľahko. Je to dané aj tým, že učitelia svojich žiakov na túto tému jednoducho „vyškolia“. A nemôžu to urobiť, pretože sa to študuje v budúcnosti s použitím iných matematických veličín a tiež sa kontroluje pre OGE a jednotnú štátnu skúšku. V školských učebniciach je téma nerovností a sústav nerovníc spracovaná veľmi podrobne, takže ak sa ju chystáte študovať, potom je najlepšie uchýliť sa k nim. Tento článok je iba parafrázou veľkého množstva materiálu a môže obsahovať niektoré vynechané položky.
Koncept systému nerovností
Ak sa obrátime na vedecký jazyk, môžeme definovať pojem „systémnerovnosti". Ide o taký matematický model, ktorý predstavuje viacero nerovností. Tento model si samozrejme vyžaduje riešenie a bude všeobecnou odpoveďou na všetky nerovnosti systému navrhnutého v úlohe (zvyčajne sa píše takto, napr. príklad: "Vyriešte sústavu nerovníc 4 x + 1 > 2 a 30 - x > 6…").
Systémy nerovníc a sústavy rovníc
V procese učenia sa novej témy často vznikajú nedorozumenia. Na jednej strane je všetko jasné a najradšej by som začal riešiť úlohy, no na druhej strane niektoré momenty ostávajú v „tieni“, nie sú dobre pochopené. Taktiež niektoré prvky už nadobudnutých vedomostí sa môžu prelínať s novými. V dôsledku tohto prekrývania sa často vyskytujú chyby.
Preto, skôr ako pristúpime k analýze našej témy, by sme si mali pripomenúť rozdiely medzi rovnicami a nerovnicami, ich sústavami. K tomu je potrebné ešte raz objasniť, čo sú to tieto matematické pojmy. Rovnica je vždy rovnosť a vždy sa niečomu rovná (v matematike sa toto slovo označuje znakom "="). Nerovnosť je model, v ktorom je jedna hodnota väčšia alebo menšia ako iná, alebo obsahuje tvrdenie, že nie sú rovnaké. V prvom prípade je teda namieste hovoriť o rovnosti a v druhom, nech to znie akokoľvek zrejmesamotný názov, o nerovnosti počiatočných údajov. Sústavy rovníc a nerovníc sa od seba prakticky nelíšia a spôsoby ich riešenia sú rovnaké. Jediný rozdiel je v tom, že prvý používa rovnosti, zatiaľ čo druhý používa nerovnosti.
Typy nerovností
Existujú dva typy nerovností: numerické a s neznámou premennou. Prvým typom sú hodnoty (čísla), ktoré sa navzájom nerovnajú, napríklad 8 > 10. Druhým typom sú nerovnosti obsahujúce neznámu premennú (označené nejakým písmenom latinskej abecedy, najčastejšie X). Túto premennú je potrebné nájsť. Podľa toho, koľko ich je, matematický model rozlišuje nerovnosti s jednou (tvoria sústavu nerovností s jednou premennou) alebo viacerými premennými (tvoria sústavu nerovností s viacerými premennými).
Posledné dva typy sa podľa stupňa ich konštrukcie a stupňa zložitosti riešenia delia na jednoduché a zložité. Jednoduché sa nazývajú aj lineárne nerovnosti. Tie sa zase delia na prísne a neprísne. Prísne konkrétne „povedzte“, že jedna hodnota musí byť buď menej alebo viac, takže ide o čistú nerovnosť. Príkladov je niekoľko: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 atď. Medzi neprísne patrí aj rovnosť. To znamená, že jedna hodnota môže byť väčšia alebo rovná inej hodnote (znamienko "≧") alebo menšia alebo rovná inej hodnote (znamienko "≦"). Stále v radeV nerovnostiach premenná nestojí v koreni, štvorec, nie je ničím deliteľná, preto sa nazývajú „jednoduché“. Medzi komplexné patria neznáme premenné, ktorých nájdenie si vyžaduje viac matematických operácií. Často sú v štvorci, kocke alebo pod odmocninou, môžu byť modulárne, logaritmické, zlomkové atď. Ale keďže našou úlohou je porozumieť riešeniu sústav nerovníc, budeme hovoriť o sústave lineárnych nerovníc. Ešte predtým však treba povedať pár slov o ich vlastnostiach.
Vlastnosti nerovností
Vlastnosti nerovností zahŕňajú nasledujúce ustanovenia:
- Znamienko nerovnosti sa obráti, ak sa použije operácia na zmenu poradia strán (napríklad ak t1 ≦ t2, potom t 2 ≧ t1).
