V tomto článku je metóda považovaná za spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc (SLAE). Metóda je analytická, to znamená, že vám umožňuje napísať všeobecný algoritmus riešenia a potom tam nahradiť hodnoty z konkrétnych príkladov. Na rozdiel od maticovej metódy alebo Cramerových vzorcov sa pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy dá pracovať aj s takými, ktoré majú nekonečne veľa riešení. Alebo ho nemám vôbec.
Čo znamená riešiť Gaussovou metódou?
Najprv musíme zapísať náš systém rovníc ako maticu. Vyzerá to takto. Systém je obsadený:
Koeficienty sa píšu vo forme tabuľky a vpravo v samostatnom stĺpci - voľní členovia. Stĺpec s voľnými členmi je pre pohodlie oddelený zvislou tyčou. Matica, ktorá obsahuje tento stĺpec, sa nazýva rozšírená.
Ďalej musí byť hlavná matica s koeficientmi zredukovaná na horný trojuholníkový tvar. Toto je hlavný bod riešenia systému Gaussovou metódou. Jednoducho povedané, po určitých manipuláciách by matica mala vyzerať takto, aby v jej ľavej dolnej časti boli len nuly:
Potom, ak napíšete novú maticu znova ako systém rovníc, všimnete si, že posledný riadok už obsahuje hodnotu jedného z koreňov, ktorá sa potom dosadí do vyššie uvedenej rovnice, nájde sa ďalší koreň, a tak ďalej.
Toto je najvšeobecnejší popis Gaussovho riešenia. A čo sa stane, ak zrazu systém nebude mať riešenie? Alebo ich je nekonečne veľa? Na zodpovedanie týchto a mnohých ďalších otázok je potrebné samostatne zvážiť všetky prvky použité pri riešení Gaussovou metódou.
Matice, ich vlastnosti
V matici nie je žiadny skrytý význam. Je to len pohodlný spôsob zaznamenávania údajov pre neskoršie operácie. Nemali by sa ich báť ani školáci.
Matrica je vždy obdĺžniková, pretože je pohodlnejšia. Dokonca aj v Gaussovej metóde, kde sa všetko scvrkáva na vytvorenie trojuholníkovej matice, sa v zázname objaví obdĺžnik, len s nulami na mieste, kde nie sú žiadne čísla. Nuly možno vynechať, ale sú implikované.
Matrix má veľkosť. Jeho „šírka“je počet riadkov (m), jeho „dĺžka“je počet stĺpcov (n). Potom veľkosť matice A (na ich označenie sa zvyčajne používajú veľké latinské písmená) označíme ako Am×n. Ak m=n, potom je táto matica štvorcová am=n - jeho poradie. Podľa toho môže byť ľubovoľný prvok matice A označený číslom jeho riadka a stĺpca: axy; x - číslo riadku, zmena [1, m], y - číslo stĺpca, zmena [1, n].
V Gaussovej metóde nie sú matice hlavným bodom riešenia. V zásade možno všetky operácie vykonávať priamo so samotnými rovnicami, zápis však bude oveľa ťažkopádnejší a bude sa v ňom oveľa ľahšie zmiasť.
Kvalifikácia
Maxa má tiež determinant. Toto je veľmi dôležitá vlastnosť. Zistiť jeho význam teraz nestojí za to, môžete jednoducho ukázať, ako sa vypočítava, a potom povedať, aké vlastnosti matice určuje. Najjednoduchší spôsob, ako nájsť determinant, je cez uhlopriečky. V matici sú nakreslené imaginárne uhlopriečky; prvky umiestnené na každom z nich sa vynásobia a potom sa pridajú výsledné produkty: uhlopriečky so sklonom doprava - so znamienkom "plus", so sklonom doľava - so znamienkom "mínus".
Je mimoriadne dôležité poznamenať, že determinant možno vypočítať iba pre štvorcovú maticu. Pre pravouhlú maticu môžete urobiť nasledovné: vybrať najmenší z počtu riadkov a počtu stĺpcov (nech je k) a potom náhodne označiť k stĺpcov a k riadkov v matici. Prvky umiestnené na priesečníku vybraných stĺpcov a riadkov vytvoria novú štvorcovú maticu. Ak je determinantom takejto matice číslo iné ako nula, potom sa bude nazývať základná minor pôvodnej pravouhlej matice.
