Matice: Gaussova metóda. Výpočet Gaussovej matice: Príklady

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Lineárna algebra, ktorá sa vyučuje na univerzitách v rôznych špecializáciách, kombinuje mnoho zložitých tém. Niektoré z nich súvisia s maticami, ako aj s riešením sústav lineárnych rovníc Gaussovou a Gauss-Jordanovou metódou. Nie všetci študenti dokážu pochopiť tieto témy, algoritmy na riešenie rôznych problémov. Poďme spoločne pochopiť matice a metódy Gauss a Gauss-Jordan.

Základné pojmy

Matrica v lineárnej algebre je pravouhlé pole prvkov (tabuľka). Nižšie sú uvedené sady prvkov v zátvorkách. Toto sú matrice. Z vyššie uvedeného príkladu je vidieť, že prvky v obdĺžnikových poliach nie sú len čísla. Matica môže pozostávať z matematických funkcií, algebraických symbolov.

Aby sme pochopili niektoré pojmy, urobme maticu A z prvkov a_ij. Indexy nie sú len písmená: i je číslo riadku v tabuľke a j je číslo stĺpca, v oblasti priesečníka ktorého sa prvok nachádzaa_ij. Vidíme teda, že máme maticu prvkov ako a₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ atď. Písmeno n označuje počet stĺpcov a písmeno m označuje počet riadkov. Symbol m × n označuje rozmer matice. Toto je koncept, ktorý definuje počet riadkov a stĺpcov v obdĺžnikovom poli prvkov.

Voliteľne musí mať matica niekoľko stĺpcov a riadkov. Pri rozmere 1 × n je pole prvkov jednoradové a pri rozmere m × 1 jednostĺpcové pole. Keď je počet riadkov a počet stĺpcov rovnaký, matica sa nazýva štvorec. Každá štvorcová matica má determinant (det A). Tento výraz sa vzťahuje na číslo, ktoré je priradené matici A.

Niekoľko ďalších dôležitých pojmov, ktoré si treba zapamätať, aby ste úspešne vyriešili matice, sú hlavné a vedľajšie diagonály. Hlavná uhlopriečka matice je uhlopriečka, ktorá klesá do pravého rohu stola z ľavého horného rohu. Bočná uhlopriečka ide do pravého rohu nahor od ľavého rohu zdola.

Zobrazenie stupňovitej matice

Pozrite sa na obrázok nižšie. Na ňom uvidíte maticu a diagram. Poďme sa najprv zaoberať maticou. V lineárnej algebre sa matica tohto druhu nazýva kroková matica. Má jednu vlastnosť: ak a_ij je prvý nenulový prvok v i-tom riadku, potom všetky ostatné prvky z matice pod a naľavo od a_ij , sú nulové (t. j. všetky prvky, ktorým možno priradiť písmeno a_kl, kde k>i al<j).

Teraz zvážte diagram. Odráža stupňovitú formu matice. Schéma ukazuje 3 typy buniek. Každý typ označuje určité prvky:

• prázdne bunky – nula prvkov matice;
• tieňované bunky sú ľubovoľné prvky, ktoré môžu byť nulové aj nenulové;
• čierne štvorce sú nenulové prvky, ktoré sa nazývajú rohové prvky, „kroky“(v matici zobrazenej vedľa nich sú tieto prvky čísla –1, 5, 3, 8).

Pri riešení matíc niekedy výsledkom je, že „dĺžka“kroku je väčšia ako 1. To je povolené. Dôležitá je len „výška“schodov. V krokovej matici musí byť tento parameter vždy rovný jednej.

Redukcia matice na stupňovitý tvar

Akúkoľvek obdĺžnikovú maticu možno previesť na stupňovitý tvar. To sa deje prostredníctvom elementárnych transformácií. Patria sem:

• preusporiadanie strún;
• Pridanie ďalšieho riadku do jedného riadku, v prípade potreby vynásobený nejakým číslom (môžete vykonať aj operáciu odčítania).

Uvažujme o elementárnych transformáciách pri riešení konkrétneho problému. Obrázok nižšie zobrazuje maticu A, ktorú je potrebné zredukovať na stupňovitý tvar.