- Obe časti nerovnosti vám umožňujú pridať k sebe rovnaké číslo (napríklad ak t1 ≦ t2, potom t 1 + číslo ≦ t2 + číslo).
- Dve alebo viaceré nerovnosti so znamienkom rovnakého smeru vám umožňujú pridať ich ľavú a pravú časť (napríklad ak t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, potom t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Obe časti nerovnosti sa dajú násobiť alebo deliť rovnakým kladným číslom (napríklad ak t1 ≦ t2a číslo ≦ 0, potom číslo t1 ≧ číslo t2).
- Umožňujú dve alebo viac nerovností, ktoré majú kladné výrazy a znamienko rovnakého smerunásobte sa navzájom (napríklad ak t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 potom t1 t3 ≦ t2 t4).
- Obe časti nerovnosti sa dajú násobiť alebo deliť rovnakým záporným číslom, ale znamienko nerovnosti sa mení (napríklad ak t1 ≦ t2 a číslo ≦ 0, potom číslo t1 ≧ číslo t2).
- Všetky nerovnosti sú prechodné (napríklad ak t1 ≦ t2 a t2≦ t3, potom t1 ≦ t3).
Teraz, po preštudovaní hlavných ustanovení teórie týkajúcich sa nerovností, môžeme pristúpiť priamo k úvahe o pravidlách riešenia ich systémov.
Riešenie systémov nerovností. Všeobecné informácie. Riešenia
Ako už bolo spomenuté vyššie, riešením sú hodnoty premennej, ktoré vyhovujú všetkým nerovnostiam daného systému. Riešenie sústav nerovníc je realizáciou matematických operácií, ktoré v konečnom dôsledku vedú k riešeniu celého systému alebo dokazujú, že nemá riešenia. V tomto prípade sa hovorí, že premenná odkazuje na prázdnu množinu čísel (zapísaná takto: písmeno označujúce premennú ∈ (znak „patrí“) ø (znak „prázdna množina“), napríklad x ∈ ø (číta sa to takto: „Premenná „x“patrí do prázdnej množiny“). Existuje niekoľko spôsobov, ako vyriešiť systémy nerovníc:grafická, algebraická, substitučná metóda. Stojí za zmienku, že sa týkajú tých matematických modelov, ktoré majú niekoľko neznámych premenných. V prípade, že existuje iba jeden, postačí metóda medzier.
Grafická metóda
Umožňuje vyriešiť systém nerovností s niekoľkými neznámymi (z dvoch alebo viacerých). Vďaka tejto metóde je sústava lineárnych nerovností riešená pomerne jednoducho a rýchlo, preto je to najrozšírenejšia metóda. Vykresľovanie totiž znižuje množstvo zapisovaných matematických operácií. Je obzvlášť príjemné urobiť si malú prestávku od pera, vziať ceruzku s pravítkom a pokračovať v ďalších činnostiach s ich pomocou, keď sa urobilo veľa práce a chcete trochu rozmanitosti. Niektorí však túto metódu nemajú radi kvôli tomu, že sa musíte odtrhnúť od úlohy a prepnúť duševnú aktivitu na kreslenie. Je to však veľmi efektívny spôsob.
Pre riešenie sústavy nerovníc pomocou grafickej metódy je potrebné preniesť všetky členy každej nerovnosti na ich ľavú stranu. Znamienka sa obrátia, napravo treba napísať nulu, potom každú nerovnosť napísať samostatne. V dôsledku toho budú funkcie získané z nerovností. Potom môžete získať ceruzku a pravítko: teraz musíte nakresliť graf každej získanej funkcie. Celá množina čísel, ktoré budú v intervale ich priesečníka, bude riešením sústavy nerovníc.
Algebraický spôsob
Umožňuje vyriešiť systém nerovností s dvoma neznámymi premennými. Rovnaké znamienko nerovnosti musia mať aj nerovnosti (tzn. musia obsahovať buď len znamienko „väčšie ako“, alebo len znamienko „menej ako“atď.) Napriek svojim obmedzeniam je táto metóda aj zložitejšia. Aplikuje sa v dvoch krokoch.
Prvý zahŕňa zbavenie sa jednej z neznámych premenných. Najprv ju musíte vybrať a potom skontrolovať prítomnosť čísel pred touto premennou. Ak tam žiadne nie sú (premenná bude vyzerať ako jedno písmeno), tak nič nemeníme, ak áno (typ premennej bude napr. 5y alebo 12y), tak je potrebné sa uistiť, že v každej nerovnosti je číslo pred vybranou premennou rovnaké. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen nerovností spoločným faktorom, napríklad ak je v prvej nerovnosti napísané 3y a v druhej 5y, potom musíte vynásobiť všetky členy prvej nerovnosti 5. a druhý o 3. Získate 15 rokov a 15 rokov.