Predtýmako začať riešiť sústavu rovníc Gaussovou metódou, nezaškodí vypočítať determinant. Ak sa ukáže, že je nula, potom môžeme okamžite povedať, že matica má buď nekonečný počet riešení, alebo neexistujú žiadne. V takom smutnom prípade musíte ísť ďalej a dozvedieť sa o hodnosti matice.
Klasifikácia systémov
Existuje niečo ako hodnosť matice. Toto je maximálne poradie jej nenulového determinantu (pri zapamätaní si menšieho základu môžeme povedať, že poradie matice je poradie menšieho základu).
Ako je to s hodnosťou, SLOW možno rozdeliť na:
- Spojte sa. Pre spoločné systémy sa poradie hlavnej matice (pozostávajúcej len z koeficientov) zhoduje s poradím rozšírenej matice (so stĺpcom voľných členov). Takéto systémy majú riešenie, ale nie nevyhnutne jedno, preto sa kĺbové systémy dodatočne delia na:
- - jednoznačné – s jedinečným riešením. V niektorých systémoch sú poradie matice a počet neznámych rovnaké (alebo počet stĺpcov, čo je to isté);
- - neurčitý - s nekonečným počtom riešení. Poradie matíc v takýchto systémoch je menšie ako počet neznámych.
- Nekompatibilné. Pre takéto systémy sa poradie hlavnej a rozšírenej matice nezhoduje. Nekompatibilné systémy nemajú riešenie.
Gaussova metóda je dobrá, pretože umožňuje získať buď jednoznačný dôkaz nekonzistentnosti systému (bez výpočtu determinantov veľkých matíc), alebo všeobecné riešenie pre systém s nekonečným počtom riešení.
Elementárne transformácie
Predtýmako postupovať priamo k riešeniu systému, môžete urobiť menej ťažkopádnym a pohodlnejším pre výpočty. Dosahuje sa to elementárnymi transformáciami – takými, že ich implementácia nijako nemení konečnú odpoveď. Je potrebné poznamenať, že niektoré z vyššie uvedených elementárnych transformácií sú platné len pre matice, ktorých zdrojom bol práve SLAE. Tu je zoznam týchto transformácií:
- Zmeňte reťazce. Je zrejmé, že ak zmeníme poradie rovníc v systémovom zázname, tak to nijako neovplyvní riešenie. Preto je tiež možné prehadzovať riadky v matici tohto systému, samozrejme netreba zabúdať ani na stĺpec voľných členov.
- Vynásobenie všetkých prvkov reťazca nejakým faktorom. Veľmi užitočný! Pomocou neho môžete zmenšiť veľké čísla v matici alebo odstrániť nuly. Súbor riešení sa ako obvykle nezmení a bude pohodlnejšie vykonávať ďalšie operácie. Hlavná vec je, že koeficient by sa nemal rovnať nule.
- Vymažte riadky s proporcionálnymi koeficientmi. To čiastočne vyplýva z predchádzajúceho odseku. Ak majú dva alebo viac riadkov v matici proporcionálne koeficienty, potom pri vynásobení / delení jedného z riadkov koeficientom proporcionality sa získajú dva (alebo opäť viac) absolútne identické riadky a môžete odstrániť ďalšie riadky a ponechať iba jeden.
- Vymažte nulový riadok. Ak sa v priebehu transformácií niekde získa reťazec, v ktorom sú všetky prvky vrátane voľného člena nulové, potom takýto reťazec môžeme nazvať nulou a vyhodiť z matice.
- Pridávanie k prvkom jedného radu prvkov druhého (podľazodpovedajúce stĺpce) vynásobené nejakým koeficientom. Najobskúrnejšia a najdôležitejšia premena zo všetkých. Stojí za to sa tomu venovať podrobnejšie.