Na vyriešenie problému budeme postupovať podľa algoritmu:

• Je vhodné vykonávať transformácie na matici pomocouprvý prvok v ľavom hornom rohu (t. j. „vedúci“prvok) je 1 alebo -1. V našom prípade je prvý prvok v hornom riadku 2, takže si prvý a druhý riadok vymeníme.
• Vykonajme operácie odčítania ovplyvňujúce riadky 2, 3 a 4. V prvom stĺpci pod prvkom „vodiaci“by sme mali dostať nuly. Aby sme dosiahli tento výsledok: od prvkov riadku č. 2 postupne odpočítavame prvky riadku č. 1, vynásobené 2; od prvkov riadku č. 3 postupne odpočítavame prvky riadku č. 1, vynásobené 4; od prvkov riadku č. 4 postupne odpočítavame prvky riadku č. 1.
• Ďalej budeme pracovať so skrátenou maticou (bez stĺpca 1 a bez riadku 1). Nový „vodiaci“prvok, ktorý stojí na priesečníku druhého stĺpca a druhého riadku, sa rovná -1. Nie je potrebné preskupovať riadky, takže prvý stĺpec a prvý a druhý riadok prepíšeme bezo zmien. Vykonajme operácie odčítania, aby sme dostali nuly v druhom stĺpci pod „vodiacim“prvkom: od prvkov tretieho riadku postupne odčítame prvky druhého riadku, vynásobené 3; odčítajte prvky druhého riadku vynásobené 2 od prvkov štvrtého riadku.
• Zostáva zmeniť posledný riadok. Od jeho prvkov postupne odpočítavame prvky tretieho radu. Takto sme dostali stupňovitú maticu.

Redukcia matíc na stupňovitý tvar sa používa pri riešení sústav lineárnych rovníc (SLE) Gaussovou metódou. Skôr než sa pozrieme na túto metódu, pochopme niektoré výrazy súvisiace so SLN.

Matice a sústavy lineárnych rovníc

Matice sa používajú v rôznych vedách. Pomocou tabuliek čísel môžete napríklad riešiť lineárne rovnice spojené do systému pomocou Gaussovej metódy. Najprv sa zoznámime s niekoľkými pojmami a ich definíciami a tiež uvidíme, ako sa matica tvorí zo systému, ktorý kombinuje niekoľko lineárnych rovníc.

SLU – niekoľko kombinovaných algebraických rovníc s neznámou prvou mocninou a bez súčinových členov.

SLE riešenie – nájdené hodnoty neznámych, nahradením ktorých sa rovnice v systéme stanú identitami.

Spoločný SLE je systém rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie.

Nekonzistentný SLE je systém rovníc, ktorý nemá riešenia.

Ako vzniká matica založená na systéme, ktorý kombinuje lineárne rovnice? Existujú také pojmy ako hlavné a rozšírené matice systému. Na získanie hlavnej matice systému je potrebné dať do tabuľky všetky koeficienty pre neznáme. Rozšírená matica sa získa pridaním stĺpca voľných výrazov do hlavnej matice (zahŕňa známe prvky, ktorým sa rovná každá rovnica v systéme). Celý tento proces pochopíte tak, že si preštudujete obrázok nižšie.

Prvú vec, ktorú vidíme na obrázku, je systém, ktorý obsahuje lineárne rovnice. Jeho prvky: a_ij – číselné koeficienty, x_j – neznáme hodnoty, b_i – konštantné členy (kde i=1, 2, …, ma j=1, 2, …, n). Druhým prvkom na obrázku je hlavná matica koeficientov. Z každej rovnice sú koeficienty zapísané v rade. Výsledkom je, že v matici je toľko riadkov, koľko rovníc v systéme. Počet stĺpcov sa rovná najväčšiemu počtu koeficientov v akejkoľvek rovnici. Tretím prvkom na obrázku je rozšírená matica so stĺpcom voľných výrazov.

Všeobecné informácie o Gaussovej metóde

V lineárnej algebre je Gaussova metóda klasickým spôsobom riešenia SLE. Nesie meno Carla Friedricha Gaussa, ktorý žil v 18.-19. Toto je jeden z najväčších matematikov všetkých čias. Podstatou Gaussovej metódy je vykonávanie elementárnych transformácií na sústave lineárnych algebraických rovníc. Pomocou transformácií sa SLE redukuje na ekvivalentný systém trojuholníkového (stupňovitého) tvaru, z ktorého možno nájsť všetky premenné.

Za zmienku stojí, že Carl Friedrich Gauss nie je objaviteľom klasickej metódy riešenia sústavy lineárnych rovníc. Metóda bola vynájdená oveľa skôr. Jeho prvý popis sa nachádza v encyklopédii vedomostí starých čínskych matematikov s názvom „Matematika v 9 knihách“.

