Už v starovekom Egypte sa objavila veda, pomocou ktorej bolo možné merať objemy, plochy a iné veličiny. Impulzom k tomu bola stavba pyramíd. Zahŕňalo to značné množstvo zložitých výpočtov. A popri výstavbe bolo dôležité aj poriadne vymerať pozemok. Preto sa veda o „geometrii“objavila z gréckych slov „geos“– zem a „metrio“– meriam.
Štúdium geometrických tvarov bolo uľahčené pozorovaním astronomických javov. A už v 17. storočí pred n. e. boli nájdené počiatočné metódy na výpočet plochy kruhu, objemu gule a najdôležitejším objavom bola Pytagorova veta.
Výrok vety o kružnici vpísanej do trojuholníka je nasledovný:
Do trojuholníka možno vpísať iba jeden kruh.
Pri tomto usporiadaní je kruh vpísaný a trojuholník je opísaný blízko kruhu.
Výrok vety o strede kružnice vpísanej do trojuholníka je nasledovný:
Stredový bod kruhu vpísaného dotrojuholník, je tu priesečník priesečníkov tohto trojuholníka.
Kruh vpísaný do rovnoramenného trojuholníka
Kruh sa považuje za vpísaný do trojuholníka, ak sa všetkých jeho strán dotýka aspoň jedným bodom.
Na fotografii nižšie je zobrazený kruh vo vnútri rovnoramenného trojuholníka. Podmienka vety o kružnici vpísanej do trojuholníka je splnená - dotýka sa všetkých strán trojuholníka AB, BC a CA v bodoch R, S, Q.
Jednou z vlastností rovnoramenného trojuholníka je, že vpísaná kružnica pretína základňu bodom dotyku (BS=SC) a polomer vpísanej kružnice je jedna tretina výšky tohto trojuholníka (SP=AS/3).
Vlastnosti vety o kružnici trojuholníka:
- Segmenty prichádzajúce z jedného vrcholu trojuholníka do bodov kontaktu s kružnicou sú rovnaké. Na obrázku AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Polomer kruhu (vpísaného) je plocha delená polovicou obvodu trojuholníka. Ako príklad musíte nakresliť rovnoramenný trojuholník s rovnakými písmenami ako na obrázku, s nasledujúcimi rozmermi: získa sa základňa BC \u003d 3 cm, výška AS \u003d 2 cm, strany AB \u003d BC. po 2,5 cm. Z každého rohu nakreslíme os a miesto ich priesečníka označíme P. Vpíšeme kružnicu s polomerom PS, ktorej dĺžku treba nájsť. Obsah trojuholníka zistíte vynásobením 1/2 základne výškou: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Semiperimetertrojuholník sa rovná 1/2 súčtu všetkých strán: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2,5 + 3 + 2,5) / 2 \u003d 4 cm; PS=S/P=3/4=0,75 cm2, čo je pri meraní pomocou pravítka úplná pravda. V súlade s tým je vlastnosť vety o kruhu vpísanom do trojuholníka pravdivá.
Kruh vpísaný do pravouhlého trojuholníka
Pre trojuholník s pravým uhlom platia vlastnosti vety o kružnici vpísanej trojuholníku. A navyše sa pridáva schopnosť riešiť problémy s postulátmi Pytagorovej vety.
Pomer vpísanej kružnice v pravouhlom trojuholníku možno určiť takto: spočítajte dĺžky nôh, odčítajte hodnotu prepony a výslednú hodnotu vydeľte 2.
Existuje dobrý vzorec, ktorý vám pomôže vypočítať obsah trojuholníka - vynásobte obvod polomerom kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.
Formulácia vety o kružnici
Vety o vpísaných a opísaných útvaroch sú dôležité v planimetrii. Jeden z nich znie takto:
Stred kruhu vpísaného do trojuholníka je priesečníkom priesečníkov nakreslených z jeho rohov.
Obrázok nižšie ukazuje dôkaz tejto vety. Je zobrazená rovnosť uhlov a podľa toho aj rovnosť susedných trojuholníkov.
Veta o strede kruhu vpísanom do trojuholníka
Polomery kruhu vpísaného do trojuholníka,nakreslené k dotykovým bodom sú kolmé na strany trojuholníka.
Úloha „formulovať vetu o kružnici vpísanej do trojuholníka“by nemala byť prekvapená, pretože ide o jeden zo základných a najjednoduchších poznatkov v geometrii, ktorý musíte plne ovládať, aby ste vyriešili množstvo praktických problémov v skutočný život.