Pridanie reťazca vynásobeného faktorom
Pre ľahšie pochopenie sa oplatí tento proces postupne rozobrať. Z matice sú prevzaté dva riadky:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Povedzme, že potrebujete pripočítať prvé číslo vynásobené koeficientom "-2" k druhému.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Potom sa druhý riadok v matici nahradí novým, pričom prvý zostane nezmenený.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Treba si uvedomiť, že koeficient násobenia možno zvoliť tak, že v dôsledku sčítania dvoch reťazcov sa jeden z prvkov nového reťazca rovná nule. Preto je možné získať rovnicu v sústave, kde bude o jednu neznámu menej. A ak dostanete dve takéto rovnice, potom je možné operáciu vykonať znova a získať rovnicu, ktorá už bude obsahovať o dve neznáme menej. A ak zakaždým otočíme na nulu o jeden koeficient pre všetky riadky, ktoré sú nižšie ako pôvodný, potom môžeme, ako po krokoch, ísť až na úplný spodok matice a dostať rovnicu s jednou neznámou. Toto sa volávyriešiť systém pomocou Gaussovej metódy.
Všeobecne
Nech existuje systém. Má m rovníc a n neznámych koreňov. Môžete to napísať takto:
Hlavná matica je zostavená z koeficientov systému. Stĺpec voľných členov je pridaný do rozšírenej matice a oddelený čiarou pre pohodlie.
Ďalší:
- prvý riadok matice je vynásobený koeficientom k=(-a21/a11);
- prvý upravený riadok a druhý riadok matice sú pridané;
- namiesto druhého riadku sa do matice vloží výsledok sčítania z predchádzajúceho odseku;
- teraz je prvý koeficient v novom druhom riadku a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Teraz sa vykoná rovnaká séria transformácií, iba prvý a tretí riadok. V súlade s tým je v každom kroku algoritmu prvok a21 nahradený a31. Potom sa všetko zopakuje pre a41, … am1. Výsledkom je matica, kde sa prvý prvok v riadkoch [2, m] rovná nule. Teraz musíte zabudnúť na riadok číslo jedna a vykonať rovnaký algoritmus začínajúci od druhého riadku:
- k koeficient=(-a32/a22);
- druhý upravený riadok sa pridá k „aktuálnemu“riadku;
- výsledok sčítania sa nahradí do tretieho, štvrtého atď. riadku, pričom prvý a druhý ostávajú nezmenené;
- v riadkoch [3, m] matice sú prvé dva prvky už rovné nule.
Algoritmus sa musí opakovať, kým sa neobjaví koeficient k=(-am, m-1/amm). To znamená, že algoritmus bol naposledy spustený len pre nižšiu rovnicu. Teraz matica vyzerá ako trojuholník alebo má stupňovitý tvar. Spodný riadok obsahuje rovnicu amn × x =bm. Koeficient a voľný člen sú známe a pomocou nich sa vyjadruje koreň: x =bm/amn. Výsledný koreň sa dosadí do horného riadku, aby sa zistilo xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. A tak ďalej analogicky: v každom ďalšom riadku je nový koreň a po dosiahnutí „vrcholu“systému je možné nájsť množinu riešení [x1, … x ]. Bude to jediné.
Keď neexistujú žiadne riešenia
Ak sa v jednom z riadkov matice všetky prvky okrem voľného člena rovnajú nule, potom rovnica zodpovedajúca tomuto riadku vyzerá ako 0=b. Nemá to riešenie. A keďže takáto rovnica je v systéme zahrnutá, potom je množina riešení celej sústavy prázdna, čiže degenerovaná.
Keď existuje nekonečné množstvo riešení
Môže sa ukázať, že v redukovanej trojuholníkovej matici nie sú žiadne riadky s jedným prvkom - koeficientom rovnice a jedným - voľným členom. Existujú iba reťazce, ktoré by po prepísaní vyzerali ako rovnica s dvoma alebo viacerými premennými. To znamená, že systém má nekonečné množstvo riešení. V tomto prípade môže byť odpoveď daná vo forme všeobecného riešenia. Ako na to?
Všetkypremenné v matici delíme na základné a voľné. Základné – to sú tie, ktoré stoja „na okraji“riadkov v stupňovitej matici. Ostatné sú zadarmo. Vo všeobecnom riešení sú základné premenné zapísané ako voľné.