Príklad riešenia SLE Gaussovou metódou

Uvažujme riešenie systémov Gaussovou metódou na konkrétnom príklade. Budeme pracovať s SLU zobrazeným na obrázku.

Algoritmus riešenia:

1. Systém zredukujeme na stupňovitú formu priamym pohybom Gaussovej metódy, ale najskôrzostavíme rozšírenú maticu číselných koeficientov a voľných členov.
2. Na vyriešenie matice pomocou Gaussovej metódy (t.j. priviesť ju do stupňovitého tvaru) od prvkov druhého a tretieho riadku postupne odčítavame prvky prvého riadku. V prvom stĺpci pod "vodiacim" prvkom dostaneme nuly. Ďalej pre pohodlie zmeníme druhý a tretí riadok na miestach. K prvkom posledného riadku postupne pripočítajte prvky druhého riadku vynásobené 3.
3. Výsledkom výpočtu matice Gaussovou metódou sme dostali stupňovité pole prvkov. Na jej základe zostavíme novú sústavu lineárnych rovníc. Opačným priebehom Gaussovej metódy nájdeme hodnoty neznámych výrazov. Z poslednej lineárnej rovnice je vidieť, že x₃ sa rovná 1. Túto hodnotu dosadíme do druhého riadku sústavy. Dostanete rovnicu x₂ – 4=–4. Z toho vyplýva, že x₂ sa rovná 0. Dosaďte x₂ a x₃ do prvej rovnice sústavy: x1 _{+ 0 +3=2. Neznámy výraz je -1.}

Odpoveď: pomocou matice, Gaussovej metódy, sme našli hodnoty neznámych; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

Gauss-jordánska metóda

V lineárnej algebre existuje aj niečo ako Gauss-Jordanova metóda. Považuje sa za modifikáciu Gaussovej metódy a používa sa na nájdenie inverznej matice, výpočet neznámych členov štvorcových sústav algebraických lineárnych rovníc. Gauss-Jordanova metóda je výhodná v tom, že umožňuje riešiť SLE v jednom kroku (bez použitia priamej a inverznejpohyby).

Začnime pojmom „inverzná matica“. Predpokladajme, že máme maticu A. Inverzná k nej bude matica A^-1, pričom podmienka je nevyhnutne splnená: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, t.j. súčin týchto matíc sa rovná matici identity (prvky hlavnej uhlopriečky matice identity sú jednotky a ostatné prvky sú nula).}

Dôležitá nuansa: v lineárnej algebre existuje veta o existencii inverznej matice. Postačujúcou a nutnou podmienkou existencie matice A^-1 je, že matica A je nesingulárna.

Základné kroky, na ktorých je založená Gauss-Jordanova metóda:

1. Pozrite sa na prvý riadok konkrétnej matice. Metódu Gauss-Jordan možno spustiť, ak sa prvá hodnota nerovná nule. Ak je na prvom mieste 0, prehoďte riadky tak, aby mal prvý prvok nenulovú hodnotu (je žiaduce, aby číslo bolo bližšie k jednej).
2. Vydeľte všetky prvky prvého riadku prvým číslom. Skončíte reťazcom, ktorý začína jednotkou.
3. Od druhého riadku odčítajte prvý riadok vynásobený prvým prvkom druhého riadku, t.j. na konci dostanete riadok, ktorý začína od nuly. Urobte to isté pre zvyšok riadkov. Vydeľte každý riadok jeho prvým nenulovým prvkom, aby ste dostali diagonálne 1.
4. Výsledkom je, že pomocou Gaussovej - Jordanovej metódy získate hornú trojuholníkovú maticu. V ňom je hlavná uhlopriečka reprezentovaná jednotkami. Dolný roh je vyplnený nulami ahorný roh - rôzne hodnoty.
5. Od predposledného riadku odpočítajte posledný riadok vynásobený požadovaným koeficientom. Mali by ste dostať reťazec s nulami a jednotkou. Pre zvyšok riadkov zopakujte rovnakú akciu. Po všetkých transformáciách sa získa matica identity.

Príklad nájdenia inverznej matice pomocou Gaussovej-Jordanovej metódy

Ak chcete vypočítať inverznú maticu, musíte napísať rozšírenú maticu A|E a vykonať potrebné transformácie. Zoberme si jednoduchý príklad. Obrázok nižšie zobrazuje maticu A.

