Pojem diplom z matematiky sa zavádza v 7. ročníku na hodine algebry. A v budúcnosti, počas štúdia matematiky, sa tento koncept aktívne používa vo svojich rôznych formách. Stupne sú pomerne zložitou témou, ktorá si vyžaduje zapamätanie si hodnôt a schopnosť správne a rýchlo počítať. Pre rýchlejšiu a lepšiu prácu s titulmi z matematiky prišli s vlastnosťami titulu. Pomáhajú obmedziť veľké výpočty, do určitej miery previesť obrovský príklad na jediné číslo. Vlastností nie je až tak veľa a všetky sa dajú ľahko zapamätať a aplikovať v praxi. Preto článok pojednáva o hlavných vlastnostiach titulu, ako aj o tom, kde sa uplatňujú.
Vlastnosti stupňa
Zoberieme do úvahy 12 vlastností stupňov, vrátane vlastností stupňov s rovnakými základňami, a pre každú vlastnosť uvedieme príklad. Každá z týchto vlastností vám pomôže rýchlejšie vyriešiť problémy so stupňami a zároveň vás ochráni pred početnými chybami vo výpočte.
1. nehnuteľnosť.
a0=1
Mnohí na túto vlastnosť často zabúdajú, urobte tochyby reprezentovaním čísla na mocninu nuly ako nuly.
2. nehnuteľnosť.
a1=a
3. nehnuteľnosť.
a am=a(n+m)
Nezabudnite, že túto vlastnosť možno použiť iba pri násobení čísel, nefunguje so súčtom! A nezabudnite, že táto a nasledujúce vlastnosti platia len pre mocniny s rovnakým základom.
4. nehnuteľnosť.
a/am=a(n-m)
Ak je číslo v menovateli umocnené na zápornú mocninu, pri odčítaní sa stupeň menovateľa berie do zátvoriek, aby sa správne nahradilo znamienko v ďalších výpočtoch.
Vlastnosť funguje iba na delenie, nie na odčítanie!
5. nehnuteľnosť.
(a)m=a(nm)
6. nehnuteľnosť.
a-n=1/a
Túto vlastnosť možno použiť aj opačne. Jednotka delená číslom do určitej miery je toto číslo na zápornú mocninu.
7. nehnuteľnosť.
(ab)m=am bm
Túto vlastnosť nemožno použiť na súčet a rozdiel! Pri zvyšovaní súčtu alebo rozdielu na mocninu sa používajú skrátené vzorce násobenia, nie vlastnosti mocniny.
8. nehnuteľnosť.
(a/b)=a/b
9. nehnuteľnosť.
a½=√a
Táto vlastnosť funguje pre akúkoľvek zlomkovú mocninu s čitateľom rovným jednej,vzorec bude rovnaký, iba stupeň odmocniny sa bude meniť v závislosti od menovateľa stupňa.
Táto vlastnosť sa často používa aj naopak. Odmocninu ktorejkoľvek mocniny čísla možno znázorniť ako číslo k mocnine jednotky vydelenú mocninou odmocniny. Táto vlastnosť je veľmi užitočná v prípadoch, keď koreň čísla nie je extrahovaný.
10. nehnuteľnosť.
(√a)2=a
Táto vlastnosť nefunguje len s odmocninami a druhými mocninami. Ak je stupeň koreňa a stupeň, do ktorého je tento koreň vyvýšený, rovnaký, odpoveďou bude radikálny výraz.
11. nehnuteľnosť.
√a=a
Pri riešení musíte mať možnosť vidieť túto vlastnosť včas, aby ste sa ušetrili od veľkých výpočtov.
12. nehnuteľnosť.
am/n=√am
Každá z týchto vlastností sa vám v úlohách stretne viackrát, môže byť uvedená v čistej forme, alebo môže vyžadovať určité transformácie a použitie iných vzorcov. Pre správne riešenie preto nestačí poznať len vlastnosti, treba si precvičiť a prepojiť zvyšok matematických vedomostí.
Používanie stupňov a ich vlastností
Aktívne sa používajú v algebre a geometrii. Samostatné, dôležité miesto majú tituly z matematiky. S ich pomocou sa riešia exponenciálne rovnice a nerovnice, ako aj mocniny často komplikujú rovnice a príklady súvisiace s inými úsekmi matematiky. Exponenty pomáhajú vyhnúť sa veľkým a dlhým výpočtom, je jednoduchšie zmenšiť a vypočítať exponenty. Ale prepri práci s veľkými mocninami, alebo s mocninami veľkých čísel, musíte poznať nielen vlastnosti stupňa, ale aj kompetentne pracovať so základmi, vedieť ich rozložiť, aby ste si uľahčili úlohu. Pre pohodlie by ste mali poznať aj význam čísiel umocnených na mocninu. To skráti váš čas na riešenie, pretože eliminuje potrebu dlhých výpočtov.
Pojem stupňa hrá v logaritmoch osobitnú úlohu. Keďže logaritmus je v podstate mocnina čísla.
Ďalším príkladom použitia mocnín sú menšie vzorce násobenia. Nemôžu využívať vlastnosti stupňov, sú rozložené podľa špeciálnych pravidiel, ale v každom skrátenom vzorci násobenia sú vždy stupne.
Stupne sa aktívne využívajú aj vo fyzike a informatike. Všetky preklady do sústavy SI sa robia pomocou stupňov a v budúcnosti sa pri riešení úloh uplatňujú vlastnosti stupňa. V informatike sa aktívne používajú mocniny dvoch pre pohodlie počítania a zjednodušenie vnímania čísel. Ďalšie výpočty na prevod merných jednotiek alebo výpočty problémov, rovnako ako vo fyzike, sa vyskytujú pomocou vlastností stupňa.
Stupne sú veľmi užitočné aj v astronómii, kde málokedy uvidíte využitie vlastností stupňa, no samotné stupne sa aktívne využívajú na skrátenie záznamu rôznych veličín a vzdialeností.
Stupne sa používajú aj v každodennom živote, pri výpočte plôch, objemov, vzdialeností.
Pomocou stupňov sa zapisujú veľmi veľké a veľmi malé množstvá v akejkoľvek oblasti vedy.
Exponenciálne rovnice a nerovnice
Vlastnosti stupňov zaujímajú špeciálne miesto práve v exponenciálnych rovniciach a nerovnostiach. Tieto úlohy sú veľmi bežné v školskom kurze aj na skúškach. Všetky sú riešené aplikáciou vlastností stupňa. Neznáma je vždy v samotnom stupni, preto, keď poznáme všetky vlastnosti, nebude ťažké vyriešiť takúto rovnicu alebo nerovnosť.