Pre pohodlie je matica najprv prepísaná späť do systému rovníc. Potom v poslednom z nich, kde zostala práve jedna základná premenná, zostáva na jednej strane a všetko ostatné sa prenáša na druhú. Toto sa robí pre každú rovnicu s jednou základnou premennou. Potom vo zvyšku rovníc, kde je to možné, sa namiesto základnej premennej nahradí výraz získaný pre ňu. Ak je výsledkom opäť výraz, ktorý obsahuje iba jednu základnú premennú, je vyjadrený odtiaľ znova atď., kým sa každá základná premenná nezapíše ako výraz s voľnými premennými. Toto je všeobecné riešenie SLAE.
Môžete nájsť aj základné riešenie systému - voľným premenným zadajte ľubovoľné hodnoty a potom vypočítajte hodnoty základných premenných pre tento konkrétny prípad. Existuje nekonečne veľa konkrétnych riešení.
Riešenie s konkrétnymi príkladmi
Tu je systém rovníc.
Pre pohodlie je lepšie vytvoriť jej matricu hneď
Je známe, že pri riešení Gaussovou metódou rovnica zodpovedajúca prvému riadku zostane na konci transformácií nezmenená. Preto bude výhodnejšie, ak bude ľavý horný prvok matice najmenší - potom prvé prvkyzvyšok riadkov po operáciách sa zmení na nulu. To znamená, že v zostavenej matici bude výhodné umiestniť druhý riadok namiesto prvého.
Ďalej musíte zmeniť druhý a tretí riadok tak, aby prvé prvky boli nulové. Ak to chcete urobiť, pridajte ich k prvému, vynásobte koeficientom:
druhý riadok: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
tretí riadok: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Teraz, aby ste sa neplietli, musíte napísať maticu s medzivýsledkami transformácií.
Je zrejmé, že takáto matica môže byť pomocou niektorých operácií čitateľnejšia. Môžete napríklad odstrániť všetky "mínusy" z druhého riadku vynásobením každého prvku "-1".
Za zmienku tiež stojí, že v treťom riadku sú všetky prvky násobkami troch. Potom môžeteodrežte reťazec týmto číslom a vynásobte každý prvok "-1/3" (mínus - zároveň, aby sa odstránili záporné hodnoty).
Vyzerá to oveľa krajšie. Teraz musíme nechať prvý riadok a pracovať s druhým a tretím. Úlohou je pridať druhý riadok k tretiemu riadku, vynásobený takým faktorom, aby sa prvok a32 stal nulou.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (ak počas niektorých transformácií v odpovedi sa ukázalo, že nejde o celé číslo, odporúča sa ponechať ho „tak, ako je“, vo forme obyčajného zlomku a až potom, keď dostanete odpovede, rozhodnúť, či sa má zaokrúhliť a previesť na inú formu zápis)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Matrika je znovu napísaná s novými hodnotami.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Ako vidíte, výsledná matica už má stupňovitý tvar. Preto nie sú potrebné ďalšie transformácie systému Gaussovou metódou. Tu je možné odstrániť celkový koeficient "-1/7" z tretieho riadku.
Teraz všetcipekný. Pointa je malá - znova napíšte maticu vo forme sústavy rovníc a vypočítajte korene
x + 2r + 4z=12 (1)
7r + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Algoritmus, ktorým sa teraz budú hľadať korene, sa v Gaussovej metóde nazýva spätný pohyb. Rovnica (3) obsahuje hodnotu z:
z=61/9
Ďalej sa vráťte k druhej rovnici:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
A prvá rovnica vám umožňuje nájsť x:
x=(12 - 4z - 2r)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Máme právo nazývať takýto systém spojom, a dokonca definitívne, to znamená, že má jedinečné riešenie. Odpoveď je napísaná v nasledujúcom tvare:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Príklad neurčitého systému
Variant riešenia určitej sústavy Gaussovou metódou bol analyzovaný, teraz je potrebné zvážiť prípad, ak je sústava neurčitá, čiže možno pre ňu nájsť nekonečne veľa riešení.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Už samotná forma systému je alarmujúca, pretože počet neznámych je n=5 a poradie matice systému je už presne menšie ako toto číslo, pretože počet riadkov je m=4, to znamená, že najväčší rád štvorcového determinantu je 4. Takže,Riešení je nekonečné množstvo a my musíme hľadať jeho všeobecnú podobu. Umožňuje vám to Gaussova metóda pre lineárne rovnice.
Najprv sa ako obvykle skompiluje rozšírená matica.