Riešenie:

1. Najprv nájdime maticový determinant pomocou Gaussovej metódy (det A). Ak sa tento parameter nerovná nule, matica sa bude považovať za nesingulárnu. To nám umožní dospieť k záveru, že A má určite A^-1. Na výpočet determinantu transformujeme maticu do stupňovitej formy elementárnymi transformáciami. Spočítajme číslo K, ktoré sa rovná počtu riadkových permutácií. Riadky sme zmenili iba 1 krát. Vypočítajme determinant. Jeho hodnota sa bude rovnať súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky vynásobenému (–1)^K. Výsledok výpočtu: det A=2.
2. Zostavte rozšírenú maticu pridaním matice identity k pôvodnej matici. Výsledné pole prvkov sa použije na nájdenie inverznej matice pomocou Gaussovej-Jordanovej metódy.
3. Prvý prvok v prvom riadku sa rovná jednej. To nám vyhovuje, pretože nie je potrebné preskupovať riadky a deliť daný riadok nejakým číslom. Začnime pracovaťs druhým a tretím riadkom. Ak chcete zmeniť prvý prvok v druhom riadku na 0, odpočítajte od druhého riadku prvý riadok vynásobený číslom 3. Odpočítajte prvý riadok od tretieho riadka (nie je potrebné násobenie).
4. Vo výslednej matici je druhý prvok v druhom riadku -4 a druhý prvok v treťom riadku je -1. Vymeňme si riadky pre pohodlie. Od tretieho riadku odčítajte druhý riadok vynásobený 4. Vydelte druhý riadok -1 a tretí riadok 2. Dostaneme hornú trojuholníkovú maticu.
5. Odčítajme posledný riadok vynásobený 4 od druhého riadku a posledný riadok vynásobený 5 od prvého riadku. Potom odčítajme druhý riadok vynásobený 2 od prvého riadku. Na ľavej strane máme matica identity. Vpravo je inverzná matica.

Príklad riešenia SLE metódou Gauss-Jordan

Na obrázku je znázornený systém lineárnych rovníc. Je potrebné nájsť hodnoty neznámych premenných pomocou matice, Gauss-Jordanovej metódy.

Riešenie:

1. Vytvorme rozšírenú maticu. Za týmto účelom uvedieme koeficienty a voľné termíny do tabuľky.
2. Vyriešte maticu pomocou Gauss-Jordanovej metódy. Od riadku č. 2 odpočítame riadok č. 1. Od riadku č. 3 odpočítame riadok č. 1, predtým vynásobený 2.
3. Vymeňte riadky 2 a 3.
4. Od riadku č. 3 odčítajte riadok č. 2 vynásobený 2. Výsledný tretí riadok vydeľte –1.
5. Odčítajte riadok 3 od riadka 2.
6. Odčítajte riadok 1 od riadku 12 krát -1. Na strane sme dostali stĺpec pozostávajúci z čísel 0, 1 a -1. Z toho vyvodíme, že x₁=0, x₂=1 a x₃ =–1.

Ak chcete, môžete skontrolovať správnosť riešenia dosadením vypočítaných hodnôt do rovníc:

• 0 – 1=–1, prvá identita zo systému je správna;
• 0 + 1 + (–1)=0, druhá identita zo systému je správna;
• 0 – 1 + (–1)=–2, tretia identita zo systému je správna.

Záver: pomocou Gauss-Jordanovej metódy sme našli správne riešenie kvadratického systému, ktorý kombinuje lineárne algebraické rovnice.

Online kalkulačky

Život dnešnej mládeže, ktorá študuje na univerzitách a študuje lineárnu algebru, sa výrazne zjednodušil. Pred niekoľkými rokmi sme museli sami nájsť riešenia systémov pomocou Gaussovej a Gaussovej-Jordanovej metódy. Niektorí žiaci sa s úlohami úspešne vyrovnali, iní sa v riešení zamotali, pomýlili sa, požiadali spolužiakov o pomoc. Dnes môžete pri domácich úlohách využívať online kalkulačky. Na riešenie systémov lineárnych rovníc, hľadanie inverzných matíc boli napísané programy, ktoré demonštrujú nielen správne odpovede, ale ukazujú aj postup riešenia konkrétneho problému.

Na internete je veľa zdrojov so vstavanými online kalkulačkami. Gaussove matice, sústavy rovníc riešia tieto programy za pár sekúnd. Študentom stačí zadať požadované parametre (napríklad počet rovníc,počet premenných).