Druhá fáza rozhodovania. Je potrebné preniesť ľavú stranu každej nerovnosti na ich pravú stranu so zmenou znamienka každého člena na opačnú, na pravú napísať nulu. Potom prichádza zábavná časť: zbavenie sa vybranej premennej (inak známej ako „zníženie“) pri sčítaní nerovností. Dostanete nerovnosť s jednou premennou, ktorú je potrebné vyriešiť. Potom by ste mali urobiť to isté, len s inou neznámou premennou. Získané výsledky budú riešením systému.
Spôsob nahradzovania
Umožňuje vám vyriešiť systém nerovností, keď máte možnosť zaviesť novú premennú. Zvyčajne sa táto metóda používa, keď sa neznáma premenná v jednom člene nerovnosti zvýši na štvrtú mocninu a v druhom člene sa umocní na druhú. Táto metóda je teda zameraná na zníženie miery nerovností v systéme. Vzorová nerovnosť x4 - x2 - 1 ≦ 0 sa rieši takto. Zavádza sa nová premenná, napríklad t. Napíšu: „Nech t=x2“, potom sa model prepíše do novej formy. V našom prípade dostaneme t2 - t - 1 ≦0. Túto nerovnosť je potrebné vyriešiť intervalovou metódou (o tom trochu neskôr), potom sa vrátiť späť k premennej X a potom urobiť to isté s ďalšou nerovnosťou. O prijatých odpovediach rozhodne systém.
Intervalová metóda
Toto je najjednoduchší spôsob riešenia systémov nerovností a zároveň je univerzálny a rozšírený. Používa sa na strednej škole a dokonca aj na strednej škole. Jeho podstata spočíva v tom, že žiak hľadá intervaly nerovnosti na číselnej osi, ktorá je nakreslená v zošite (toto nie je graf, ale len obyčajná priamka s číslami). Tam, kde sa pretínajú intervaly nerovníc, sa nájde riešenie sústavy. Ak chcete použiť metódu medzier, postupujte podľa týchto krokov:
- Všetky členy každej nerovnosti sa prenesú na ľavú stranu so zmenou znamienka na opačné (napravo je napísaná nula).
- Nerovnosti sa vypisujú samostatne, určí sa riešenie každej z nich.
- Priesečníky nerovností na numerickejrovno. Riešením budú všetky čísla na týchto križovatkách.
Aký spôsob použitia?
Zjavne ten, ktorý sa zdá byť najjednoduchší a najpohodlnejší, no sú chvíle, keď úlohy vyžadujú určitú metódu. Najčastejšie hovoria, že musíte riešiť buď pomocou grafu, alebo pomocou intervalovej metódy. Algebraická metóda a substitúcia sa používajú veľmi zriedkavo alebo vôbec, pretože sú dosť zložité a mätúce a okrem toho sa používajú skôr na riešenie systémov rovníc ako nerovníc, takže by ste sa mali uchýliť k kresleniu grafov a intervalov. Prinášajú prehľad, ktorý môže prispieť k efektívnemu a rýchlemu vykonávaniu matematických operácií.
Ak niečo nefunguje
Počas štúdia konkrétnej témy v algebre sa samozrejme môžu vyskytnúť problémy s jej pochopením. A to je normálne, pretože náš mozog je navrhnutý tak, že nie je schopný porozumieť zložitým materiálom na jeden záťah. Často si potrebujete prečítať odsek, využiť pomoc učiteľa alebo si precvičiť riešenie typických problémov. V našom prípade vyzerajú napríklad takto: "Vyriešte sústavu nerovníc 3 x + 1 ≧ 0 a 2 x - 1 > 3". Osobné snaženie, pomoc od cudzincov a prax teda pomáhajú pochopiť akúkoľvek komplexnú tému.
Reshebnik?
A kniha riešení je tiež veľmi dobrá, ale nie na podvádzanie domácich úloh, ale na svojpomoc. V nich sa dajú nájsť systémy nerovností s riešením, pozri(ako šablóny), pokúste sa presne pochopiť, ako sa autor riešenia s úlohou vyrovnal, a potom to skúste urobiť sám.
Závery
Algebra je jedným z najťažších predmetov v škole. No, čo môžeš robiť? Matematika bola vždy taká: pre niektorých to ide ľahko a pre iných je to ťažké. V každom prípade však treba pamätať na to, že všeobecný vzdelávací program je navrhnutý tak, aby ho zvládol každý študent. Okrem toho musíte mať na pamäti obrovské množstvo asistentov. Niektoré z nich boli spomenuté vyššie.