Druhý riadok: koeficient k=(-a21/a11)=-3. V treťom riadku je prvý prvok pred transformáciami, takže sa nemusíte ničoho dotýkať, musíte to nechať tak. Štvrtý riadok: k=(-a41/a11)=-5
Vynásobením prvkov prvého riadku každým z ich koeficientov a ich pridaním do požadovaných riadkov dostaneme maticu v nasledujúcom tvare:
Ako vidíte, druhý, tretí a štvrtý riadok pozostávajú z prvkov, ktoré sú navzájom proporcionálne. Druhý a štvrtý sú vo všeobecnosti rovnaké, takže jeden z nich je možné okamžite odstrániť a zvyšok vynásobiť koeficientom „-1“a získať riadok číslo 3. A opäť ponechajte jeden z dvoch rovnakých riadkov.
Výsledkom je takáto matica. Systém ešte nie je zapísaný, tu je potrebné určiť základné premenné - stojace pri koeficientoch a11=1 a a22=1 a zadarmo – všetko ostatné.
V druhej rovnici je len jedna základná premenná – x2. Dá sa teda vyjadriť odtiaľ, zapísaním cez premenné x3, x4, x5, ktoré sú zadarmo.
Dosaďte výsledný výraz do prvej rovnice.
Ukázala sa rovnica, v ktorejjedinou základnou premennou je x1. Urobme s tým to isté ako s x2.
Všetky základné premenné, z ktorých sú dve, sú vyjadrené tromi voľnými, teraz môžete napísať odpoveď vo všeobecnom tvare.
Môžete tiež zadať jedno z konkrétnych riešení systému. V takýchto prípadoch sa ako hodnoty pre voľné premenné spravidla vyberajú nuly. Potom bude odpoveď:
-16, 23, 0, 0, 0.
Príklad nekonzistentného systému
Riešenie nekonzistentných sústav rovníc Gaussovou metódou je najrýchlejšie. Končí, akonáhle sa v niektorej z fáz získa rovnica, ktorá nemá riešenie. To znamená, že fáza s výpočtom koreňov, ktorá je dosť dlhá a bezútešná, zmizne. Uvažuje sa o nasledujúcom systéme:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Matrika je ako obvykle zostavená:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
A zredukované na stupňovitú formu:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po prvej transformácii obsahuje tretí riadok rovnicu v tvare
0=7, žiadne riešenie. Preto systémje nekonzistentné a odpoveď je prázdna množina.
Výhody a nevýhody metódy
Ak si vyberiete metódu na vyriešenie SLAE na papieri perom, potom metóda, o ktorej sa uvažuje v tomto článku, vyzerá najatraktívnejšie. Pri elementárnych transformáciách je oveľa ťažšie zmiasť, ako sa to stáva, ak musíte manuálne hľadať determinant alebo nejakú záludnú inverznú maticu. Ak však používate programy na prácu s údajmi tohto typu, napríklad tabuľky, potom sa ukazuje, že takéto programy už obsahujú algoritmy na výpočet hlavných parametrov matíc - determinant, vedľajšie, inverzné a transponované matice atď.. A ak ste si istí, že stroj tieto hodnoty vypočíta sám a neurobí chybu, je vhodnejšie použiť maticovú metódu alebo Cramerove vzorce, pretože ich aplikácia začína a končí výpočtom determinantov a inverzných matíc.
Aplikácia
Keďže Gaussovo riešenie je algoritmus a matica je v skutočnosti dvojrozmerné pole, dá sa použiť pri programovaní. Ale keďže sa článok stavia ako návod „pre hlúpych“, malo by sa povedať, že najjednoduchšie miesto na vloženie metódy sú tabuľky, napríklad Excel. Opäť platí, že každý SLAE zadaný do tabuľky vo forme matice bude Excel považovať za dvojrozmerné pole. A na operácie s nimi existuje veľa pekných príkazov: sčítanie (môžete sčítať iba matice rovnakej veľkosti!), Násobenie číslom, násobenie matice (aj surčité obmedzenia), nájdenie inverzných a transponovaných matíc a hlavne výpočet determinantu. Ak je táto časovo náročná úloha nahradená jediným príkazom, je oveľa rýchlejšie určiť hodnosť matice, a teda určiť jej kompatibilitu alebo nekonzistenciu.
